探究公式本质 引领思维提升——以“空间几何体的表面积”的备课、磨课为例

万金珠 侯 斌

(江苏省无锡市太湖高级中学, 214125)

一、背景介绍

笔者有幸参加无锡市高中数学评优课评比活动，课题为“空间几何体的表面积”.经历数次备课、磨课以及研讨直到赛课，收获颇多，对公式课教学也有了新的认识和感悟.下面笔者从情境引入概念、自主探究公式、探索发现公式之间的联系以及例题设计这几个方面呈现该节课的历次备课和磨课，敬请同行专家们批评指正.

二、教学呈现与分析

1. 情境引入

初案设计PPT展示2003年神州五号载人飞船及返回舱图片.

设计意图用神州五号火箭及返回舱的隔热涂料作为问题情境导入课题,激发学生的学习兴趣,激发学生的爱国热情.

磨课反思初案对航天飞行活动介绍过多,教学不能“为了情境而情境”,好的情境不能只有热闹和兴趣,课堂上时间宝贵,更应在有限的时间内点出主题,追求“简约”,发挥启下的功能.

赛课实录由实际情境引入课题,顺势发现和提出问题.

宜兴阳羡是中国重要的茶叶基地之一，现有两种不同的茶叶包装盒如图1所示,所用材料相同,规格相同(均用于装125 g两的茶叶),从节约成本的角度看,应该选择哪种?

设计意图最后赛课的定稿放弃了神舟五号的例子，改为从学生身边生活实际出发,选择了茶叶包装盒问题(问题待公式出现后解决)设计该问题情境的目的是为了让学生通过实际生活情境发现和提出问题,更加直观明了,简单易懂,更贴近本节课主题.

2. 公式探究

初案设计通过如下问题串逐步展开公式教学过程.

问题1我们把侧棱和底面垂直的棱柱称为直棱柱，棱柱的各条侧棱有什么关系?什么样的棱柱可以称为正棱柱?

教师帮助学生归纳理解概念.

问题2把直(正)三棱柱侧面沿一条侧棱展开,能得到什么图形?如图2，该棱柱的侧面积怎么求?

S直棱柱侧=(a+b+c)h=l底面周长h.

问题3什么样的棱锥和棱台可称为正棱锥和正棱台?

问题4正三棱柱展开得到矩形,那么将正三棱锥展开又可以得到什么图形?正三棱锥的侧面积该怎么求?

问题5请用同样的方法求出正三棱台的侧面积.

学生通过类比,发现三个全等的等腰梯形组成了正三棱台的侧面,可得

设计意图棱柱是多面体中比较简单的模型,从它入手较符合学生的认知结构;通过问题串的形式将正三棱锥的概念、性质、侧面积公式一一揭示;利用类比思想研究正棱台的性质和侧面积公式.

磨课反思初案中教师引导过多,导致学生缺乏概念和公式的自主建构，比如求直棱柱的侧面积，应该给予充分的时间让学生去考虑逐一相加和侧面展开，这都是比较好的方法，不应一味地去固化学生的思维——必须展开才能求侧面积.

赛课实录探究引领,分析并解决问题.

探究1研究柱锥台的相关概念及侧面积公式.(拿出事先准备好的直棱柱和斜棱柱,让学生观察并比较)

问题1这两种棱柱有何明显区别?(由学生观察并引出直棱柱的定义,再比较直棱柱和正棱柱的区别,从而得到正棱柱的定义)

问题2你能求这些棱柱的表面积吗?如何求?哪种方法容易?(学生分组讨论,并进行实际操作,探究后回答问题)

生1:选择正棱柱,其侧面都是矩形,逐一求出后相加,得S正三棱柱侧=ah+ah+ah.

师:既然所求面积对应平面图形,是否可将立体图形转化成平面图形?该如何操作?

生2:将正棱柱沿侧棱剪开得到侧面展开图是一个大矩形，矩形的长和宽分别对应正棱柱的底面周长和高，所以S正三棱柱侧=底面周长×高.

PPT投影总结—— (1)结论:S直棱柱侧=ch;(2)方法:侧面累加法、侧面展开法.

问题3由棱柱的上底面收缩为一个点得到的几何体是棱锥.既然有正棱柱,是不是就有正棱锥呢?那么满足什么条件的棱锥才是正棱锥?(留给学生思考时间)

生3:底面肯定是一个正多边形

师:很好,对顶点的位置是不是也有要求?

生4:顶点应该在底面中心的正上方.

师:非常好!底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥称为正棱锥.将顶点P和底面的射影O连结,得到的是正棱锥的高,可用h表示.

问题4正棱锥有哪些特点呢?

生5:底面是正多边形,侧棱都相等.

生6:侧面是等腰三角形.

师:如图3,对正三棱锥P-ABC,如何证明其侧棱相等?

生7:利用∆POA≌∆POB≌∆POC.

师:如何求侧面等腰三角形的面积?

师:此处的高是侧面等腰三角形的高而不是锥体的高,我们称之为斜高,通常用h′来表示.

问题5你会求正三棱锥的侧面积吗?试一试.

问题6回忆一下棱台是怎么来的?什么叫正棱台?…(学生们很快推出公式)

设计意图教师利用模型教具启发学生自主建构数学概念.在引导学生探究侧面积公式的过程中渗透了两个思想:一是将立体几何问题转化为平面几何问题的化归思想;二是从特殊到一般的归纳思想.

探究2探究多面体侧面积公式之间的关系

师:观察上述正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式,能否从运动变化的角度看出图形之间的变化和联系?公式上又是如何体现的?(几何画板展示,让学生直观感受正棱台变化为正棱锥和正棱柱的过程，如图4.)

生9:当正棱台的上底面收缩至一个点时,正棱台变成了正棱锥;而当正棱台的上底面扩大到与底面一样大的时候,正棱台变成了正棱柱.这是“形”上的变化,反映到“数”上可表示为:

设计意图通过分析柱、锥、台的侧面积之间的关系,提高学生分析、归纳的能力,让学生从数与形两个角度去看它们之间的关系,体会“数”与“形”的相互交融，感受数与形的完美统一.

探究3探究旋转体的侧面积公式

师:类比研究多面体侧面积的方法与步骤,你能计算旋转体中圆柱和圆锥的侧面积吗?

学生通过画图——计算——分析,得出圆柱、圆锥的侧面积公式.

师:类比正棱台的侧面积公式,能猜想圆台的侧面积吗?

学生再次类比得圆台的侧面积公式.因为圆台的侧面积公式推导较为复杂,课本对公式推导不作要求.

师:是否能仿照上一组公式,从数和形两个角度来阐述旋转体之间的联系?

(学生总结，略)

设计意图让学生经过类比,自行归纳出旋转体的性质和侧面积公式,以及两组公式之间的联系.类比使探究事半功倍,不仅学得轻松,而且从中习得获得知识的方法——通过观察、对比前后联系,进行知识迁移.

3. 公式理解

初案设计通过如下问题展开公式教学过程.

例1若一个正三棱锥的底面边长为6 cm,高等于3 cm，则它的侧面积是______.

练习1已知正三棱柱的底面边长和高都是a，则它的侧面积为______.

练习2一个圆柱的侧面展开图是一个长为4p,宽为2p的矩形,则它的底面半径为______.

例3有一根长为5 cm,底面半径为1 cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕1圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为多少?

设计意图设置了两个层次的练习题，例1和例2分别是柱、锥、台体的公式运用，旨在熟练掌握公式的应用;而例3是所谓的“小蚂蚁爬行问题”.通过不同的类型让学生充分掌握立体转化成平面的思想方法.

磨课反思初稿题量太“满”,且思维量大,基础薄弱的学生会觉得很累,而大多数学生也会觉得课堂的枯燥、机械、无味.

赛课实录探究公式本质——寻找联系,渗透多种思想方法.

案例讲解情境引入中的包装盒选择问题.(学生计算并给出方案)

设计意图公式的简单应用，既能加深对公式的理解，又解决茶叶包装盒问题，前后呼应.本节课的重点是公式推导过程中所渗透的数学思想方法,所以没有必要设计大量的练习题, 精而简的例题可以提高课堂教学的实效性.

探究4探究多面体、旋转体的侧面积公式之间的关系

师:多面体的侧面积与其每一个侧面图形的面积公式结构类似,而旋转体的侧面积公式与其轴截面一致,这样六个公式的结构可统一归结为哪三个基本图形的面积公式?

由学生观察并得到结论:矩形、三角形和梯形.[1]

师:多面体和旋转体公式结构上的相似并不是偶然,事实上,它们在本质上也是统一的. (播放动画,留足够的时间让学生思考发现)以圆台为例,同学们看到正四棱台,正五棱台,正六棱台…到正十棱台,可以发现随着n的变化,棱台越来越接近圆台.底面是正n多边形,随着n的变大,这个正n边形越来越贴合圆周.可以想象,当n趋于无穷大时,底面趋于圆,正n棱台趋于圆台.这种无限分割,以直代曲的思路来源于古代数学家刘徽的“割圆术”,实质就是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法.

设计意图极限思想的提出给学生以新颖、兴奋之感,也让学生感受知识间的神奇联系,体会数学的奥秘所在,完善学生思维发展结构,培养空间想象能力.