探讨高中数学圆锥曲线解题中构造法的应用

林春花

[摘 要]高中数学圆锥曲线试题计算繁琐，难度较大，是各类测试中失分较为严重的题型。部分圆锥曲线试题技巧性较强，需要学生掌握灵活的解题方法。其中，构造法是一种常用的解题方法，在圆锥曲线解题中的应用往往获得意想不到的效果。因此，在教学中，应做好构造法相关知识讲解，并结合自身经验，优选经典例题，为学生详细讲解每种构造法的具体应用，使学生熟练掌握不同构造法，明确构造法的应用技巧，不断提高圆锥曲线解题水平与解题能力，在测试中获得理想分值。

[关键词]高中数学;圆锥曲线;构造法;应用

应用构造法时需要学生深入理解题设条件，迅速调动头脑中相关的数学知识，构建参数间的关系，实现顺利解题的目的。构造法对学生的解题经验、分析、解答问题的能力要求较高，因此，要想熟练掌握并非易事。教学中，应充分了解学生的数学基础知识，将构造法知识渗透至教学中，结合圆锥曲线试题讲解各种构造法的应用，使学生了解构造法的具体应用过程，以拓展其解题思路，启发其更好地解答圆锥曲线试题。

一、构造图形在解题中的应用

所谓构造图形指结合题干描述，通过灵活运用所学绘制相关的数学图形，将一些参数或隐含的参数关系直观地加以展现，以找到解题突破口的解题方法。实践表明，将构造图形应用在圆锥曲线解题中，可简化解题步骤，提高解题效率，因此，掌握这一构造方法，对提高学生的解题能力具有良好的促进意义。为使学生掌握这一构造法，教师在教学中，一方面要为学生讲解圆锥曲线试题中常用的构造方法，包括构造圆形、直角三角形以及添加各种辅助线等。同时，引导学生推导构造图形时的相关结论，在解答圆锥曲线的选择题或填空题时直接应用，提高解题效率。另一方面，除讲解构造图形理论知识外，还应注重优选经典例题，讲解构造图形的具体应用，使学生感受构造图形给解题带来的便利，掌握构造图形的方法，为其灵活应用奠定基础。

分析：该题目以椭圆为背景出题，考查的知识点较多，包括椭圆的定义、离心率以及点与点的对称等知识。解答该题目时如不构造图形，不少学生感觉一头雾水，无从下手。事实上，根据题意通过构造对应的图形，根据学生所学的椭圆知识以及题干给出的等式关系，并不难求解。

二、构造命题在解题中的应用

构造命题是指：在解答圆锥曲线试题时，题中没有明确的依据，需要通过推导、总结相关命题，而后运用命題进行解题的一种构造方法。采用构造命题法解答圆锥曲线试题时，保证命题的正确性尤为关键，需要学生在日常学习注重推导与积累相关命题。为使学生能够灵活运用该种方法解答圆锥曲线试题，教师在教学中，一方面要结合圆锥曲线教学内容，与学生一起推导相关的命题，使学生掌握研究圆锥曲线的方法，鼓励学生多进行思考，课下尝试着进行推导，积累更多正确、有用的结论。另一方面，为了提高学生运用构造命题解答圆锥曲线试题的能力，教师要围绕具体例题进行讲解，使学生体会构造命题法的应用，提高学生运用构造命题解题的意识，使学生逐渐养成运用构造命题解答圆锥曲线试题的习惯。

三、构造方程在解题中的应用

构造方程指通过认真读题，找到题干中已知参数与未知参数之间的关系，构造对应方程已达到解题目的的构造方法。学生对方程并不陌生，但在圆锥曲线试题中，构造合理的方法难度较大，需要学生认真学习相关技巧，并加强训练，逐渐积累构造方程的方法与技巧。为提高学生构造方法解答圆锥曲线试题的能力，教学中一方面，由于圆锥曲线中构造方程一般需要进行较为繁琐的计算，因此，为提高学生计算的正确性，应注重多对学生进行训练。如计算直线与椭圆、双曲线、抛物线联立后的方程，要求学生认真观察，掌握相关的规律，做到高效、正确计算。另一方面，优选、精讲代表性较强的题型，为学生进行深入分析，认真板书构造方程的具体过程，鼓励学生多进行反思，总结构造方程时应注意的问题，如明确定义域范围。

四、构造函数在解题中的应用

学生对函数并不陌生，尤其在高中阶段进行了较为系统的学习。在解答圆锥曲线试题时，注重构造函数法的应用，尤其借助函数的性质研究参数的最大值、最小值，是最为常用的方法。因此，使学生掌握这一重要的构造方法尤为重要。教学中，一方面，教师要为学生深入讲解圆锥曲线中常用的函数以及函数性质，包括函数的求导、函数的单调性、函数最值的求解等，让学生练好基本功，为在解题中顺利构造出所需函数做好铺垫。另一方面，构造函数解答圆锥曲线具有一定技巧性，为使学生切实掌握这一方法，树立解题的自信，教学中仍应注重讲解相关例题，与学生一起分析，并给学生做好指引，帮助学生寻找解题的突破口，使学生都能顺利解题，获得构造函数解答圆锥曲线的成就感，更加积极、主动地投入到圆锥曲线知识学习中。

五、构造不等关系在解题中的应用

不等式是高中数学的重要知识点，不仅较为抽象，而且涉及较多知识点，常作为解答大题的工具。众所周知，圆锥曲线试题中，部分试题需要求解参数的取值范围，运用不等式知识可获得事半功倍的良好效果，因此，教学中应注重构造不等式在解圆锥曲线试题中的应用。一方面，教师为学生系统、深入地讲解圆锥曲线试题中常用的不等式关系，包括基本不等式以及相关的不等式结论，尤其应用基本不等式知识时，要求学生认识参数范围，保证等号成立的条件在取值范围内。另外，解题中无法使用基本不等式知识时，可考虑使用函数知识进行讨论。另一方面，由于构造不等式较为灵活，因此，教师在教学中做好所讲例题的筛选，讲解优秀、经典题目， 详解介绍每一步的推导依据，启发学生通过构造不等式解答圆锥曲线题目时应保证推导的合理性、严谨性。

分析：（1）中椭圆方程已经给出，根据所学的知识不难求解出椭圆离心率，这里不再赘述。（2）因为题干中给出的A点的坐标比较特殊，而且B点在方程已知的椭圆C上，因此，可通过设出两个点的坐标，根据OA⊥OB，找到两点坐标之间的关系，而后根据直线长度的坐标计算方法进行化简，构造不等式关系，即可求解出其AB长度的最小值。

总之，构造法是解答高中数学试题的常用方法，应用于解题中可明显提高解题效率。但其对学生各项能力要求较高，因此，要想使学生牢固掌握，灵活运用并不容易，尤其将构造法应用于解答圆锥曲线题目中，难度进一步增加。为使学生切实掌握这一解题方法，教学中教师要多下功夫，做好构造法在解答圆锥曲线试题中的应用研究。本文通过研究得出以下结论：

1.构造法的应用基于对高中数学基础知识的牢固掌握，因此，教学中应做好基础知识讲解，严把学生理解关。同时，向学生讲解构造法相关知识，加深学生对构造法的认识，以便更好地应用于圆锥曲线解题中。

2.结合圆锥曲线解题教学经验，做好常用构造法的总结，尤其针对每一种构造法通过具体例题讲解其具体应用，使学生总结相关圆锥曲线特点，掌握不同构造法的应用规律，尤其通过鼓励学生在课下加强训练，及时巩固所学知识，牢固掌握，不断提高圆锥曲线试题的解题水平与能力。

参考文献：

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（责任编辑 陈始雨）