三维激光球杆仪的系统误差分析与补偿

徐 良，娄志峰，田雨辰，李 影，王立鼎

(大连理工大学机械工程学院，辽宁大连 116024)

0 引言

随着智能制造的发展，对具有更好重复性和更高空间定位精度的工业机器人需求不断增长，尤其在航空、汽车等制造行业［1］。激光跟踪仪作为工业机器人的高效校正仪器，其需求也持续增加［2］。激光跟踪仪由精密测距系统和精密测角系统组成，是一种便捷式、高精度三维空间坐标测量系统，但由于制造、安装的原因，系统将不可避免地存在精密二维转台两旋转轴不垂直、不相交，出射光与水平轴不垂直，编码器安装偏心等未对准误差［3－5］。这些系统误差对激光跟踪仪空间坐标测量精度产生了重要影响，因此对激光跟踪仪各主要误差源进行精确的测量及补偿，可有效地提高激光跟踪仪空间坐标的测量精度。

自1985年美国国家标准技术研究所(NIST)的Lau等提出基于球坐标法的激光跟踪测量系统以来［6］，激光跟踪仪的误差机理及精度分析一直是国内外学者研究的热点。Loser与Muralikrishnan等分别系统地分析了带反射转镜和无反射转镜两类激光跟踪仪的误差源，以几何分析法建立了几何误差模型，并利用长度测量和正倒镜测量法对各项误差进行了间接标定［7－9］。Hughes等对 Muralikrishnan 无反射转镜的几何模型进行轻微变体，建立新几何模型，通过针对优化布局的空间网络点进行测量间接拟合出模型参数［10］。Cotne等人则采用D－H建模方法建立了无反射转镜激光跟踪仪的运动误差分析模型，采用迭代搜索误差参数矢量值，并与上述的几何模型进行了比对。这些研究基本是采用间接法获得模型参数，存在各个误差项相互串扰、难以精确标定出各误差项大小的问题［11］。在国内，张黎滋等基于矢量分析与坐标转换相结合的方法，建立反射转镜倾斜下跟踪仪空间测量误差模型，标定了跟踪仪转镜倾斜误差并进行补偿，但模型未分析跟踪仪其他的几何误差源［12］。宋辉旭等基于激光追踪测量系统，设计了一套二维万向节式回转轴系，并研究了其几何误差以及跳动误差与激光追踪测量系统的测量精度之间的关系［13］。崔成君等基于几何光学原理建立了光轴与竖轴的几何误差模型，提出了激光光轴与竖轴的同轴度标定方法［14］。这些研究虽然从单向误差入手，很好地保证各单项误差的测量精度，但并未考虑各项误差对整机的综合影响，缺乏完整的补偿方法。

为解决激光跟踪仪跟踪系统复杂性、成本高等问题，本实验室自主研制了一种被动式的激光跟踪仪，称为三维激光球杆仪。为提高该仪器的测量精度，本文系统地分析了影响其测量精度的主要误差源，并采用多体系统误差建模方法［15］建立了该系统的运动误差模型，同时提出各项误差参数的标定方法，实验证明该补偿模型能有效提高该仪器的测量精度。

1 三维激光球杆仪误差建模

1.1 三维激光球杆坐标系的建立

如图1所示，三维激光球杆仪测量系统由2个轴线垂直装配的精密转台与1个通过两旋转中心的径向伸缩杆组成。系统采用激光多普勒位移计(LICS100)作为位移测量传感器，精密二维转台的水平编码器和竖直编码器作为角度测量传感器，构成一个三维球坐标系统。

图1 三维激光球杆仪结构示意图

如图2所示，三维激光球杆仪伸缩导轨端部的标准球可被空间待测点(如机械手臂端点)磁力吸附。当待测点在空间任意运动时，标准球也将被动同步运动，如此被测点的三维空间坐标将由三维激光球杆仪实时输出。

图2 三维激光球杆仪

为将三维激光球杆仪的球坐标转为笛卡尔坐标，参考坐标系建立如图1所示。Z轴为二维转台的竖直轴，水平方位角为0°时的水平轴即为X轴，通过右手定则确定系统的参考Y轴，即俯仰角度为0°时与两旋转轴标准垂直的光轴，三轴的理想交点为原点O。

1.2 三维激光球杆仪主要误差源分析与定义

由于加工、装配的原因，系统不可避免地存在光机结构误差。如图3所示，精密二维转台的竖直轴与水平轴不垂直、不相交，光轴与水平轴不垂直。本文定义竖直轴与水平轴的不垂直度为α，不相交度为Δy，水平轴与光轴的不垂直度为β。同时由于径向的伸缩装置是堆叠的双层导轨构成，其存在导轨的直线度误差，定义为 δx和 δz。

图3 三维激光球杆仪主要几何误差示意图

由于系统的二维转台为精密二维转台，其运动误差很小，故本文的研究将忽略精密二维转台两旋转的运动误差，只考虑其静态几何误差。

1.3 三维激光球杆仪误差补偿模型

由三维激光球杆仪测量系统的结构可知，系统对空间位置的测量可以转化为以下过程:二维转台方位旋转部件1带动整个装置绕基座0旋转θ角度，然后二维转台俯仰旋转部件2带动伸缩板在旋转部件1上俯仰φ角度，最终，径向伸缩部件标准球3在旋转部件2的伸缩板上伸缩距离R。由文献［15］可知，总体变换矩阵T为

式中:T01S为绕Z轴旋转θ角度的理想运动特征矩阵;T12S为绕X轴旋转角度的理想运动特征矩阵;T23S为滑块沿导轨在Y轴方向移动R的理想特征矩阵，则各特征矩阵如式(2)～式(4)。

根据运动链关系，忽略精密二维转台的运动误差时，1.2节所述的误差源的误差传递矩阵如式(5)～式(7)。

故存在这些静态几何误差与导轨的直线度误差时，三维激光球杆仪末端标准球的实际坐标为

1.4 不同坐标系间的坐标关系

对于空间同一点，在不同的坐标系下其坐标是不一样的。当三维激光球杆仪用于校正空间运动目标动态轨迹精度时，需要在统一的坐标系下比对，而常将测量仪器坐标系转换到运动目标坐标系下，故存在2个坐标系下的转换。

式中^Ij(I=X，Y，Z;j=A，B)为j坐标系下I轴的单位方向向量。

当已知参考坐标系B的原点在参考坐标系A中的坐标为APORGB(三维笛卡尔坐标构成的列向量)时，则有:

获得坐标变换矩阵后可将三维激光球杆仪测得的坐标转换到运动目标(如机械手臂)坐标系下，与运动目标坐标实时比对。

2 模型参数的测量原理

2.1 二维转台两旋转角度测角误差标定与补偿

二维转台中圆光栅编码器的制造误差，安装偏心、倾斜，安装后变形等都会带来测角误差，而角度测量误差是影响测量精度的重要因素，故先需对精密二维转台的测角误差进行标定和补偿。如图4所示，测角误差标定系统由高精度光电自准直仪、平面反射镜、多齿分度台和二维转台组成。当二维转台自转给定角度，随后多齿分度台作为一个高精度标准元件带动二维转台反转同样的给定角度，则二维转台的测角误差将在高精度光电自准仪中显示，如此旋转一周，就可得到整周误差。

由于圆光栅的制造、安装误差带来的测角往往不随时间改变，故可采用谐波误差模型拟合，谐波误差补偿模型如式(11)所示［17］。

图4 角度误差标定装置示意图

2.2 垂直度误差α和β的标定

竖直轴和水平轴、水平轴与光轴(导轨轴)的不垂直度都将带来空间被测点的水平方位角度测量偏差，且其带来的测量误差随装置的俯仰角度不同而不同。图5为当存在垂直度误差时，在不同俯仰角度下，产生的水平测角误差。

图5 轴系垂直度误差带来的水平测角误差

当两项误差同时存在时，随着不同的俯仰角度，共同使得水平方位角度持续改变，其变化关系如式:

式中:Δθ为竖直轴编码器的变化量;φ为俯仰角度。

2.3 竖直轴与水平轴不相交度标定

三维激光球杆仪的末端标准球可以在正镜和倒镜两种模式下被空间同一点吸附。理想情况下，倒镜模式需相对正镜模式绕竖直轴旋转180°，同时绕水平轴旋转180°。当两旋转轴存在不相交度Δy时，如图6所示，吸附端不动，倒镜模式下右端面将相对于正镜模式移动2Δy。

2.4 导轨直线度误差δx和δz的测量

伸缩杆的导轨运动误差将由准直仪系统测量，以获得导轨的上下、左右运动偏差［18］，本系统需采用准直仪在线实时测量。

图6 正倒镜模式下水平轴安装偏移的影响

3 参数测量与校正

3.1 二维转台两编码器测角误差测量与补偿

按图4所示搭建测角误差测量装置。光电自准仪对准平面镜，调整二维转台的回转轴与多齿分度台同轴，二维转台以10°为间隔朝逆时针方向自转，同时多齿分度台顺时针回转10°，光电自准直依次获得各间隔点的分度误差。将测得的4组离散数据点的均值带入式(11)中，最小二乘拟合出各谐波项的幅值和相位。由图7可知，补偿后测角误差在±1″以内。

图7 角度误差测量结果图

3.2 竖直轴与水平轴不相交度Δy测量

两旋转轴的偏移量Δy的标定装置如图8所示。调整底座，使得伸缩端尽可能水平，由万分表测量正倒镜模式下端面平面镜的相对位移。

图8 正倒镜测量水平轴安装偏移

分别记录测量在正镜、倒镜模式下万分表读数，4次实验读数如表1所示。由表1可知，竖直轴与水平轴的不相交度为－12.1 μm，标准差为 0.3 μm。

表1 水平轴与竖直轴不相交度的测量结果 μm

3.3 垂直度误差α和β的测量

本文采用精密三轴机床测量垂直度误差α和β。如图9所示，首先，调整好三维激光球杆仪底座，使得三轴机床沿X轴运动时，二维转台的水平轴编码器读数保持不变，然后三轴机床沿其Z轴移动，如此即可获得俯仰角度与水平方位角度变化关系。

图9 标定、比对装置图

图10 为俯仰角度与水平角变化量关系，为保证测量精度，将各组离散数据由式(12)最小二乘拟合。5次的拟合均值 α=108.56″，标准差为 2.48″，β= －5.66″，标准差为 0.5″。

图10 两垂直度误差产生的方位编码器变化关系图

4 模型补偿效果验证

将上述测得的各项参数和补偿后的角度带入误差补偿模型中，与精密三轴机床做补偿前后精度比对。为进行直接坐标比对，需将三维激光球杆仪坐标系转换到三轴机床上。首先，让精密三轴机床沿着其X轴运动，三维激光球杆仪等距采集10点，然后机床沿其Z轴移动时，三维激光球杆仪以同样的方式采集10点，并将机床的起始点定义为坐标零点。

将上述测得的各点，进行空间直线最小二乘拟合，即可获得机床X、Z轴在三维激光球杆仪坐标系下的方位，由式(10)即可将三维激光球杆仪捕获的坐标实时转换为机床坐标系下。

首先，对补偿前后的坐标测量精度比对。经过上述变换后，机床分别沿X、Z轴运动，三维激光球杆仪转换后的坐标与机床内部坐标直接比对，图11为机床沿X、Z轴的补偿比对结果。比对结果表明，补偿后，X轴定位误差从20 μm减小到8 μm，Z轴定位误差从60 μm减小到25 μm，补偿模型能有效提高三维激光球杆仪的定位精度。

完成单轴坐标测量精度比对后，进行垂直度误差补偿验证，即当机床只沿Z轴运动时，三维激光球杆仪转换后的坐标，是否X也保持不动。在X轴选离原点任意距离(本文取X=20.37 mm处)，机床沿Z轴移动，比对补偿前后三维激光球杆仪转换后X坐标的变化量。比对结果如图12所示。比对结果表明，垂直度带来的系统误差从120 μm减小到28 μm，模型能有效补偿轴系间的误差。

5 结束语

本文针对影响三维激光球杆仪测量精度的主要误差源，采用多体系统误差建模方法建立了仪器的整机误差模型，设计了模型各项参数的标定方法，搭建了针对模型各参数项的精确标定装置，并通过坐标系间的转换，与精密三轴机床进行直接坐标比对，完成了补偿效果验证，得到以下结论:

(1)通过本文搭建的装置对二维转台水平角和俯仰角进行标定补偿，补偿后测角误差在±1″以内。

图11 补偿前后定位误差比对图

图12 补偿前后垂直度误差比对图

(2)以高精度机床为参考标准，标定出垂直度误差 α 和 β 的均值分别为 108.56″和－5.66″，正倒镜法测得竖直轴与水平轴轴系不相交度为－12.1 μm。

(3)通过对以上标定的误差进行补偿，在180 mm×180 mm的平面空间内，垂直度带来的系统误差从120 μm 减小到20 μm，X 轴的定位误差从20 μm 减小到 8 μm，Z 轴的定位误差从 60 μm 减小到 25 μm。