泛函微分方程波形松弛方法的收敛稳定

范振成

(闽江学院数学与数据科学学院,福建福州350108)

§1 引 言

在芯片(大规模集成电路)设计领域,仿真计算作用重大.描述芯片的数学模型一般是超高维的微分代数方程组,使用诸如线性多步法和Runge-Kutta方法等经典数值方法进行仿真计算时,因其计算量太大,效果不理想.描述芯片的高维微分代数方程组,一般是由若干联系微弱的小方程组构成,针对这个特点,基于解代数方程组的迭代法,Lelarasmee等提出了解微分方程的波形松弛方法[1],其基本想法是先利用迭代技术将大系统分成若干独立的小系统,然后根据各小系统的特点选用适合的经典数值方法进行求解计算.与经典方法相比,波形松弛方法因具有并行性和多速率两个优点,而更具优势.在物理,电子,生物等领域,事物将来的状态往往不仅与现在状态有关,而且受过去状态影响,此时泛函微分方程是更理想的模型.研究泛函微分方程的波形松弛方法是必要的.

考虑泛函微分方程(FDEs)

取分裂函数F(t,x,x,y(·))=f(t,x,y(·)),令x0(t)是(1)精确解x(t)的初始近似,满足x0(t)=g(t),t∈I.建立迭代格式

由此可得x(t)的近似解序列{{xk(t):t∈I∪J},k=0,1,2,···},称此方法为(1)的波形松弛方法.

[2]考虑延迟微分方程(一种特殊的泛函微分方程)的波形松弛方法

假设分裂函数F(xk+1(t),xk(t),xk(θ(t)))关于括号里第一项满足单边Lipschitz条件,关于第二三项满足全局Lipschitz条件,在这两个条件下,利用内积的性质,得到了波形松弛解和对应准确解的差的不等式,在此基础上证明了波形松弛方法是超线性收敛的.[3-5]研究泛函微分方程(2)的收敛性.在分裂函数F关于xk+1(t)满足单边Lipschitz条件,关于xk(t)和xk(·)满足全局Lipschitz条件时,部分借鉴[2]的方法,文献[3]证明了(2)是收敛的,文献[4]得到了(2)生成的近似解的误差估计,该估计揭示了延迟和误差的的关系.文献[5]针对分裂函数F满足线性和非线性条件,和推广的依赖时间的Lipschitz条件两种情况,得到了新的误差估计,并从不同的角度与全局Lipschitz条件下的误差估计进行了比较.

近些年,围绕收敛性,泛函微分方程波形松弛方法的研究工作持续推进.如推广到中立型泛函微分方程,分数阶泛函微分方程,随机泛函微分方程等,参见[6-12].

在(2)的计算过程中,误差不可避免.如果初始值或分裂函数的微小改变,将引起解的剧烈变动,即方法不稳定,则方法没有意义.目前罕见关于(2)稳定的研究工作.考虑(2)的扰动系统

其中Fk+1≈F,k+1≈g,0≈x0.[3]研究了(2)和(3)的解的关系,证明了在某些条件下,当k→∞,Fk+1→F,k+1→g时,k→x.此结果说明了在某些条件下,初始值和分裂函数的微小改变不会引起解的剧烈变化,据作者所知这是唯一的与(2)稳定性相关的工作.

本文借鉴文献[2-4]提出的技术,研究(2)的稳定性.分析波形松弛方法(2)和它的扰动系统(3)的解的差,利用[2-4]的方法,推导得出了k−xk的估计式,进而根据该估计得到(2)的稳定条件,改进了[3]的结果.

§2 主要结果

这说明了推论2.1改进了[3]的结果.

§3 定理的证明

§4 数值算例

图1 波形松弛方法(25)与其扰动系统(26)的解的差

如果(25)中初始值和右端函数发生小的改变,则得到扰动系统

其中k=0,1,···,0(t)=x0(t)+ε0(t),对t∈[−1,100].

使用步长h=0.01的改进Euler方法(2阶Runge-Kutta方法)分别求(25)和(26)在节点tn=nh,n=−1/h,−1/h+1,···,100/h的近似解{xk,n}和{k,n}.如果两个近似解的差有界,则(25)稳定,否则(25)不稳定.为了满足(H3)-(H5)并尽可能接近实际情况,取δk(tn)=rξk,n,εk(tn)=rζk,n,这里{ξk,n,ζk,n}是相互独立的服从U(−1,1)(区间(-1,1)上的均匀分布)的随机变量序列,r是一个正常数.记ek,n=|k,n−xk,n|,在图1中分别画出了k=10,r=1,k=10,r=0.01,k=100,r=1和k=100,r=0.001时(25)和(26)的解的差{ek,n}.结果表明波形松弛方法(25)是稳定的.

§5 结论

假设泛函微分方程波形松弛方法的初始值和每一步计算都有微小扰动,分析了生成的扰动系统的解的变化情况,得出了扰动系统和原系统的解的差的估计式.该估计说明,在很一般的条件下扰动系统的解变化不大,即波形松弛方法有较强的抗干扰能力.改进了文献[3]的结果.文中提出的收敛稳定不同于绝对稳定,A稳定等常见数值近似方法的稳定,更接近零稳定.众所周知收敛蕴含零稳定,目前尚不清楚收敛是否一定收敛稳定.以后将继续研究二者的关系.