概念教学：基于课程标准，注重目标导向

王发成 魏元洪

【摘要】概念教学是在认真分析学生年龄特点及其认知规律的基础上，全面提高其知识与技能，掌握过程与方法，训练思维与表达，提升反思与交流的能力（其中包括学生个体自我组织、规划数学活动的能力以及对学习过程与结果进行自主监督、控制的能力等）的一种重要课型.本文以“数列的概念”的教学为例，简单谈谈如何基于课程标准，注重目标导向，科学合理地、有目的地、有计划地组织好教与学的过程，如何帮助学生对数学内容做完整性与合理性的审视、评价与构建，以期提高学生发现与提出问题的能力、分析与解决问题的能力等.

【关键词】数列;概念教学;课程标准;目标导向

数学概念是数学思想与方法的重要载体，是发展学生数学核心素养的重要内容.概念教学应基于课程标准，注重目标导向，科学合理地、有目的地、有计划地组织好概念教学过程.本文以“数列的概念”的教学为例，简单谈谈如何帮助学生对数学概念做完整性与合理性的审视、评价与构建，以期提高学生发现与提出问题的能力、分析与解决问题的能力等，供同行们参考.

数列是人类历史上认识最早的数学对象之一，早在古巴比伦时代，就有与数列相关知识的记载，数列与人类文化有着千丝万缕的联系，也是和人们日常生活密切相关的数学知识之一.

一、解析课标，确立教学目标

依据《普通高中数学课程标准（2017年版）》的相关要求，按照安斯沃斯从技术层面上提出的课标解析法，笔者制订的目标是：

（1）了解数列的概念.通过日常生活中的实例，引入数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是反映自然规律的基本模型，了解数列的几种分类方法.

（2）了解数列是一种特殊的函数.了解数列是一类离散函数，体会数列之间的变量依赖关系，了解数列与函数之间的关系.发现数列的规律，找出数列可能的通项公式.

（3）了解数列的简单表示法.探索并掌握数列的几种简单表示法（通项公式、列表法、图像法和递推公式法）.探求和发现数列各项之间的关系及其规律，并用合适的表示法表示这种规律.

（4）会用恰当的方法描述一个具体数列的对应关系.

（5）在抽象概括数列概念的过程中（从描述性概念到用函数观点定义），经历从直观到抽象、从感性到理性、从特殊到一般的认知过程，完善学生的认知结构，感悟蕴含其中的分类讨论、数形结合等数学思想，进一步发展数学思维意识和能力.

（6）让学生感受解决问题的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性与简约及“数、式、图、形”的和谐统一美，展现数列模型的实用价值.

重点：了解数列的概念，体会数列是反映自然规律的数学模型.

难点：将数列看作是一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系.

二、解读教材，设计教学流程

教材中的实际问题贯穿始终，学习素材的呈现采用“问题情境→建立数学模型→解释、应用与拓展”模式.数列概念形成过程的核心是概括，概念核心是“顺序性”，需要从具体实例中抽象概括其本质属性.

从内容编排角度看，教材主要介绍了数列的概念和分类.首先，通过“三角形数”“正方形数”等实例引入数列的描述性定义;然后，从函数的角度再定义数列，用an=f（n）表示数列，让学生体会数列的函数背景.这即符合学生的认知规律，又体现出数列概念的形成过程.

从蕴涵的数学思想和方法角度看，一方面，教材通过“观察”栏目，巩固加深学生对数列概念及其分类的理解.另一方面，将数列与函数联系起来，要求学生认真体会“数列”中蕴含的“变化与对应关系”的思想.首先，让学生体会数列中各项与序号的对应关系;然后，说明数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型;最后，强调用函数背景和研究方法来认识和研究数列.

三、开发工具，进行学习评价

美国评价专家斯蒂金斯认为：“任何课堂教学的质量最终都取决于该课堂所运用的评价的质量，如果评价能够在课堂层面得到良好的运用，那么学习将会得到极大的改善.”他还认为：“为了确保学生最终实现学习目标，教师在教学前就应该清楚学生达成学习目标后的表现是怎样的.”因此，评价不仅仅是对教学、对学习的判断，更是促进教学和学习的工具.

1.通过开放性提问，让学生对概念进行分析和判断.例如，问题“除了教材上的数列，请你再列举一些有代表性的数列，并判断它属于何种类型.”我们通过观察学生“举例、分类、用定义解释”的全过程，来判断学生是否主动建构了“数列”，进而评判学生对概念的理解及以相关知识的巩固程度.

2.实施表现性评价.例如，针对数列概念的学习（真实性），我们要观察学生从描述性定义到函数定义的全过程（过程性），为此要制订评价的规则（标准性），明确达到某种程度的学生，可以得多少分，并根据该学生在“举例—说明”中运用定义解释的情况（建构性）来加以评判.

评价标准（满分10分）：

（1）能够举出正确的数列实例2分

（2）举例代表性强且有一定的实际背景4分

（3）能用自己的语言解释，概括出“数列是由‘数组成，按一定的次序排列，具有顺序性”6分

（4）能按不同的标准正确分类8分

（5）能归纳出“数列中的项具有确定性，同一个数在数列中可以重复出现”等性质10分

3.布置实践性作业.课后让学生阅读并思考教材第32页中的“斐波那契数列”，通过互联网或查阅相关书籍搜集资料，写一篇关于“斐波那契数列”的小论文.或者写一篇关于“完全数”的说明文.

选择什么方式来评价学生的学习状况，最基本的一条原則就是看它能否直接评价学习目标中反映的学习结果.

四、课前——布置任务，自主学习

阅读教材第28页第一、二自然段和“观察”栏目，自学数列的概念及其分类.学习目标：

（1）了解数列的概念（包括项、首项等），能举例说明.

（2）了解分类的几种方法，能够将给定的数列正确分类.

（3）观察下图，理解数列的一般形式，体会对应关系.

任务一：解决下列问题，理解数列概念（描述性概念）

问题1 让学生观察下列各例，看它们有何共同特征.

（1）完全数：6，28，496，8 128，33 550 336，…，26 972 592（26 972 593-1），….

（2）三角形数：1，3，6，10，…，n（n+1）2，….

（3）正方形数：1，4，9，16，…，n2，….

问题2 除了教材上的数列，请你再列举一些有代表性的数列，并判断它属于什么类型.

问题3 数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是相同的数列吗？为什么？

任务二：利用函数观点，理解数列概念

问题4 下面是某运动员在一次训练中射击序号与中靶环数的对应表：

环数是关于序号的函数吗？

问题5 观察“正方形数”组成的数列：1，4，…，n2，…，看看它是否符合函数的定义.

（1）正方形数列{n2}除了列举各项表示以外，还可以怎样表示？

（2）从图像上看，数列an=n2，n∈N+与函数y=x2之间有什么关系？

思考：函数y=2x+1与y=2x，当x依次取1，2，3，…，n时，其函数值构成的数列各有什么特点？

下面，要求学生先阅读教材第29页的内容，再总结归纳出一般性结论.学习目标是：

（1）了解数列是一种特殊的函数.

借助你前面举的例子，体会数列“序号”与“项”这两个变量之间的依赖关系，能用函数的观点解释数列.了解数列是一类离散函数，了解数列与函数之间的关系.

（2）了解通项公式的概念.

问题6 下面是某水库存水量与水深的对应值表.

问：上述表格表示的是数列吗？为什么？

任务三：完成下列作业：P31练习4，习题2.1中1，2，3，5题.

说明：每个问题均录制有微课，即教师以视频为主要载体，围绕该问题重点、难点进行精讲，供学生自主学习使用.

五、课中——辨析研讨，合作学习

环节一：合作交流，畅谈收获.通过学生交流微课学习过程中的收获，再次将课前学习的微课内容内化到学生自己的知识系统中.

环节二：提出问题，辨析研讨.首先收集学生课前学习过程中产生的困惑及发现的问题，然后通过小组协作，探讨问题;师生辨析，解决问题;巩固方法，拓展思维.

环节三：当堂检测，即时评价.布置适量题目，当堂检测，检验学习效果.

六、课后——归纳总结，知识拓展

1.从知识、能力、思维方式等不同层面，借助思维导图或其他形式，总结归纳本节课所学内容和典型问题.同时，针对作业和检测中的错题，从补充练习中寻找类题再进行练习，查漏补缺.

2.让学生阅读并思考教材第32页中的“斐波那契数列”，通过互联网或查阅相关书籍搜集资料，写一篇关于“斐波那契数列”的小论文.或者写一篇关于完全数的说明文.

七、关于数列概念教与学的思考

这是一篇智慧课堂教学公开课设计稿，受篇幅影响，课中部分做了大量删减，阐述的较为简练，主要是贯彻“先学后教”“以学定教”等理念，灵活运用“自主、合作、探究”等符合时代精神的教学方式.

关于数列概念教学，首先，应重视概念的引入（提供丰富、典型的实例）、概念的形成（抽象、概括其本质属性）、概念的明确（用图形、表格和式子等准确的数学语言描述概念）、概念的解释与应用（以实例为载体，辨析数列的内涵和外延，应用数列的概念做出判断并解决一些简单的实际问题）.其次，是要凸显数列概念本质属性，分析学生认知基础，更好地把握教学规律，以“问题串”为线索的进行教学过程设计（尤其是例子的选择和提出的相关问题），一定要注重学生的思维参与和感悟.

总之，“基于课程标准，注重目标导向”的概念教学的具体体现主要有三个方面：一是，教学目标源于课程标准;二是，教学评价设计先于教学过程设计;三是，课程标准、课堂教学、教学评价具有高度一致性.教师在课堂教学中，一定要注意处理好“教学设计”与“具体操作”的关系.“教学设计”实际上是理想状态中的教学，而“具体操作”是现实的、动态的、体现生命价值的教学.尤其是在“实际操作”偏离了“事先规划”的轨道时，我们应该放弃“既定方案”，按照课堂中新“生成”的思路调整自己的思绪，让课堂教学在自然状态中发展下去.

【参考文献】

[1]王发成，张强.智慧课堂教学模式分析[J].教育实践与研究，2018（6）：6-9.

[2]（新西蘭）约翰·哈蒂（John Hattie）.可见的学习：对800多项关于学业成就的元分析的综合报告[M].彭正梅，邓莉，等，译.北京：北京教育科学出版社，2015.