强化“捆”的操作，促进认数的意义建构

石艳

【摘要】一年级教学认数时教师常常设计动手操作的活动帮助学生建立数的认识。操作的活动是否都能有效地帮助学生理解数的数学本质、学生在认数过程中是否理解十进制计数方法、如何设计有效的操作活动促进认数的意义建构等成为教师备课时必须思考的问题。

【关键词】捆操作 意义建构

笔者在之前的数学教研活动中听了一节一年级的“认识11～20”的研究课。教学中，教师通过让学生摆小棒、捆小棒等操作活动，帮助学生认识十几和二十各数。首先，教师先让学生用摆小棒的方法，复习从1～10的各数，提示学生10根小棒可以捆成一捆。相机板书“10个一是1个十”。然后，布置活动要求“用小棒表示12。思考怎样摆，能一眼看出是12？”学生在自我摆小棒之后，经过比较和汇报得出结论：左边摆一捆小棒、右边摆2根小棒，就能一眼看出12。接着，要求摆出13、16、19、20 等数。于是学生在已摆好12的小棒上，继续添加小棒的数量，以认识13、…、19、20。最后，再通过数数、写数等活动，提高学生点数的速度。整节课看上去学生似乎已经认识了11～20各数，也会读数、写数。

但是在深入的教研反思中大家提出，这样的教学过程，是否表明学生真正认识了11～20这些数的数学本质？是否理解十进制的计数方法？可以设计怎样的教学活动，来帮助学生认识本节课的数学本质？带着对这些问题的思考，笔者试谈对“认识十几”这节课所涉及的关于“捆”的操作问题。

我们知道，对于自然数的认识是学生认数的开始，也是学生接触到的抽象的数学概念，这关乎学生对数学学习的理解。11～20各数的认识，是对1～10各数认识的自然扩展，是学生认识两位数的起始阶段，也是认识十进制的启蒙阶段。是为20以内的加减及后续百以内数的认识与计算提供认知基础的。本节课教学目标不仅仅停留在要学生会读数、写数、知道数的组成，更要引领学生在活动中理解11～20各数的本质，理解数数、写数的意义，还要探究认识新的计数单位——“十”是怎么产生的。

人类发明的十进制计数法，是数学史上一次伟大的创造，它被马克思称赞为“最美妙的发明之一”。教学时应让学生从操作活动中、从十进制计数法的产生等方面，理解其原理是“十个一群”计数，10个一是1个十，从而为后面认识十个十是一个百，十个一百是一千等奠定认识基础，体会十进制的美妙之处。要让学生理解满十进一就形成一个新的计数单位。要实现这些教学目标，需要通过“捆”的动手操作来实现。

一、“捆”起来、“散”开去，在逆反强化中建立等价换算关系

“捆”是将分散的单个聚拢起来，形成一个大的认知单位的操作过程，是将脑内聚合认知思维的内在隐形操作外化为动作操作的过程。

（1）借助操作以外化思维操作。只有借助外在的捆捆操作，才能将内隐的智力操作可视地表征出来。教师在一开始的教学中，就引导学生用小棒摆出10根，边摆边复习1～10的数。当数到10根时，引导学生将10根变为一捆。让学生建立从“10个一”到“1个十”的认知过程，初步體会“十进制”的计数方法。然后布置用小棒摆“12”的活动，通过比较2根2根地摆、5根5根地摆、一捆和两根等不同的摆法，让学生自己比较、体验10根捆为一捆计数更方便，能一眼看出12。要让学生理解得知，如果不加捆扎，每一次计数都得一一点数，不可能实现一眼就得知是多少的计数便捷。体会到这些，才能实现借助12根小棒的带捆的物象，抽象出12的数感概念。

（2）双向操作以促进可逆思维。继续教学认识其余十几的数，但教学并不能止于此。上述教学过程是让学生通过捆捆操作，从以“一”为计数单位，过渡到添加以“十”为计数单位的新的计数思维。而且这种操作还得双向，即不但要捆捆，还要解捆，从“十”到“一”完成逆向的转化。即把一捆让学生解开，散为10根，表达出1个十就是10个一。这种操作可以反向强化1捆等于10根的相等换算关系——以完整认识“1个十等于10个一”“10 个一 就等于1个十”。现在的学具往往把十根一捆用一片塑片定制而固化了，这虽方便了摆放，但取消了学生动手捆扎和解捆的过程，变成了替换过程。不利于学生理解，教学中要适当提供一点让学生亲手捆扎和解捆的操作过程。

（3）操作与表达要呼应结合。在捆扎和解开的双向操作中，要让学生边操作，边说出10个一就是1个十，突出强调两者等价的换算关系。为了双向互逆理解，在捆扎和解开的操作中，让学生思考：10个一和1个十之间是什么关系？可以怎么表示？在学生思考回答基础上，教师相机板书出结语：10个一=1个十。而学生在阅读这一结语时，要有意识地不但从左向右读，也要注意从右向左读，使得阅读时口头表达结语，注意与操作动作的呼应：捆扎时说成10个一等于1个十，解开时说成是1个十等于10个一。

二、理解“捆”从何来，对捆“十”追根溯源以理解计数单位本质

本节课是学生理解进位制和位值制的重要开始。在让学生理解十进制的活动时，教师设计要学生动手操作数出10根小棒捆成一捆。那究竟为什么10个一根要捆为一捆？这个司空见惯不成问题的问题要引导学生质疑，使得“10个一是1个十”的合理性得到学生的认可。

（1）教师要引导学生质疑追问十进制。新的计数单位“十”的概念刚刚建立，还未完全引出，教师教学时可以提出这样的思考问题：“为什么10根捆成一捆，而不是7、8根捆成一捆？”以引导学生追溯对数概念产生的最初情形进行想象，推测原始的计数方法。

（2）借助双手理解捆的十进制。古人曾用手边的石头、树枝，以及身上的器官如手指、脚趾来作为替代物来点数，或者用绳子打结，在地面石块上刻画线等表示数（如图）。而人们的十根手指（或十个脚趾）就是原始的计数器。在数的点数、计数中，让学生理解、体验“满十进一”这一计数制约定俗成的合理性和自然性。可见，“一”和“十”是生活语汇“根”与“捆”的数学化抽象，而“根”与“捆”则是数学概念在生活中语汇的具体对应。

（3）理解十进制的教学，也可让学生散开一捆为10根再思考，捆扎，不但使得10根（个）为一个点数单位操作便捷，而且造成定型化、稳固化——一捆多少根？是与人的手指根数一样的数。这是新的计数单位的确立，而让学生捆扎和解开小棒，则是使之体验等价变换，在与“一”的计量单位联系中牢固建立“十”的计量单位概念，以及为后续的十进制计数中的“满十进一”“退一当十”提供感性经验的铺垫和孕伏。

三、从“捆”到“数”，抽象概括推进数学化

教师在教学13，…，19，20等数时，让学生操作小棒，往往是在原来12根小棒的基础上继续添加式地摆，学生只是在12这个数的基础上，去改变单个的根数，即在一捆和两根的基础上，添加两根，变为14，在14根的基础上再加上两根，变为16。然后让学生单个地说说十几数的组成。虽然这样操作省事了，但这样单个数的出现，不利于学生比较和发现十几的组成有什么共同的地方。如果改为让学生把三四个十几，上下排列，都摆出所表示的小棒一捆几根，再引导学生纵向思考，概括出共同之处，都是左边为一捆（1个十），右边为几根（几个一）。从而归纳出：1个十和几个一组成十几;反之可说成：十几是由1个十和几个一组成的。从观察、比较小棒的组成，抽象到数的组成，经过具体的概括抽象，由摆到说完成数学化思考的过程。这也就有利于说成：

12是由1捆和2根，即1个“十”和2个“一”组成;

14是由1捆和4根，即1个“十”和4个“一”组成;

16是由1捆和4根，即1个“十”和4个“一”组成;

……

具體十几数的组成，进而得到：

十几是由1个“十”和几个“一”组成的——概括十几数的组成。

这就形成对十几数组成的抽象概括思维训练，也为后续数位的教学，奠定理解的经验基础。

四、从“数”到“捆”，演绎训练，强化概念认知

有了上述的概括抽象，再让学生进入演绎的训练过程。教师可以任意举不同的十几数例，让学生摆出学具小棒;或者摆出小棒，让学生读出十几的计数;也可从数的组成上让学生互问互答，四人小组，依次分别说出：

甲：“我说15这个数。”

乙：“15是由1个十和5个一组成的。”

丙“1个十和5个一组成15。”

丁：“摆出1捆和5根，就能表示15。”

其余的数19、14、12、16让学生类推。学生经历概括和演绎的双向思维训练，强化概念的认知，巩固对十几和20各数的概念。而在操作、观察、探究、表达等互动游戏式的数学课堂活动中，学生对十几的数的组成和对“十进制”计数法有一个较为深刻而牢固的认识，加深主体性的感受和体验，达到趋于理解的深度学习程度。

可见，如此的教学不是简单走程序的一般化教学所能比拟的。它涉及学生作为主体的观察与思考的内外结合，认知与操作的双向对应，对司空见惯的数学现象的探究拷问，并渗透归纳推理的思维训练。一节“认识十几”的教研课，就这样促成了数学概念教研认知的生成与舒展。