构造斜率模型 重温高考经典

郭 增

在求解数学问题时，由题设条件与结论，联想所学的知识，构造出相关的数学模型来求解，是运用数学知识解答各类问题的有效途径，也是一种创造性思维方法。

恒成立问题的普遍做法是通过函数图像以及函数最值来解决，但也存在有些问题需要分情况讨论以及还有最值难以求解的问题，所以笔者从这个角度思考能不能从构造新的几何意义来辅助解决这类问题。几何量中常用于计算的有距离与斜率，所以能不能从构造斜率模型角度来思考，或许会有一片新的天地。本文对一道作业练习的研究，从构造斜率模型的角度来重温经典高考题，运用数形结合的思想来解答不等式恒成立问题。

作业练习：设a∈R，对任意的恒小于等于0，求a的取值范围。

解：动点(a+1,a)显然在y=x-1上，函数y=ex在x∈[0,1]上的所有点与直线y=x-1的点连线的斜率恒小于等于0或是不存在，观察图像斜率显然可知在直线y=x-1的x∈[1,2]区间上恒成立，即a∈[0 ，1]

反思：通过不等式乘积的代数转化为比值，在分式的基础上构造出两函数图像点连线的斜率模型，结合图像观察恒成立的情况，既清晰也直观。

高考链接：(2012年浙江卷理科17题)设a∈R，若x ＞0时均有

反思：这是一道非常经典的不等式恒成立问题，通过代数变形构造斜率模型再次展现数形结合的魅力以及函数构造的高妙。

综上所述，不等式对于具有形式的分式或者乘积形式(代数变形为分式），在此分式的基础之上构造出斜率模型，再结合相应的图形观察即可。以此，我们可以知道在解决代数不等式问题时，可以尝试构造特殊的方程或者不等式，结合几何模型赋予相应的几何意义。