基于滑模变结构的轮式机器人双环轨迹跟踪控制

肖光飞，胡秋霞，韩 磊，赵 津

（贵州大学机械工程学院，贵州 贵阳 550025）

1 引言

近年来，随着传感器技术的不断进步，机器人的研究成为热门领域，轮式移动机器人（wheeled mobile robot，WMR）作为一个比较典型的研究实例受到了重视。由于其广泛的应用领域，如工业制造、农业，国防领域等。在一些条件较为恶劣的工作环境中完成人类难以胜任的任务，针对复杂的应用场景，操作任务层次和难度的不断提高对机器人轨迹跟踪控制能力的要求也逐渐的提高。因为轮式移动机器人非线性程度比较高同时所受约束条件不完整，致使利用传统线性控制方法完成机器人轨迹跟踪控制任务比较困难。针对上述问题，近年来研究学者提出了许多有意义的方法。

在国外，不考虑存在滑移的情况下，文献[1]提出一种模型参考自适应控制方法，针对参数不确定的非完整约束下的轮式机器人动态模型，设计出基于运动学与动力学的控制器。文献[2]基于运动学模型与Lyapunov函数设计了内环控制器对线速度和角速度进行控制进而完成了目标轨迹的跟踪；在外环控制其中基于动力学模型造成的不确定性，利用神经网络控制算法来进行补偿。存在滑移情况下，文献[3]考虑系统约束和动力学差异的条件对目标轨迹跟踪问题进行了研究，利用线性矩阵不等式构建了自适应控制器。同样针对存在滑移情况下的移动机器人轨迹跟踪问题，文献[4]在考虑存在动态干扰影响的情况下，设计了模糊自适应控制律对干扰进行补偿，跟踪误差则使用反步法设计了反馈线性化控制器进行控制。在文献[5]中Dongkyoung Chwa采用反步法设计了具有全局收敛特性的跟踪器，但其设计的滑模控制器结构较为复杂。

在国内，在未考虑滑移的情况下，曹政才等人利用滑模变结构控制方法设计了一种自适应滑模动态控制器使轮式机器人对期望轨迹进行跟踪，文中采用分层控制结构，基于运动学模型设计上层控制器，而下层控制器则基于动力学模型，并将上层的输出作为下层的参考输入，进而控制驱动电机达到期望的驱动力矩[6]。文献[7]利用模糊控制算法，通过结合模糊-积分混合控制与粒子群优化这两种智能算法，消除了系统的稳态误差进而优化了控制器的控制效果。文献[8]针对车轮纵向打滑情况下的跟踪问题，提出了利用自适应非线性反馈控制律对纵向滑动进行补偿的方法实现了轨迹跟踪控制。文献[9]针对类似情景下的目标轨迹跟踪控制问题，利用滑模变结构与Lyapunov函数设计出用于轨迹跟踪的控制律，文中作者提出的方法只有当系统高度线性化时才能满足控制效果的全局渐近稳定性。

上述控制方法中控制结构较为复杂、系统的全局渐近稳定性无法得到保证。

综上所述，针对轮式移动机器人轨迹跟踪问题，结合其运动学模型推演出误差跟踪方程，并根据滑模变结构算法设计了满足全局渐近稳定的控制律，构建了内外环控制系统，其中位置子系统为外环，姿态子系统为内环。外环控制系统采用具有动态全局稳定性的双曲正切函数设计的控制律产生中间指令信号θd，并传递给内环系统；内环控制系统使用滑模控算法对中间信号进行跟踪。在闭环系统中对中间指令信号θd进行二阶微分保证其导数θ˙d的连续性。文中利用饱和函数替换符号函数来消除抖振现象，并针对闭环系统的稳定性进行分析，保证整个闭环系统的渐近稳定性。从仿真结果中可以看出所提出方法的有效性和稳定性。

2 问题描述

研究的轮式移动机器人为差动驱动移动机器人，如图1所示。驱动轮位于两侧，分别由独立的直流伺服电机驱动，当电机转速不同时左右两后轮会产生“差动”现象，从而实现转弯。利用两驱动轮连线中点M所表示的坐标及航向角θ来表示机器人的位姿状态。令 P＝［x y θ］T，q＝［v ω］T，其中［x y］表示移动机器人在全局坐标系中的位置，θ角为机器人前进方向与全局坐标系x轴的夹角；v和ω分别表示机器人的运动线速度与旋转角速度。

其运动学方程为：

从该方程中可知模型的控制输入为2，输出变量为3，符合典型欠驱动系统的特征，只能实现2个变量的主动跟踪，剩余的变量为随动或镇定状态。进而由式（1）可以得到移动机器人的运动学模型为：

3 双环控制系统设计

对于轮式移动机器人轨迹跟踪系统，设其状态向量为P=［x y θ］T，q=［v ω］T；期望轨迹为 Pd=［xdydθd］T，qd=［υdωd］T。轨迹跟踪位姿误差，如图1所示。

图1 移动机器人位姿误差坐标Fig.1 Mobile Robot Poses Error Coordinates

对于移动机器人目标轨迹跟踪问题，需要关注的是向量P中表示被控对象在全球坐标系中位置和朝向的状态量x，y与θ，惯性坐标系中被控对象的期望位置与航向角：xd，yd与θd。线速度与角速度的期望输入分别为vd，ωd且有界，同时保证vd＞0。期望轨迹与期望速度满足如下关系：x˙d=vdcosθd，y˙d=vdsinθd，θ˙d=ωd。

针对目标轨迹跟踪问题可以从运动学模型出发构建轨迹跟踪控制器，该系统的结构框图，如图2所示

图2 双环控制框图Fig.2 Double Loop Control Block Diagram

该控制系统由内外环构成，其中外环为位置子系统，内环为姿态子系统，外环位置子系统产生中间指令信号θd并传递给内环系统，在内环系统中由所设计的滑模变结构算法对中间指控信号进行跟踪，并使其满足系统要求进而完成目标轨迹的跟踪任务。在基于运动学模型设计的双环控制结构中，采用了具有全局渐近稳定的双曲正切函数来设计外环控制律，这样可以保证位置跟踪闭环系统满足Lipchitz条件，内环控制采用滑模控制律，同时考虑了内环角度跟踪误差对位置跟踪闭环系统稳定性的影响，进而保证整个双环轨迹跟踪控制的全局渐近稳定性。

3.1 位置子系统控制律设计

位置控制子系统作为外环系统，可设其律为v，同时取目标轨迹为［xdyd］，实现x跟踪xd，y跟踪yd，于是可以得到误差跟踪方程为：

式中：xe=x-xd，ye=y-yd—轨迹跟踪的位置误差。

上式所求的θ为位置控制律所要求的航向角，当θ=θd时，期望的轨迹控制律就可以满足要求，不过在控制的初始阶段实际的θ≠θd，这就会致使闭环跟踪系统出现不稳定现象。因此，可以将期望航向角θ的值设为：

由式（3）和式（4）可知跟踪误差方程可以变为：

设控制律为：

式中：a、b、p1、p2—均＞0。

于是模型可以化为：

由定理可知 xe→0，ye→0。

定理文献[10]中提出动态系统全局渐近稳定定理：

式中：α，k＞0。则有当 t→∞ 时，η→0。

证明如下：

定义Lypunov函数为：

式（9）中对等号两边求一阶导可得：

由式（4）可得实际的位置控制律输出为：

3.2 姿态子系统控制律设计

姿态控制子系统作为内环系统，可设其控制律为ω，从而实现航向角θ对期望航向角θd的跟踪。

设航向角误差为 θe=θ-θd，取滑模面为 s=θe，则：s˙=θ˙e=ω-θ˙d。

设计姿态控制律为：

其中，k＞0，η＞0。

3.3 闭环系统稳定性分析

存在期望航向角θd，满足期望轨迹跟踪，式（2）可以变化为如下形式[11]：

可见，若实际航向角θ与期望航向角θd不一致必定会对位置闭环系统稳定性造成影响。考虑角度跟踪误差的影响，采用理想条件下的控制律v1和v2结合式（6），则式（12）可转化为如下形式：

4 仿真研究与结果分析

为了验证文中所提出控制算法的有效性，分别选取直线型、正弦型期望轨迹进行验证。

4.1 直线型期望轨迹

图3 直线轨迹跟踪结果Fig.3 Straight Line Trajectory Tracking Results

4.2 正弦型期望轨迹

图4 正弦轨迹跟踪结果Fig.4 Sine Trajectory Tracking Results

5 结论

针对轮式机器人欠驱动非线性系统的轨迹跟踪控制问题，设计了包含有位置控制子系统和姿态控制子系统的双环控制系统，利用滑模控制策略推导出具有全局渐近收敛稳定性的基于轮式机器人运动学模型的控制律，并对闭环系统的稳定性进行了分析，在仿真过程中针对控制波动现象采用饱和函数代替切换函数。从仿真结果可以看出该算法能够保证被控对象目标轨迹跟踪的准确性和稳定性。