超导电路与体声波谐振器组成的量子iSWAP门方案

张凯旋,黄春晖,2

(1.福州大学 物理与信息工程学院，福建 福州 350116; 2.阳光学院 人工智能学院，福建 福州 350115)

0 引言

量子计算和量子通信已成为现代电子与信息技术的发展目标之一，实际上量子计算是由高精度的物理系统所实现，该系统的硬件部分一般由量子逻辑门和量子存储器组成[1]，用于控制高复杂度纠缠量子态的时间演化。基于超导约瑟夫森结的固体态量子系统具有较长的相干时间、易于制造和扩展量子比特(qubit)数目等特性，且可用制造现代集成电路的技术来制造该量子系统[2]，是设计量子逻辑门和量子计算系统的一个强有力候选者。众多量子门方案已在理论和实验上得到研究，包括利用2个电容耦合[3]的电荷量子比特(charge qubit)和2个电感耦合[4]的磁通量子比特(flux qubit)。设计量子受控非门(C-NOT)，尤其是高精度的两位和三位量子门也已被实验证实[5-6]。

与此同时，利用一维传输线谐振器耦合两个charge qubit构造量子相位交换(iSWAP)门[7-8]和通过微纳机械谐振器耦合charge qubit与flux qubit构造量子iSWAP门[9]同样被证实。但仅简单实现量子门功能是远不能满足量子计算的需求，实现高保真度量子门尤为重要。在已有报道中，具有高机械品质因数(Q>3 500[10])的薄膜体声波谐振器(FBAR)耦合单个qubit的宏观量子系统中，体声波谐振器一般作为“冷却器”，使系统的量子态稳定在基态[11-13]，这为设计高保真度的量子门提供了新思路。因此，利用体声波谐振器与超导量子电路构造的混合系统可实现高保真度的量子门。

此外，Cleland等[14]和Geller等[15]利用体声波谐振器作为一个高保真度的量子存储器和数据总线，在两个或多个相位量子比特(phase qubit)间产生纠缠态和量子门，但因phase qubit的相干时间较短，在相干时间内量子门有效操纵次数较低。因此，本文提出了一个新颖的量子iSWAP门构建方案，通过体声波谐振器耦合2个传输量子比特(transmon qubit)，其中体声波谐振器作为耦合器使transmon qubit间进行虚拟交互[7]。用体声波谐振器的Butterworth-van Dyke模型[16]来理解与qubit间的耦合机制，简化了设计体声波谐振器物理参数的难度。此外，该谐振器可用制作约瑟夫森结的材料，如铝、氮化铝来制作，这种方案降低了制作量子iSWAP门的难度。同时，得益于trans-mon qubit较长的相干时间，在相干时间内本方案提高了有效执行iSWAP门操作的次数。

1 系统模型及其哈密顿量

图1为本方案的电路模型。图中，Φei(i=1, 2)为超导环内的磁通量，Φ0=h/(2e)为磁通量子，EJi(i=1, 2)为约瑟夫森能，ECi(i=1, 2)为约瑟夫森结的充电能，CTi为超导环的并联电容。芯片1、2通过FBAR连接，其中芯片1、2由transmon qubit、外磁场驱动电路和测量电路组成，transmon qubit由2个相同的约瑟夫森结和超导环路并联1个电容CTi(i=1,2是用于区分2个qubit及其相关参数)组成[17]，穿过超导环内的外磁通量Φei用来调节qubit的跃迁频率ωqi，transmon qubit的哈密顿量为

(1)

图1 超导transmon qubit与FBAR混合量子门电路系统

理想的FBAR是由3个薄膜组成，本文采用Al/AlN/Al结构，即上、下层为Al电极层，中间压电层选用具有强压电效应的AlN，其中上电极层有宽度为w的缝隙，其作用是避免2个transmon qubit直接连接，且w取值足够小时，不影响体声波谐振器的功能。在1个振荡周期中，AlN压电层会随着垂直方向的表面电荷变化而收缩和伸展，导致压电层的厚度周期性变化如图2(a)所示。反之，压电层厚度的变化也会引起垂直方向的电荷变化。

图2 FBAR在1个工作周期中膨胀和收缩示意图及基于Butterworth-van Dyke模型的FBAR的等效集总电路

用基于Butterworth-van Dyke模型的FBAR等效电路来阐述FBAR的工作机理，其等效电路如图2(b)所示。图中，R0为介电损耗，Cm为等效机械电容，Lm为等效机械电感，Rm为等效机械损耗，FBAR平行几何电容C0=εrε0A/d(其中，εr为压电层相对介电常数，ε0为真空介电常数，d为压电层的厚度，A为电极层(Al)面积)。无量纲的压电耦合系数为

(2)

式中fs，fp分别为等效电路串、并联谐振频率，且

(3)

(4)

FBAR的哈密顿量为

(5)

在系统中，FBAR作为耦合器连接2个qubit，类似微波光子通道的功能，使2个qubit间实现虚拟交互。在不考虑测量电路的影响时，本系统的哈密顿量为

(6)

2 量子iSWAP门的实现

在式(6)的基础上，调节系统外电源使qubit工作在简并点处，利用旋波近似消除快速振荡项，该混合系统的Jaynes-Cummings模型为

(7)

(8)

(9)

(10)

式中最后一项可以理解为qubit的态位能通过体声波谐振器并暂时的存储在谐振器中，之后该量子态位会通过FBAR以虚拟交互的方式传送到其他的qubit。在旋转坐标系下，该混合电路的时间演化算子为

(11)

实际上，无论体声波谐振器工作与否，热激发引起体声波谐振器激发到第一激发态的数量(单声子)可表示为

(12)

式中T为环境温度。

(13)

图3 超导混合量子门系统的相对能级及其本征态之间的相干和退相干

在此基础上，量子iSWAP门结合单qubit量子门能实现量子C-NOT门和高复杂的量子计算[19-20]。

3 系统参数设计及其数值仿真

下面介绍本系统的实验可行性。为了获得FBAR的fs、fp和机械品质因数Qm，从而获得FBAR的等效电路参数，用有限元仿真软件COMSOL Multiphysics 研究FBAR性质。FBAR的仿真模型如图4(a)所示。

图4 FBAR仿真模型及其仿真结果

SiO2衬底的纵向长为150 nm；Al电极层厚为130 nm，顶层的2个Al电极间缝隙为300 nm；AlN压电层厚度d=330 nm。图4(b)为仿真得到FBAR在特征频率为6.26 GHz时的表面形变。由图4(c)可看出，在特征频率fmax=6.26 GHz时,FBAR的Qm达最大值为2 345.88。通过仿真结果结合式(1)可计算出FBAR等效电路的各个参数，如表1所示。

表1 FBAR的主要参数

上述混合量子体系是理想情况下，但在实际实验中,器件的耗散不可避免，这其中包括qubit的自身的弛豫和退相位、FBAR的耗散、超导环路的量子隧穿耗散。本系统中，起到主导影响的耗散是qubit自身退相位和FBAR的耗散，为了验证本系统执行一次量子iSWAP门的可靠性，引入系统的主方程来验证本器件的保真度，其主方程为

(14)

(15)

(16)

D[c]ρ=cρc†-c†cρ/2-ρc†c/2

(17)

(18)

实施一次iSWAP操纵的过程层析(process tomography)如图5所示(输入态为|100〉)，图5为理想状态和考虑系统散耗的过程层析仿真结果。其中，mn(m={i,x,y,z},n={i,x,y,z})为m和n的张量积。

图5 量子iSWAP门的过程层析

量子门的保真度是描述量子器件性能的一个重要指标，在仿真结果基础上对本系统的保真度进行了分析。理想的量子iSWAP门，当输入态为|100〉时，在tiSWAP后系统的输出态为|010〉，其输出态的密度矩阵ρI为

(19)

但在数值仿真时存在仿真误差，数值仿真的输出态密度矩阵为ρS,不考虑系统耗散时保真度为

(20)

由数值仿真结果可算出F=0.981 47。在考虑FBAR和qubit的耗散时，γm/(2π)≈4.201 MHz,γ↓i=0.01gi，γφi=0.001gi，数值仿真系统输出态的密度矩阵为ρD，数值仿真保真度为

(21)

根据式(21)得到其保真度为0.968 15，表明了本系统在执行一次iSWAP逻辑操纵时具有较高的可靠度。

4 结束语

本文提出了超导量子电路与体声波谐振器混合系统实现高保真度量子iSWAP门的新方案，引入体声波谐振器的Butterworth-van Dyke模型，建立系统量子化的哈密顿量，体声波谐振器起到类似微波光子通道的作用，使得两个transmon qubit之间进行虚拟交互和量子态位传送，并产生量子iSWAP逻辑功能。采用最新已报道的实验数据，估算了体声波谐振器和qubit的具体参数，数值仿真表明执行一次iSWAP操纵所需时间约为0.106 33 ms,且考虑系统耗散时其保真度高达0.968 15。该方案降低了制作超导量子门的难度，也为设计和制造高保真量子逻辑门奠定了基础。