基于鲁棒主成分分析的低频水声信号降噪方法

吴耀文 ，邢传玺, 岳露露，万兴举

(云南民族大学 电气信息工程学院，云南 昆明 650500)

21世纪是海洋的世纪，中国共产党第十九次全国代表大会报告明确提出加快“建设海洋强国”的战略，我国众多学者纷纷展开了各种海洋科学研究.其中，水下目标的探测、导航、通信等实际应用领域都需要准确的水声信号，且水声信号降噪涉及水声信号的获取、传输、处理和融合，不仅在海洋科学研究、环境调查、资源开发与安全防卫中发挥越来越重要的作用，也是信息科学研究的热点方向[1].低频信号在水下具有传播距离远、衰减慢和损失小的特点，受到越来越多的关注.但由于复杂的海洋环境，水声信号在传播中往往会被海洋噪声污染，尤其是低频水声信号，更容易受到噪声的干扰，很大程度上影响了目标检测、定位与识别的准确性和有效性.因此，低频水声信号的降噪问题具有重要的研究价值.传统降噪方法采用线性滤波器滤掉噪声频率成分，但对于水声信号，会造成目标信号失真，改变降噪后输出信号的动力学特性[2].

为了有效降低海洋噪声对接收信号的干扰，诸多学者提出了多种降噪方法.近年来越来越多的研究人员热衷于对基于字典学习的降噪算法进行研究.其中，文献[3]分别对语音字典和噪声字典进行了研究并得到语音与噪声的联合字典，并通过将含噪语音信号投影到联合字典中，提取出纯语音信号.张扬[4]等利用混合高斯模型学习自然图像块的纹理结构，提出一种基于图像块先验的低秩近似和维纳滤波的去噪算法，实验结果表明此方法效果优于目前部分主流算法.Zhang[5]等提出一种基于最小相关分量约束的非负矩阵分解算法，该算法放宽了源无关假设，具有低复杂度的代数计算，对不相关源信号具有较好的分离性能.

在文献[6]首次提出鲁棒主成分分析(robust principal component analysis，RPCA)的思想后，大量学者开始致力于对语音信号进行稀疏低秩分解.本文结合水声信号具有非线性、非高斯、非平稳和低信噪比等特点，在鲁棒主成分分析的基础上，根据稀疏低秩分解与非负矩阵分解理论提出一种低频水声信号降噪算法.该方法多用于语音信号的降噪与增强领域中，但由于实际海洋环境中的噪声更为复杂，水声信号在传播过程中往往会被海洋噪声污染，导致接收信号具有较低的信噪比，所以将该方法应用于水声信号处理领域.文献[7]提出了一种基于稀疏低秩矩阵分解的水下视频前景提取方法，如果将水下视频帧叠加为矩阵的列，则可以自然地将静止背景建模为低秩矩阵分量，而前景中的运动目标则可以建模为稀疏矩阵分量.这种方法将前景和背景分离问题建模为一个稀疏低秩矩阵分解问题，最终得到了前景掩码和相应的提取前景.

大量研究表明，将信号幅度谱分解为低秩部分与稀疏部分最后得到的效果往往不是很理想[8].若想得到更好的降噪效果，需要将分解模型改变为把含噪信号幅度谱表示成低秩矩阵、稀疏矩阵与噪声3部分.本文依照此分解模型实现了对低频水声信号的降噪处理.该方法首先使用GoDec(go decomposition)算法[8]将水听器接收到的含噪信号幅度谱表示为低秩、稀疏和噪声3部分.其中噪声部分为高斯噪声，低秩部分中混有结构化噪声.然后，在去除噪声部分后通过非负矩阵分解对低秩部分进行处理，得到该部分的噪声特征；最后，根据得出的噪声字典，进行维纳滤波后得到降噪后的水声信号.本文基于简正波理论，对2种不同海况条件下的仿真信号进行处理，结果表明，该方法可实现在信噪比为-10 dB的情况下对低频水声信号的降噪处理.

1 基本理论分析

根据简正波理论来建立水声传播模型，用到的降噪处理算法有Godec算法、非负矩阵分解NMF和维纳滤波.其中Godec算法是一种基于鲁棒主成分分析的分解算法，该方法可以将矩阵分解为低轶L、稀疏S和噪声N三部分，从而降低计算的数据量；NMF算法多用于对文字、语音和图像的处理，该方法计算速度快，复杂度低，分解矩阵所占空间小，适用于对高维数据的降维；维纳滤波基于最小均方误差准则，可以对平稳过程做出最优估计，提高信号质量.

1.1 简正波理论

简正波用特征函数来描述声场[9]，每个特征函数对应一个方程的解，所有满足边界条件和初始条件的简正波线性叠加构成了一般解[10].可写为距离函数Rl(r)和本征函数ψl(z)的乘积

(1)

其中r为接受点到声源的距离，z表示接受点的深度.将上式带入声压方程可得简正波的特征方程

(2)

其中，k(z)=2π/λ表示波数，λ为波长.根据格林函数可以得到浅海声场声压简正波解

(3)

其中ψl=kr+iδl，表示简正波的复本征值；kr为水平波数，δi<0表示简正波的衰减系数.本文所采用(3)式所示的简正波模型进行仿真，获取波形预报，时域波形如图1所示.

图1 时域波形

1.2 降噪处理模型

本文所用的降噪处理模型是基于鲁棒主成分分析(robust principal component analysis，RPCA)的稀疏低秩矩阵分解模型，稀疏低秩矩阵分解是近年来机器学习和信号处理等领域的热点问题，是高维数据处理的基础和核心问题之一.

RPCA的主要思想来源于主成分分析(principal components analysis，PCA).PCA是一种使用最广泛的数据降维方法，该方法是一种对高维度特征数据预处理的方法，可以保留高维度数据中的一些重要特征，去除噪声和其他冗余，从而实现提升数据处理速度的目的.但是，如果在样本数据中存在一些具有较大偏差的样本时，其得到的结果通常会与实际情况有很大误差[11]，不能适用于含有稀疏噪声的数据.为弥补PCA的不足，Candes等[12]在此基础上通过求解一个称为主成分追踪(principal component pursuit，PCP)的凸优化问题，一个新的解决方案应运而生——鲁棒主成分分析.与经典PCA一样，RPCA本质上也是寻找数据在低维空间上的最佳投影问题.当观测数据较大时，PCA无法给出理想的结果，而RPCA能够从较大的且被噪声污染的观测数据中恢复出本质上低秩的数据.

根据RPCA能够把一个含噪信号幅度谱表示为一个低秩矩阵和一个稀疏矩阵两部分.假设含噪信号幅度谱为Y，则有

Y=L+S.

(4)

式中L为低秩矩阵，S为稀疏矩阵.(4)式可以通过处理凸优化问题来解决，在弱假设下根据主成分追踪来估计解

(5)

(6)

求解上式可以通过增广拉格朗日乘子法(augmented lagrange multiplier，ALM)[13]来解决这个问题.

1.3 Godec算法

Godec算法是一种基于鲁棒主成分分析的分解算法，该方法将分解转化为低轶L和稀疏S的交替优化，并克服了大数据量带来的计算负担，文献[14]证明该方法比RPCA具有更好的鲁棒性和有效性.该方法额外考虑了噪声部分N，即

Y=L+S+N,rank(L)≤r，card(S)≤k.

(7)

式中，rank(L)表示低秩矩阵L的秩，card(S)表示稀疏矩阵S的势(数据中非零元素的个数).

求解(7)式中的分解问题，可以通过最小化分解误差来解决，即

(8)

求解(8)式中的优化问题可以将其转化为交替求解以下2个子问题，直到收敛.因此可以在最小化分解误差下，分别对L和S进行计算

(9)

在Godec算法中，使用双边随机投影(bilateral random projection，BRP)来计算(9)式，相比于传统计算方法奇异值分解(singularly valuable decomposition，SVD)，运算速度明显提高，且很大程度地将计算复杂度降低.

在使用Godec算法对含噪信号幅度谱进行处理后，去除噪声部分即可移除非结构化噪声，但在低秩部分中仍然存在结构化噪声.之后就需要通过非负矩阵分解算法来进行多次迭代重复此类噪声所具有的特征，来提高信号的降噪效果.

1.4 非负矩阵分解NMF

结构化噪声通常是非平稳噪声，其功率谱为时变的.可以对低秩部分L运用非负矩阵分解(non-negative matrix factorization，NMF)[15]来重复这类噪声的特征信息.非负矩阵分解算法的约束条件为矩阵中的元素都是非负.NMF算法的优点有很多，计算速度快，复杂度低，分解矩阵所占空间小，适用于对高维数据的降维，多用于对文字、语音和图像的处理.具体计算步骤如下：首先对低秩矩阵求取模值，之后通过NMF获得非平稳噪声的字典Dn，即

|L|≈DnCn

(10)

其中，|L|表示低秩部分L的模，Dn表示基矩阵，也就是非平稳噪声字典，Cn表示与字典Dn对应的权重矩阵.

假设去除噪声部分N后的信号幅度谱为YLS，则有

(11)

其中，Ds表示无噪信号的字典，Cs为相对应的权重矩阵.

在利用NMF经过多次的迭代计算后可以得到噪声字典，然后根据(11)式可以计算出初始发送信号的幅度谱.

1.5 维纳滤波

为了更好提升对信号的降噪效果，最后采用维纳滤波对得到的降噪后的信号幅度谱进行处理，提高信号的质量.维纳滤波器是一种基于最小均方误差准则、对平稳过程的最优估计器.该滤波器的输出与期望输出之间的均方误差为最小，因此，它是一个最佳滤波系统，可用于提取被平稳噪声污染的信号.其频域表达式为

(12)

2 降噪处理计算

本文降噪算法流程如图2所示.首先通过短时傅里叶变换(short time fourier transformation, STFT)求得含噪水声信号幅度谱Y，然后使用Godec算法将含噪信号的幅度.

谱表示为低秩L、稀疏S和噪声N三部分，去除噪声部分后通过非负矩阵分解算法对低秩部分处理，迭代多次后得到噪声字典Dn；最后，使用所得结构化噪声字典，进行维纳滤波后做逆STFT变换得到降噪后的低频水声信号，具体处理流程如图3所示.

图2 降噪算法流程图

图3 具体处理流程

本文主要用到的降噪处理算法为Godec算法、非负矩阵分解NMF和维纳滤波.具体算法步骤如下：

步骤1 根据简正波方程即公式(3)进行波形预报，获取时域波形，得到仿真水声信号.

(13)

(14)

其中，vr(r,z)和vr(r,z)分别是水平振速和垂直振速的简正波表达式，ψ′l(z)是本征函数在z方向的一阶导数.公式(3)、(13)和(14)共同构成了浅海声场矢量的简正波解.

(15)

(16)

步骤3 Godec算法：根据公式(7)和公式(9)在秩为1的条件下对含噪信号幅度谱Y进行分解，得到非结构化噪声部分N、低秩部分L和稀疏部分S，记去除非结构化噪声部分N后的信号幅度谱为YLS

YLS=Y-N=L+S.

(17)

步骤4 NMF算法：初始化接收信号字典与噪声字典的原子个数，经过大量实验选择合适的原子个数为50，且设定迭代计算的次数为200.对低秩矩阵L求取模值后根据公式(10)计算得到非平稳噪声的字典Dn，即

(18)

根据公式(11)经过多次迭代计算后可得到接收信号的幅度谱Ys与结构化噪声信号的幅度谱Yn，即

YS=DS×CS，YN=DN×CN.

(19)

3 仿真结果分析

为验证本文方法的可行性和有效性，对不同海况下即不同信噪比的仿真低频水声信号进行降噪处理，验证该方法的降噪效果.为验证算法的可靠性，基于2013年在黄海实验的真实海试数据进行仿真，首先根据简正波方程即公式(3)进行波形预报，采用的真实海洋环境参数如下：海底为弹性海底，水深 25 m、海水密度1.5 g/cm3、海底吸收为 0.5 dB，声源位于水下 10 m深处，水听器位于水下 9 m深处，二者相距 10 km，声源与水听器不在同一深度是为了避免多途带来的干扰.海水中的声速为2013年在黄海实验的实际测量声速剖面，如图4所示.发送信号频率为 300 Hz，采样点数为18 000个，仿真水声信号及频谱如图5所示.根据被动声纳方程，假设声源可全方位接收，声源级为 120 dB，接收指向性指数为0.表1为根据文献[16]得到的不同海况与不同频率下的浅海噪声级数.

表1 浅海噪声级数 dB

由表1可知在平稳海况下且信号频率为 300 Hz 时的浅海噪声级约为 78 dB，声源与水听器间的传播损失为 40 dB，根据被动声纳方程计算可得接收信号的信噪比约为 2 dB.在极端海况条件下，恶劣的海洋环境如台风、海浪等会导致接收信号具有极低的信噪比，其噪声级约为 90 dB，经测量极端海况条件下的接收信号信噪比为 -10 dB.

通过对比分析图6和图7可以看出，在应用本文方法降噪后，能够较好地降低噪声对信号的影响，有效逼近原始发送信号.在输入信号信噪比为 2 dB 时具有很好的降噪效果，即使在极端海况条件下即信噪比为 -10 dB 时，也可以有效降低噪声干扰和提高信噪比，实现了对低频水声信号的降噪处理.

4 结语

针对水声信号的非线性、非高斯、非平稳和低信噪比等特点,将基于鲁棒主成分分析的Godec算法、非负矩阵分解算法和维纳滤波应用于低频水声信号处理领域，实现了对两种不同海况下仿真水声信号的降噪处理.研究结果表明该方法对低频水声信号进行处理是一种行之有效的方法，在水声信号处理研究领域具有重要作用.