拱脚带水平约束弹簧的车辐拱平面内稳定性能

王海山，谢伟烈，李竞远，郭彦林

(1.浙江中南建设集团钢结构有限公司，浙江 杭州 310052；2.清华大学 土木工程系，北京 100084)

0 引 言

拱结构历史悠久，拱凭借本身的曲线形状产生水平推力，可以将外荷载产生的一部分弯矩转换为轴压力，使构件截面均匀承压的效率提高。相比相同跨度的梁，拱结构沿轴线分布的弯矩幅值显著降低，整体刚度和承载力均有明显的提高[1]。针对两铰和固支钢拱，国内外对拱平面内的稳定性能及设计方法，已经有了很成熟的研究成果[2-11]。

由于钢拱以压弯为主，往往会存在稳定问题，因此在实际工程中常引进拉索来改善钢拱的受力性能，索拱结构便应运而生。车辐拱(图1)是索拱的一种典型形式，其不仅受力合理，承载效率高，而且造型优美，同时拉索还可以减小拱脚的水平推力。车辐拱非常受到建筑师的青睐，已广泛应用于空间结构工程，如图2所示。王高宁等[12-13]深入研究了两铰车辐拱平面内弹性屈曲和弹塑性稳定性能。计算结果表明，在全跨和偏跨竖向均布荷载作用下，车辐式布索方案可以降低钢拱对几何初始缺陷的敏感性，显著提高钢拱的平面内整体刚度和稳定承载力。此外，对拉索施加预应力，其对承载力几乎没有影响，反而过大的预应力会降低车辐拱的承载力。由于车辐拱中的拉索占用了建筑室内净空，往往被应用在非落地的钢拱建筑中。此时，拱脚产生的水平推力会对支承结构增加负担，支承结构的水平侧移也会改变车辐拱的受力性能。

图1 无索拱和车辐拱的结构示意图

图2 车辐拱在工程的应用

考虑车辐拱拱脚支承柱或墙的侧向水平刚度影响，车辐拱拱脚可简化为竖向刚性连杆和水平弹簧连接的计算模型(图3，其中，θ为角度坐标，S为拱的全弧长，H为矢高，L为车辐拱跨度，h为索盘高度，kh为两侧水平弹簧刚度，R为拱的半径，φ为钢拱的半开角。)。对于无索拱来说，拱脚水平约束弹簧刚度的不足会削弱拱脚推力，进而增大沿拱轴线的弯矩，使得拱在竖向荷载作用下的力学行为发生变化。本文重点研究拱脚水平约束弹簧对车辐拱受力性能的影响，并依据计算结果提出设计建议。

图3 拱脚带水平约束弹簧的车辐拱计算模型及荷载工况示意图

Bradford等[14-17]对拱脚带约束弹簧的拱结构进行了深入研究。文献[14]假设两侧拱脚水平约束弹簧的刚度相等，采用虚功原理建立拱脚水平约束弹簧抛物线拱在跨中集中力作用下的非线性平衡方程，给出了相应弹性屈曲荷载的闭合解，并与有限元分析结果进行了对比验证。

文献[15]进一步考虑拱的材料非线性，采用理论推导、数值计算以及试验方法研究了拱脚带水平约束弹簧拱的弹塑性稳定性能。另一方面，文献[16]，[17]在文献[15]的基础上，考虑不同方向的拱脚约束弹簧(包括径向、切向和转动方向等约束弹簧)刚度变化对拱结构稳定性能的影响。此外，杨洋等[18-19]推导了拱脚带水平约束弹簧圆弧钢拱的跨中轴力和拱脚位移，采用有限元法进行弹性屈曲分析和弹塑性承载力分析，基于数值计算结果拟合得到弹性屈曲荷载和极限承载力。分析中将拱脚水平弹簧刚度量纲一化得到如式(1)所示的弹性柔度系数ζ，简化了计算和分析过程。显然，当ζ=0时，拱脚水平弹簧的刚度为无穷大，钢拱为理想两铰拱。相反，当ζ为正无穷大时，其弹簧刚度为0，在竖向荷载作用下，拱脚无水平约束，可以沿水平方向自由移动，故钢拱变为弧形梁。

(1)

式中:I1为钢拱截面的惯性矩；A1为钢拱的截面面积；λg为拱的几何长细比；E1为钢拱的弹性模量。

目前，非落地车辐拱的工程应用逐渐增多，但考虑拱脚支承结构水平刚度影响的研究成果却很少。本文以车辐拱作为研究对象，研究拱脚的水平弹簧刚度变化对车辐拱平面内稳定性能的影响。采用有限元法对车辐拱在全跨竖向均布荷载(全跨荷载)和半跨竖向均布荷载(半跨荷载)作用下的一阶弹性性能和弹塑性稳定承载力进行研究，揭示拱脚带水平约束弹簧的车辐拱内力变化以及平面内失稳机理，为车辐拱结构设计提供依据。

本文取典型尺寸的车辐拱(图3)进行研究，其跨度取L=50 mm，矢跨比H/L=0.3，0.4，索盘高度按照h=0.5H计算，拉索沿钢拱轴线均匀布置，并依据实际应用情况，数量取11根。钢拱截面采用圆钢管，尺寸为700 mm×20 mm，拉索直径为60 mm。计算和分析过程中，采用弹性柔度系ζ作为反映拱脚水平约束弹簧刚度的参数。计算结果可为这一跨度范围内的车辐拱提供设计指导。

1 一阶弹性分析

车辐拱在荷载作用下的内力和变形大小及其分布是结构设计的重要依据。本文采用有限元软件ANSYS建立无索拱和车辐拱的计算模型并进行一阶弹性分析，研究拱脚水平弹簧约束刚度变化对无索拱和车辐拱在全跨荷载和半跨荷载作用下的拱脚水平推力、变形以及沿拱轴线内力分布的影响。其中，钢拱由Beam188单元模拟，其弹性模量E1=206 GPa，泊松比为0.3；拉索采用只拉不压的Link10单元，其拉伸弹性模量E2=190 GPa；拱脚水平弹簧采用Link8单元，两侧弹簧等刚度设计。仅考虑无索拱和车辐拱的平面内稳定问题，考虑到拉索初始预应力对车辐拱的稳定性能影响不显著[12]，故本文不考虑给拉索施加预应力。

1.1 全跨荷载作用

图4 弹性柔度系数ζ对无索拱和车辐拱的拱脚推力影响(全跨荷载)

图5 不同ζ的无索拱和车辐拱对应的变形(全跨荷载且H/L=0.3)

图6 不同ζ的无索拱和车辐拱对应的弯矩图(全跨荷载且H/L=0.3)

图7 不同ζ的无索拱和车辐拱对应的轴力图(全跨荷载且H/L=0.3)

研究在全跨荷载作用下弹性柔度系数ζ变化对无索拱和车辐拱拱脚水平推力的影响，计算结果如图4所示，其中，Fx为不同ζ值对应的拱脚推力，Fx，0为ζ=0(拱脚为固定铰)对应的拱脚推力。以矢跨比0.3为例，图5～7分别给出了单位全跨荷载作用下的变形、弯矩和轴力图，其中，M和N分别为弯矩和轴力，Mmax和Nmax,0分别为最大弯矩和轴力。图5～7反映了不同ζ值对无索拱和车辐拱变形和内力的相对影响。内力分布图中横坐标均为量纲一的角度坐标θ/φ；纵坐标为相应内力幅值与拱脚为固定铰对应的最大内力幅值的比值。另外，在车辐拱的变形图中，将拉索单元去掉，仅保留钢拱的轮廓线，且将变形适当放大。

计算结果表明，无索拱的水平推力下降比较平缓，导致各ζ值对应的变形和内力分布区别十分明显。随着ζ的增大，无索拱的变形和内力分布逐渐接近于拱脚无水平约束的弧形梁，即跨中轴力逐渐归零，最后拱沿轴线完全向下挠曲，其中跨中弯矩和变形最大。当拱脚无水平约束时，弧形梁对应的弯矩幅值约为两铰拱的16倍。

对于车辐拱，当ζ从0增加到0.02时，水平推力迅速下降，导致在这范围之内两铰车辐拱与拱脚带水平约束弹簧车辐拱的受力机理差异较大。当ζ达到0.02后，拱脚推力曲线接近平台阶段并趋近于0，表明其受力机理与车辐弧形梁基本相同。当拱铰为固定铰(ζ=0)时，两铰车辐拱两侧向外凸曲，而顶部向下挠曲，其中两侧各1/20跨到3/20跨位置和拱顶部位的弯矩较大。当拱脚受到水平弹簧约束或拱脚无水平约束时，车辐拱沿拱轴线基本都是负弯矩，其中跨中弯矩较小。与无索拱不同的是，车辐拱随着拱脚推力被削弱，轴力逐渐增大，故降低了弯矩幅值，受力更加合理。当拱脚无水平约束时，车辐弧形梁的最大轴力相比两铰车辐拱增大了2/3，而最大弯矩幅值仅增加了1倍左右。

综上可知，在全跨荷载作用下，拱脚水平弹簧刚度变化对无索拱的受力性能影响非常显著。相反，虽然车辐拱的力学行为对拱脚水平约束条件变化也十分敏感，但拱脚水平弹簧刚度变化对车辐拱内力幅值的影响较小。

1.2 半跨荷载作用

与全跨荷载作用类似，研究了在单位半跨荷载作用下弹性柔度系数变化对无索拱的拱脚推力、变形以及内力的影响，计算结果见图8～11。在半跨荷载作用下，无索拱和车辐拱的水平推力与弹性柔度系数的变化趋势与全跨荷载工况相似。

图8 弹性柔度系数ζ对无索拱和车辐拱的拱脚推力影响(半跨荷载)

图10 不同ζ的无索拱和车辐拱对应的弯矩图(半跨荷载且H/L=0.3)

图11 不同ζ的无索拱和车辐拱对应的轴力图(半跨荷载且H/L=0.3)

对于无索拱，计算结果表明，随着ζ增大，轴力逐渐减小，加载半跨内的最大弯矩幅值不断增大，非加载半跨内的挠曲方向逐渐转向。当拱脚无水平约束时，拱轴线完全向下挠曲，其最大弯矩幅值约为两铰拱的4倍。

对于车辐拱，计算结果表明，半跨荷载作用下拱脚固定和拱脚非固定(带水平约束弹簧或无水平约束)对应的变形和轴力分布都比较相似，但是弯矩分布区别十分明显。随着弹簧刚度减小，轴力逐渐增大，拱两侧1/5跨的弯矩也逐渐增大且转向，但在拱顶相邻两侧的弯矩反而逐渐减小。当拱脚无水平约束时，最大弯矩幅值仅约为两铰车辐拱的1/2。这表明拱脚的水平弹簧约束可以改善车辐拱在半跨荷载作用下的受力性能。

总之，在半跨荷载作用下，减小拱脚水平弹簧刚度会显著降低无索拱的承载力，但可以提升车辐拱的承载力。

2 弹塑性稳定承载力分析

除了对拱轴线内力变化进行分析外，本文研究拱脚水平弹簧刚度变化对无索拱和车辐拱在全跨荷载和半跨荷载作用下弹塑性稳定性能的影响。分析中考虑几何初始缺陷的影响，给出车辐拱相应的荷载-位移曲线以及极限状态下的应力分布。最后，研究了拱脚柔度系数对其极限稳定承载力的影响，并比较了无索拱与车辐拱二者之间的差异。在计算分析中，钢拱材料单向拉伸试验对应的材料应力-应变曲线采用双线性强化模型，其屈服强度fy=345 MPa，初始屈服后的切线模量为0.02E1；由于拉索的破断力较高，故索采用理想弹性材料，其他保持与上文相同。此外，取拱轴线正弦双波反对称屈曲模态[12,20]作为钢拱的几何初始缺陷分布模式(图12)，并且考虑到制作、施工中的误差以及残余应力等因素，取其缺陷幅值δ为全弧长的1/1 000。

图12 无索拱和车辐拱的几何初始缺陷

2.1 全跨荷载作用

图13 不同ζ的车辐拱对应的荷载-拱顶竖向位移曲线(全跨荷载)

图14 不同ζ的车辐拱对应的荷载-拱脚水平位移曲线(全跨荷载)

图15 车辐拱在极限状态对应的钢拱应力(全跨荷载且ζ=0.02)(单位:MPa)

采用本文有限元模型计算车辐拱在全跨荷载作用下的荷载-位移曲线，计算结果见图13，14。两图分别反映了不同弹性柔度系数ζ值对应的荷载-拱顶竖向位移和荷载-拱脚相对位移之间的变化关系，其中纵坐标均为荷载集度q与两铰车辐拱的极限承载力qu,0的比值，图13的横坐标为拱顶竖向位移uz,A与矢高H的比值，图14的横坐标为拱脚相对水平位移ux,pin与跨度L的比值。图15给出了ζ=0.02的车辐拱对应的钢拱Von Mises应力图。

图13和图14计算结果表明，在加载阶段初期，荷载和位移几乎线性变化。对比矢跨比0.3和0.4的车辐拱，前者柔度系数的增大对车辐拱刚度的削减比后者大，说明车辐拱更适合应用于大矢跨比的情况。另一方面，由于拱脚相连的拉索可以有效地约束拱脚向外移动，达到极限状态时，车辐拱的拱脚水平位移很小，仅为跨度的1.2%～3.3%(图14)。此外，计算结果也表明，拱脚柔度系数对其承载力的影响有限。

图15的应力云图表明，在极限状态下，ζ=0.02的车辐拱两侧沿轴线的应力分布基本对称，由于在拉索位置存在局部集中力，有明显的屈服区域扩展。此外，在车辐拱两侧1/10跨位置附近，塑性区的扩展和弯曲变形较大。

图16总结了在全跨荷载作用下，拱脚水平弹簧刚度变化对弹塑性承载力的影响，其中纵坐标为极限承载力qu与拱脚为固定铰时对应的极限承载力qu,0的比值。可以发现，无索拱和车辐拱的承载力曲线都存在峰值。对于无索拱，当弹性柔度系数ζ=0.005时，对应的承载力最大。当弹性柔度系数超过0.005后，无索拱的承载力开始明显下降。ζ=0.1对应的极限承载力仅为两铰无索拱的35%～50%。

图16 弹性柔度系数ζ对无索拱和车辐拱极限承载力的影响(全跨荷载)

对于车辐拱，存在极限承载力峰值对应的最优柔度系数，其值为ζ=0.000 4。与无索拱不同的是当ζ达到0.02后，承载力基本没有变化，ζ增加到0.10时仅有约10%的折减。

2.2 半跨荷载作用

本文研究了半跨荷载作用下弹性柔度系数变化对无索拱和车辐拱稳定承载性能的影响，计算结果如图17～20所示。图17横坐标为3/8跨点竖向位移uz,B与矢高H的比值。

图17 不同ζ车辐拱对应的荷载-3/8跨点竖向位移曲线(半跨荷载)

图18 不同ζ车辐拱对应的荷载-拱脚水平位移曲线(半跨荷载)

图19 车辐拱在极限状态对应的钢拱应力图(半跨荷载且ζ=0.02)(单位:MPa)

图20 弹性柔度系数ζ对无索拱和车辐拱极限承载力的影响(半跨荷载)

从图17可以看出，对于矢跨比为0.3的车辐拱，如一阶分析结果所述，当拱脚由固定铰变为无水平约束时，极限承载力提升了30%左右，但竖向刚度略有下降。对于矢跨比为0.4的车辐拱，随着ζ的增大，承载力和竖向刚度的变化不明显，仅略有提升。

从图18可以看出，与全跨荷载工况相同，拉索的存在对约束拱脚位移十分有效。当拱脚无水平约束时，拱脚位移仍然很小，其最大位移仅为跨度的1.3%。与全跨荷载工况不同的是，当外荷载接近极限荷载时，拱脚位移逐渐减小。这是因为在加载初期，车辐拱在加载半跨内向下挠曲，使得拱脚向外移动。当加载半跨挠度较大时，在变形最大的位置附近，拱轴线出现向下凹曲，此时拉索的作用使得拱脚滑动方向发生了改变。

从图19的Von Mises应力云图可以看出，当拱脚柔度系数ζ=0.02时，在极限状态下，非加载半跨内的应力比较小，而加载半跨内的应力比较大，其中在3/8跨位置附近应力是最大的。

对比弹性柔度系数对无索拱和车辐拱弹塑性承载力的影响(图20)，发现无索拱的承载力随着ζ的增大显著下降，而车辐拱的承载力反而有所提升。当ζ大于0.02之后，承载力几乎没有变化。这说明，在半跨荷载作用下拱脚水平刚度不足对车辐拱的稳定承载力反而有提高作用。

3 结语

(1)车辐拱可以显著限制拱脚的水平位移，减小钢拱截面的弯矩幅值，提高钢拱的稳定性能。随着车辐拱拱脚水平刚度减弱，拱脚水平推力迅速降低，但全跨均布荷载作用下的承载力降低不多，半跨均布荷载作用下的承载力略有提升。

(2)在全跨荷载作用且拱脚无任何水平约束的情况下，车辐拱对应的极限承载力相比两铰车辐拱仅有10%左右的折减，并且其塑性发展较大区域或破坏位置发生在拱两侧1/10跨位置而非拱顶部。

(3)在半跨荷载作用且当拱脚从固定铰变为无水平约束时，车辐拱的稳定性能有所改善。对于矢跨比为0.3的车辐拱，承载力可以提高约30%，但整体刚度有所下降，而对于矢跨比为0.4的车辐拱，其承载力和整体刚度均有所提升，但其变化不十分明显。