三重境界 润物无声——处理二元三角方程(组)问题的点滴感悟

顾旭东

(江苏省海门中学，226100)

高中生对常规的二元方程组的求解总是得心应手,但对一些与三角函数有关的二元方程组求解时则显得心有余而力不足,操作起来缺少针对性的方法. 本文对一些常规问题稍作整理,以飨读者.

一重境界——看得见算得出，望尽天涯路

例1若sinα+sinβ=1,cosα+cosβ=0,求cos 2α+cos 2β的值.

所以,cos 2α+cos 2β=(1-2sin2α)+(1-2sin2β)=1.

评注本题的源头是求cos(α-β)的值,许多教学只关注三角式的结构特征,两式平方相加即可获解,缺少深挖问题潜在价值的思考.事实上,若题目变为求cos(α+β),可能会让很多学生走入困境,而本例消元求解的策略给我们指明了方向,有经验的老师会把求cos(α+β)与cos(α-β)结合起来,让学生通过解法比较,使课堂效率产生最大化.

二重境界——想得出算得到，一叶难障目

例2锐角α、β满足3sin2α+2sin2β=1,3sin 2α-2sin 2β=0,求α+2β的值.

即 9sin4α+9sin2αcos2α=1,

评注解法1固然能顺利获解,但与解法2相对可以秒杀的结局,方法的优劣立判高下.鲜明的对比告诉我们，在平时的教学中需要我们教师潜移默化、润物无声地培养学生的数学素养,学会从不同角度看问题.当然,对于学生而言,只有通过对数学的多练、多思、多悟,数学的感觉才能逐渐培养起来.

三重境界——看不见摸不着，灯火阑珊处

解方程的两个根为

=sin(45°±40°),

于是,x1=sin 5°,x2=sin 85°,即α=5°,β=85°.

评注本题源于2012年江苏高考第15题.原题作为解答题的第1题，命题者显然不会刻意为难考生,然而当年百分之九十的考生却为此失分,或由于思考时间过长而直接影响后续的解题,原因就在于有效解方程组的思路在那时没有想出来.本改编题求解时需要从函数名的角度挖掘两方程间的内在联系,结合消元思想使问题获解.