一类随机惯性时滞神经网络的稳定性

章月红,刘 伟,蒋望东

(绍兴文理学院元培学院数学教研部,浙江绍兴312000)

§1 引 言

从数学和物理学的角度分析,无惯性神经网络系统可理解为超阻尼(阻尼趋向无穷大)的模型,当阻尼超过临界值时其每个神经元状态的动力性质也将改变.因此在实际问题中也要考虑有阻尼(弱阻尼)情况下神经网络的动力性质.于是惯性神经网络日趋受到广大学者的认同,其动力学行为的研究颇受关注.如:文[1-3]分别研究了单个惯性时滞神经元网络的分岔,混沌和周期解的稳定性.文[4]研究惯性时滞两神经元系统的动力.[5]研究了具有时滞的惯性神经网络的反周期解的稳定性.[6-7]分别研究具有变时滞脉冲惯性神经网络和复杂神经网络的全局收敛性问题.[8-9]对于具有变时滞惯性神经网络在拉格朗日意义上的全局指数稳定和指数稳定分别得到研究.在[10-11]中,对于惯性Cohen-Grossberg型神经网络分别研究其平衡点稳定性和周期解指数稳定.[12]对于一类具有Leakage时滞惯性Cohen-Grossberg神经网络的全局指数稳定性和的Hopf分支给出了判定条件.[13]研究了马尔可夫跳跃参数惯性Cohen-Grossberg神经网络的稳定性.对于惯性BAM神经网络动力行为的研究也有不少结果如文献[14-19].在[20-21]利用非降阶方法分别得到惯性神经网络周期新的结果和动力学分析新的研究.在实际中,系统除了受到阻尼(惯性)因素干扰外,还会受到随机因素的干扰,而对随机神经网络各种类型动力行为的研究较为成熟,已有不少成果.如参考文献[22-23]对随机细胞神经网络稳定性分别进行了讨论,[24-25]对随机Hop field神经网络分别给出均方指数稳定和周期解,[26-29]对随机神经网络分别给出了稳定性结果,[30]讨论了随机时滞递归神经网络稳定问题,在文[31]中,讨论了随机扩散Cohen-Grossberg型BAM神经网络周期解稳定性,[32-33]分别讨论了随机Cohen-Grossberg神经网络的稳定性和指数同步,[34]研究随机扰动神经网络的脉冲控制等等.

众所周知,实际应用必须建立在系统的稳定性之上,所以考虑两个因素同时干扰下的神经网络,即随机惯性神经网络稳定性在理论和应用上都具有研究价值.从作者所查阅信息资料所知,到目前为止,对于既含有随机项又同时包含惯性项的神经网络模型稳定性研究尚未见到相关文献.本文将讨论在现有的神经网络模型中同时添加随机和惯性项,研究一类随机惯性时滞神经网络稳定性问题,它将是一个较有新意的研究课题.同时通过引入合适的变量替换,将二阶微分系统变换为一阶微分系统,利用随机微分方程有关性质和递推归纳,给出判定其系统平衡点存在唯一及全局渐近稳定和解指数稳定的充分条件,得到新的研究成果,这将对其系统在理论上探究和实际应用都具有一定意义.

对于一类惯性时滞神经网络

如果在系统(1)中加上随机扰动项,得到一类随机惯性时滞神经网络

其中xi(t)表示系统状态;βi>0为阻尼(惯性)系数,αi>0为常数;aij,bij表示输出反馈权值;τij≥0表示时间时滞;fj(xj(t))表示系统输出;Ii表示系统的阈值或偏项;cijgj(xj(t))dBi(t)表示随机扰动,并且B(t)=(B1(t),B2(t),···,Bn(t))T是定义在完备概率空间(Ω,R,P)上具有自然滤波{Rt}t≥0的n维Brownian运动.

给定(2)的初始条件

其中ϕi(s),ψi(s)是有界连续函数,而

本文主要研究系统(2)平衡点随机全局渐近稳定和解指数稳定的问题,并给出其判定的充分条件.

§2 预备知识

§3 主要结果

注 本文主要讨论一类随机惯性时滞神经网络稳定性问题,并给出其系统平衡点存在唯一及全局渐近稳定和解指数稳定判定条件,即得到定理3.1-定理3.3新的研究成果.与作者所查阅到的现有文献结果比较,他们所研究的结果只是在神经网络模型中单一加上惯性项如参考文献[1-21],或者在神经网络模型中单一加上随机项如参考文献[22-34],即他们仅考虑在各类神经网络模型系统中只含有惯性或者随机项单一因素的干扰.而本文研究的问题既考虑到含有惯性项又考虑到含有随机项,在两个因素同时干扰的情况下研究一类随机惯性时滞神经网络系统平衡点和解的稳定性问题.从数学,物理理论知识上分析,惯性项的出现使神经网络具有更加复杂的动力学性态,它是导致系统出现分叉和混沌的一个主要因素.另一方面,随机因素是客观存在不可避免的,系统运行时常常会受到随机因素的干扰,例如控制上的变化,观察中的误差,乃至传感器噪声.因此,在神经网络模型中同时增加随机和惯性项,将二者结合能模拟更为复杂的网络系统,也是对现有的神经网络系统的丰富与完善,是一个值得去探讨的新课题.本文得到的研究成果,将对其系统设计的探索和实际应用的实现提供了理论上的判据.

§4 数值例子

可知系统(22)满足定理3.2的条件,由定理3.2可知(22)的唯一平衡点是随机全局渐近稳定的,计算可得平衡点为(π,π).另一方面,任意给出四组初始值:

图 1 例4.1状态变量x1(t)的瞬时响应

图 2 例4.1状态变量x2(t)的瞬时响应

通过数值模拟得到例4.1状态变量x1(t),x2(t)的瞬时响应图1-2.显然,从图可知其模拟结果与定理3.2理论推导结论相一致.

取η1=4,η2=5,Li=0.2,Mi=0.2.经计算系统(23)满足引理2.4和定理3.3的条件,由定理3.3知,系统(23)的解是指数稳定的.另一方面,任意给出四组初始值:

图 3 例4.2状态变量x1(t)的瞬时响应

图 4 例4.2状态变量x2(t)的瞬时响应

通过数值模拟得到例4.2状态变量x1(t),x2(t)的瞬时响应图3-4.显然,从图可知定理3.3理论推导结论与其模拟结果一致,说明所得理论结果的正确性.

§5 结论

随机惯性时滞神经网络既考虑了阻尼因素,又考虑了随机干扰因素.因此,与单一研究惯性神经网络稳定性或随机神经网络稳定性在理论和应用上更具有研究价值.在本文中,研究了系统(2)随机惯性时滞神经网络平衡点随机全局渐近稳定性和解指数稳定性,给出了其稳定性判定的充分条件,对于实际应用和理论的探讨具有一定的意义.同样,利用本文的讨论思路和方法,可进一步研究其他类型的随机惯性神经网络的稳定性问题,如:随机惯性Cohen-Grossberg神经网络的稳定性,随机惯性BAM神经网络的稳定性等.