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探讨高中数学圆锥曲线解题中构造法的应用

2020-05-11林春花

黑河教育 2020年4期
关键词:构造法圆锥曲线高中数学

林春花

[摘 要]高中数学圆锥曲线试题计算繁琐,难度较大,是各类测试中失分较为严重的题型。部分圆锥曲线试题技巧性较强,需要学生掌握灵活的解题方法。其中,构造法是一种常用的解题方法,在圆锥曲线解题中的应用往往获得意想不到的效果。因此,在教学中,应做好构造法相关知识讲解,并结合自身经验,优选经典例题,为学生详细讲解每种构造法的具体应用,使学生熟练掌握不同构造法,明确构造法的应用技巧,不断提高圆锥曲线解题水平与解题能力,在测试中获得理想分值。

[关键词]高中数学;圆锥曲线;构造法;应用

应用构造法时需要学生深入理解题设条件,迅速调动头脑中相关的数学知识,构建参数间的关系,实现顺利解题的目的。构造法对学生的解题经验、分析、解答问题的能力要求较高,因此,要想熟练掌握并非易事。教学中,应充分了解学生的数学基础知识,将构造法知识渗透至教学中,结合圆锥曲线试题讲解各种构造法的应用,使学生了解构造法的具体应用过程,以拓展其解题思路,启发其更好地解答圆锥曲线试题。

一、构造图形在解题中的应用

所谓构造图形指结合题干描述,通过灵活运用所学绘制相关的数学图形,将一些参数或隐含的参数关系直观地加以展现,以找到解题突破口的解题方法。实践表明,将构造图形应用在圆锥曲线解题中,可简化解题步骤,提高解题效率,因此,掌握这一构造方法,对提高学生的解题能力具有良好的促进意义。为使学生掌握这一构造法,教师在教学中,一方面要为学生讲解圆锥曲线试题中常用的构造方法,包括构造圆形、直角三角形以及添加各种辅助线等。同时,引导学生推导构造图形时的相关结论,在解答圆锥曲线的选择题或填空题时直接应用,提高解题效率。另一方面,除讲解构造图形理论知识外,还应注重优选经典例题,讲解构造图形的具体应用,使学生感受构造图形给解题带来的便利,掌握构造图形的方法,为其灵活应用奠定基础。

分析:该题目以椭圆为背景出题,考查的知识点较多,包括椭圆的定义、离心率以及点与点的对称等知识。解答该题目时如不构造图形,不少学生感觉一头雾水,无从下手。事实上,根据题意通过构造对应的图形,根据学生所学的椭圆知识以及题干给出的等式关系,并不难求解。

二、构造命题在解题中的应用

构造命题是指:在解答圆锥曲线试题时,题中没有明确的依据,需要通过推导、总结相关命题,而后运用命題进行解题的一种构造方法。采用构造命题法解答圆锥曲线试题时,保证命题的正确性尤为关键,需要学生在日常学习注重推导与积累相关命题。为使学生能够灵活运用该种方法解答圆锥曲线试题,教师在教学中,一方面要结合圆锥曲线教学内容,与学生一起推导相关的命题,使学生掌握研究圆锥曲线的方法,鼓励学生多进行思考,课下尝试着进行推导,积累更多正确、有用的结论。另一方面,为了提高学生运用构造命题解答圆锥曲线试题的能力,教师要围绕具体例题进行讲解,使学生体会构造命题法的应用,提高学生运用构造命题解题的意识,使学生逐渐养成运用构造命题解答圆锥曲线试题的习惯。

三、构造方程在解题中的应用

构造方程指通过认真读题,找到题干中已知参数与未知参数之间的关系,构造对应方程已达到解题目的的构造方法。学生对方程并不陌生,但在圆锥曲线试题中,构造合理的方法难度较大,需要学生认真学习相关技巧,并加强训练,逐渐积累构造方程的方法与技巧。为提高学生构造方法解答圆锥曲线试题的能力,教学中一方面,由于圆锥曲线中构造方程一般需要进行较为繁琐的计算,因此,为提高学生计算的正确性,应注重多对学生进行训练。如计算直线与椭圆、双曲线、抛物线联立后的方程,要求学生认真观察,掌握相关的规律,做到高效、正确计算。另一方面,优选、精讲代表性较强的题型,为学生进行深入分析,认真板书构造方程的具体过程,鼓励学生多进行反思,总结构造方程时应注意的问题,如明确定义域范围。

四、构造函数在解题中的应用

学生对函数并不陌生,尤其在高中阶段进行了较为系统的学习。在解答圆锥曲线试题时,注重构造函数法的应用,尤其借助函数的性质研究参数的最大值、最小值,是最为常用的方法。因此,使学生掌握这一重要的构造方法尤为重要。教学中,一方面,教师要为学生深入讲解圆锥曲线中常用的函数以及函数性质,包括函数的求导、函数的单调性、函数最值的求解等,让学生练好基本功,为在解题中顺利构造出所需函数做好铺垫。另一方面,构造函数解答圆锥曲线具有一定技巧性,为使学生切实掌握这一方法,树立解题的自信,教学中仍应注重讲解相关例题,与学生一起分析,并给学生做好指引,帮助学生寻找解题的突破口,使学生都能顺利解题,获得构造函数解答圆锥曲线的成就感,更加积极、主动地投入到圆锥曲线知识学习中。

五、构造不等关系在解题中的应用

不等式是高中数学的重要知识点,不仅较为抽象,而且涉及较多知识点,常作为解答大题的工具。众所周知,圆锥曲线试题中,部分试题需要求解参数的取值范围,运用不等式知识可获得事半功倍的良好效果,因此,教学中应注重构造不等式在解圆锥曲线试题中的应用。一方面,教师为学生系统、深入地讲解圆锥曲线试题中常用的不等式关系,包括基本不等式以及相关的不等式结论,尤其应用基本不等式知识时,要求学生认识参数范围,保证等号成立的条件在取值范围内。另外,解题中无法使用基本不等式知识时,可考虑使用函数知识进行讨论。另一方面,由于构造不等式较为灵活,因此,教师在教学中做好所讲例题的筛选,讲解优秀、经典题目, 详解介绍每一步的推导依据,启发学生通过构造不等式解答圆锥曲线题目时应保证推导的合理性、严谨性。

分析:(1)中椭圆方程已经给出,根据所学的知识不难求解出椭圆离心率,这里不再赘述。(2)因为题干中给出的A点的坐标比较特殊,而且B点在方程已知的椭圆C上,因此,可通过设出两个点的坐标,根据OA⊥OB,找到两点坐标之间的关系,而后根据直线长度的坐标计算方法进行化简,构造不等式关系,即可求解出其AB长度的最小值。

总之,构造法是解答高中数学试题的常用方法,应用于解题中可明显提高解题效率。但其对学生各项能力要求较高,因此,要想使学生牢固掌握,灵活运用并不容易,尤其将构造法应用于解答圆锥曲线题目中,难度进一步增加。为使学生切实掌握这一解题方法,教学中教师要多下功夫,做好构造法在解答圆锥曲线试题中的应用研究。本文通过研究得出以下结论:

1.构造法的应用基于对高中数学基础知识的牢固掌握,因此,教学中应做好基础知识讲解,严把学生理解关。同时,向学生讲解构造法相关知识,加深学生对构造法的认识,以便更好地应用于圆锥曲线解题中。

2.结合圆锥曲线解题教学经验,做好常用构造法的总结,尤其针对每一种构造法通过具体例题讲解其具体应用,使学生总结相关圆锥曲线特点,掌握不同构造法的应用规律,尤其通过鼓励学生在课下加强训练,及时巩固所学知识,牢固掌握,不断提高圆锥曲线试题的解题水平与能力。

参考文献:

[1]彭晓霞.高中数学圆锥曲线复习策略探究[J].数学学习与研究,2019,(10).

[2]刘志勇.巧用圆锥曲线定义妙解高中数学竞赛题[J].中学数学教学参考,2019,(13).

[3]李勇,周会娟.从高考题看高中数学圆锥曲线解题技巧[J].数学学习与研究,2019,(04).

[4]陆有荣.高中数学圆锥曲线教学现状及其研究分析[J].中国校外教育,2018,(30) 5.

(责任编辑 陈始雨)

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