理论探究平行板电容器电容的相关因素的定量关系

徐建川

新课程目标提出“学习探究方法，能运用物理知识和科学探究方法解决一些问题”，而高中物理人教版选修3-1第一章《电场》第八节《电容器的电容》中先演示实验定性“研究平行板电容器电容大小的相关因素”，接着“理论分析表明，……”，教科书没有把理论探究过程展现出来，其原因应该是理论分析难度太大，可能涉及到微积分知识，普通高中生并未在高中数学课程中学习相关的知识，所以教科书选择“一笔带过”，实是“无奈之举”。对于提高学生的科学素养来说，这是不利的。那么，有没有办法将这个理论探究过程在高中物理知识和普通高中学生能接受的情况下展现出来呢？

以下，我们可以通过一些方法和技巧的应用来解决这个问题。

一、探究平行板电容器的电容C 和面积S 的定量关系

保持d和ε不变，改变S，探究C和S的关系：(保持电压为U不变)

现在有一个电容器a，如图1所示，电压为U，电量为Q，面积为S，间距为d，电容为C。如图2所示，把n个电容器a并联起来组合成电容器b，间距为d，则总电量为nQ，面积为nS。那么，

图1

图2

分析：正是由于面积变为原来的n倍，所以电容也变为原来的n倍。进一步分析可知，n不为正整数时，上述变化关系也是成立的。

结论1：平行板电容器的电容C与正对面积S成正比。即C∝S

二、探究平行板电容器的电容C 和电解质ε 的定量关系

如图3所示，设原来极板间为真空时，场强为E，放入电解质后，由于电解质产生了静电感应现象(极化)，其中会产生与原电场相反的电场，从而使场强减小为E′。

图3

结论2：电容器的电容C与电解质的介电常数εr成正比，即C∝εr

三、探究平行板电容器的电容C 和间距d 的定量关系

有论文把平行板间的电场是匀强电场作为推导电容公式的前提，笔者认为有不足之处。平行板电容器上的电荷在空间中激发的电场的分布特点，正是本探究的一个重难点，也是乐趣所在。增强学生对电荷与电场的关系的理解，形成立体的物理图景，使学生更加有兴趣去探索自然。

一般情况下，平行板电容器两板间的间距很小，我们可以把极板看做无穷大的带电平面。

1.无穷大带电平面在空间中激发的场强方向如何分布？(假设平面水平、带正电，如图4)

图4

由于平面无穷大，可以把平面上方的任意某一点看作无穷大圆的圆心正上方的一点。根据微元法把带电圆分成无数的带电小块，即可视为无数的点电荷，再根据对称性和场叠加原理，对称的一对点电荷在A点激发的场强向上，无数对点电荷在该点激发的的叠加的合场强E向上。则，带电平面上方的任意某一点的场强都是向上的。

又根据对称性，带电平面下方的任意某一点的场强都是向下的。

小结3.1：无穷大带正电平面在空间中激发的场强方向垂直平面向外。

由3.1中分析得，一个无穷大均匀带电平面在其两侧空间中激发的电场分别是垂直其平面的匀强电场。

如图5和图6所示，分别是带正电和负电的电荷面密度为q0的平面激发的电场(侧视图)。

图5

图6

2.一个平行板电容器是由一对带等量电荷的正负极板构成，如图7所示，两板外侧的电场叠加抵消，两板间内侧的电场叠加加强。当两极板间距离d增大时，场强不变。

图7

3.保持S和ε不变，改变d，探究C和d的关系：(保持电量Q不变)

由于电荷面密度q0不变，所以场强E=2E0不变。

结论2：平行板电容器的电容C与相对距离d成反比，即C∝

综合结论1、2得出：平行板电容器的电容C，与正对面积S成正比，与相对距离d成反比，与电解质的介电常数εr成正比，即

至此，我们从理论上得出了电容器的电容与相关因素的定量关系。通过探究，学生进一步对科学探究过程和方法体会和熟练，培养学生运用数学工具解决物理的能力，培养学生科学思维能力，培养学生实事求是和严谨的的科学精神，为切实提高学生的科学素养打下坚实的基础。