关于p－可解群的二极大子群

缪龙　陈龙　赵瑜　鲍宏伟

摘要：文中研究了有限p－可解群中二极大子群的相关性质。采用极小阶反例的方法，并结合极大子群的指数，得出p－可解群中强二极大子群的判别条件，同时还探讨了弱二极大子群本身的性质。从而揭示了二极大子群对p－可解群结构的重要影响。

關键词：p－可解群;极大子群;二极大子群;CAP－子群

中图分类号：O152.1

DOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2020－02－012

On second maximal subgroups of p－solvable groups

MIAO LongCHEN LongZHAO Yu BAO Hongwei3

Abstract： In this paper， the properties of second maximal subgroups in finite p－solvable groups have been studied. By using the method of counterexample of minimal order and combining with the indices of maximal subgroups， the criterion of strong second maximal subgroups in p－solvable groups has been obtained and further the properties of weak second maximal subgroups have been discussed. Hence the influences of second maximal subgroups on the structure of p－solvable groups have been revealed.

Key words： p－solvable group; maximal subgroup; second maximal subgroup; CAP－subgroup

众所周知，二极大子群是有限群论中最基本的概念之一，许多学者已对其作了很多研究［1-7］。二极大子群可以分为强二极大子群和弱二极大子群两种类型，具体可参考下文定义4。特别地，1980 年，Plfy和Pudlak在文献［1］中证明了可解群G中包含强二极大子群的极大子群个数为1+q（其中q为素数方幂）。随后，Feit和Lucchini分别在文献［2］和［5］ 中证明了群G为非可解群时上述结果不成立。1995 年，Flavell 在文献［8］中给出了群G中包含强二极大子群的极大子群个数的上界。2019年，孟沆洋和郭秀云在文献［9］中讨论了可解WSM－群的性质。另一方面，Gaschütz在文献 ［10］中提出了子群覆盖远离的性质（简称CAP－性质），是对子群正规性的一个有意义的推广。随后，许多学者利用子群的CAP性质研究了有限群的结构［11-14］。作为上述工作的继续，本文将研究具有CAP性质的二极大子群对p－可解群构造的影响。

文中所考虑的群均是有限的，M<[KG-*2／3]·G表示子群M 是群G 的极大子群，群G的极小正规子群L记作L·[TXX-] G，max（G，H）表示群G中所有包含子群H 的极大子群的集合，HG=∩[DD（X]g∈G[DD）]Hg表示包含于子群H 的群G 的极大正规子群。未涉及的概念和符号参见文献［15］。

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（编 辑 张 欢）

收稿日期：2020－01－10

基金项目：国家自然科学基金资助项目（11871062）;江苏省自然科学基金资助项目（BK20181451）

作者简介：缪龙，男，江苏扬州人，教授，博士生导师，从事群论研究。