数学概念学习障碍的表现与突破

林志华　温碧洪

摘    要  数学概念是中小学数学教学的核心。然而学生在概念学习时存在语言能力障碍、逻辑能力障碍、抽象能力障碍，影响了数学基础知识的掌握，突破数学概念学习障碍的路径包括概念形成、概念同化和概念运用。

关键词 数学概念 学习障碍 概念形成 概念同化 概念运用

中小学数学概念教学中经常出现两种情形：其一是学生对数学语言理解模糊不清，认知结构混乱，无法准确区分概念间的不同，适用条件不准确;其二是学生对基本概念只会死记硬背，机械化记忆，而不去真正分析对比、理解掌握，常常混淆新旧概念，久而久之，会严重影响对数学基础知识的理解运用，打击学生数学学习的积极性与自信心。只有突破数学概念学习障碍，正确理解、掌握基本概念，才能夯实数学基础知识与基本技能，增强学习信心。因此，如何有针对性地帮助学生正确理解和掌握概念，对过往错误概念进行修正，建立科学的概念学习方式，便显得十分重要[1]。

一、数学概念学习障碍的具体表现

概念教学是中小学数学教学的重要组成部分，因为数学概念是计算、判断、推导的基础，准确地理解概念是正确解题、运用的前提。反之，假若不能正确地理解数学中的各种概念，那么相关的公式、定理、法则的理解就会更加困难，应用所学知识去解决实际问题就会张冠李戴、漏洞百出。然而，数学概念具有抽象性、逻辑性特点，加之中小学生年龄小、生活经验不足、智力发展参差不齐等方面的原因，在数学概念学习中常常出现各种不同的学习障碍，我们要结合学生身心发展特点去分析他们产生概念学习障碍的根源，才能更好地进行数学概念的教学。

1.语言能力障碍

由于数学概念要通过数学语言来表达，数学语言缺失是学生概念学习障碍的常见问题，数学语言能力的障碍表现为：对数学语言符号的不理解，不能抽取数学语言的特征信息，不能清晰准确地表述数学概念，不能完整准确地书写数学符号和数学概念。在课前复习概念的提问中，有的学生知道概念的含义，但不能用自己的语言表达出来，表达不规范、不清晰，数学语言薄弱;有的学生喜欢死记硬背，学习数学概念时总是重述教材中的定义，但不理解概念的内涵，不会用自己的语言进行表述[2]。

2.逻辑能力障碍

数学概念学习障碍还体现为逻辑能力薄弱。逻辑思维的强弱直接影响到学生透过表象认知本质、通过具体认知抽象的能力，影响认知的关联性和合理性，影响到新旧概念的重新建构。逻辑能力障碍主要表现在逻辑能力缺失、逻辑思维混乱、逻辑不严谨。逻辑能力的缺失、逻辑思维混乱，常导致学生用虚假命题推导，或用违反正常思维的方式去理解概念，对概念的理解学习只能按照自己的思维进行，对概念学习产生极大误导。逻辑的不严谨常使学生在概念学习过程中考虑不周全，管中窥豹，影响对概念的准确理解判断[3]。

3.抽象能力障碍

抽象概括能力是对事物由感性认知提升到理性认知的能力。通常情况下，须要从事物或现象的外部特征观察开始，对不同事物进行比较，找到它们的共同点，并对这些共同点加以抽象概括，解释某一类事物或现象的本质特征，抽象概括的深度广度、准确性、完整性都会关系到概念的认知。抽象概括能力是随着知识的积累而不断提高的，是对客观事物观察后的高度总结。中小学生的思维暂时处于发展阶段，抽象能力障碍使得学生看待问题只停留于表面，不能从事物的本质方面、主要方面提取，将本质与非本质的东西混淆，加大了数学概念理解的难度[4]。

二、数学概念学习障碍的突破路径

数学概念的学习向来不是一个简单的教师向学生传递的过程，而是学生感性认知、逐步理解和建构的过程。心理学家皮亚杰的同化和顺应理论认为学生的学习过程是一个由感性到理性、由低级到高级的不断拓展、加深的过程。数学概念的学习也要历经概念形成与概念同化，并在实际运用中验证强化，才能逐步建构清晰完整的数学概念体系。

1.概念的形成

概念形成[5]是学习者对同类事物的各种实例进行分析，对比它们与其他事物的区别，从而发现这类事物的共同特征。具体过程如下：辨别刺激模式—分化刺激模式的属性—抽象刺激模式的共同属性—检验假设、确认关键属性—概括并形成概念—推广关键属性—表示新概念。

在概念形成过程中，辨析刺激模式、本质属性与非本质属性的分化这两步是关键。首先要选用直观形象的刺激物引入。数学概念具有抽象性和逻辑性，小学生的思维特点仍以感性思维为主，正处在从感性具体的形象思维向理性抽象的逻辑思维发展阶段。因此，数学概念教学要遵循小学生思维发展特点，要循序渐进，从简单到复杂，从感性到理想，特别是遇到一些远离学生实际经验的概念时，更应注意直观形象。比如长方形概念的教学，可以让学生观察身边熟悉的桌面、墙面、黑板面等事物，进而引入长方形概念。

其次是重视本质属性与非本质属性的分化。在数学概念教学中，概念本质属性的抽取是数学概念掌握的关键，应从事物的整体、本质和内在联系出发，分离出概念的本质属性与非本质属性，重点强调其本质属性，促进学生对概念的理解掌握。例如分数知识点的教学，分数意义的本质属性是“单位1”和平均分，也就是让学生掌握平均分的对象和平均分的方法，通过分圆、修道路等学生熟悉的实例用分数表示，详述怎样把一个事物平均分成若干等份。

2.概念的同化

概念同化是揭示同類事物的关键属性并用数学语言方式进行表述，利用头脑中已经掌握的概念去接受一个新的从属概念。具体过程如下：揭示概念的关键属性—突出概念的本质特征—建立新旧概念联系—肯定与否定案例辨析新旧概念—同化新概念。

在概念同化过程中，辨析新旧概念与同化新概念是关键。首先要注重辨析新旧概念。数学中新概念常会与旧概念产生混淆，教学中可用对比的方法进行辨析，厘清它们之间的区别和联系。例如互质数与质数的概念容易混淆，所以在学完互质数的概念后，要及时对两个概念进行比较：互质数是表示两个数的关系，而不能把一个数称为互质数，如果a与b的公约数只有1，我们称作a与b是互质数。例如3与4的公约数只有1，就称3与4是互质数，若单独把3叫做互质数，或者把4叫做互质数都是不正确的。而质数只针对一个数，取决于这个数本身具有的性质。如5的约数只有1和5本身，所以5是质数。因此，让学生明确一个数是不是质数，与其他的数无关;而两个数是互质数，与这两个数是否是质数无关，如果两个数是互质数，那么这两个数可能都为质数、也可能一个数是质数一个数是合数，还可能两个数都为合数，例如8与9是互质数，但8与9都是合数[6]。

其次重视新旧概念联系，同化新概念。认知心理学家布鲁纳和奥苏伯尔认为，学习是学习者认知结构的组织和再组织，把新概念纳入原有概念知识体系，新旧概念发生相互作用，新概念才能在学生的头脑中获得意义。例如学习梯形概念后，要将所有学过的四边形进行概括分类，整理成图1：

这样学生就能对所有学过的四边形有个清晰的认知，四边形的概念结构也更加完备。

3.概念的运用

数学课程目标不仅要求学生了解概念产生的背景，理解基本数学概念的本质，还要求学生具备运用数学概念分析解决问题的能力。灵活运用概念能力是理解掌握概念的重要标志。概念的运用联系，一方面可以巩固新概念并加深理解概念的本质，另一方面有利于建立数学概念之间的联系，扩大概念知识的网络。例如，学习完分数的乘法与除法概念后，用下面的例子进一步巩固[7]。

2.王兵看一本书，第一天看了全书的，第二天看了剩下的，还剩下全书的几分之几？

通过例子的练习，使学生及时巩固分数乘法和除法概念以及对应的运算法则，熟练分数运算的求解要点，在运用分数乘法和除法概念解决问题的过程中进一步巩固分数乘除的概念。

参考文献

[1] 杜成智.数学理解在初中数学概念教学中的运用[J].教学与管理，2019（10）.

[2] 何紫嫦.培养数学语言能力促进学生思维发展[J].教育导刊，2010（05）.

[3] 张孝玉.在小学数学教学中培养学生初步的逻辑思维能力[J].山东教育科研，1997（03）.

[4] 李昌官.数学抽象及其教学[J].数学教育学报，2017，26（04）.

[5] 林志华. 幂、指数、对数函数的教学调查研究[D].福州：福建师范大学，2017.

[6] 吕程，王凌.概念域：数学概念教学的应有视角[J].教学与管理，2019（08）.

[7] 陈涛清.小学数学概念教学的优化策略[J].教学与管理，2015（26）.

[责任编辑：陈国庆]