空间三撑杆双环索索穹顶考虑自重的预应力计算方法及参数分析

张爱林，文 闻，张艳霞1,，武超群,王庆博

(1.北京建筑大学工程结构与新材料北京市高等学校工程研究中心，北京 100044；2.北京建筑大学土木与交通工程学院，北京 100044；3.北京工业大学北京市高层和大跨度预应力钢结构工程技术研究中心，北京 100124)

20世纪80年代，Geiger在Fuller整体张拉结构思想的基础上创新提出了一种由拉索和撑杆相互联系形成的预应力索杆体系——索穹顶结构体系。在初始预应力态下，索穹顶结构不具备承载能力，需要给拉索施加额外的预应力，以增大结构的整体刚度。在外荷载作用下，索穹顶结构可以通过自身内部传力路径达到新的平衡状态。此种结构具有轻质高效、经济美观等优势，被广泛运用于大跨度屋顶结构。为了适应不同的工程需要，国内外研究者也陆续提出了许多新的结构方案，诸如改变撑杆的布置形式以增强结构稳定性[1－3]，改变屋面预应力索的布置形式从而改变传力路径[4]，或者用劲性杆件代替柔性杆件以增加索穹顶刚度[5－6]等。但上述结构方案均存在一些缺陷，比如撑杆大多数都只可以简化一个“平面桁架”，在复杂荷载作用下可能出现面外失稳，网格划分不均匀，传力路径复杂，对于哪些部位的索杆需要替换并不明确等。因此，提出更加新颖、优质、适用于不同工程需求的结构方案，成为亟待解决的问题。

在结构方案确定以后，接下来需要进行的就是进行“找力分析”，即结合结构的理想成形态以及索杆拓扑关系确定初始缺陷的分布。目前，主要的找力方法有整体可行预应力理论[7－8]、奇异矩阵分解法[9]、不平衡力迭代法[10－12]、启发式算法[13－14]以及节点平衡法[15－17]等。但是，复杂的矩阵、迭代计算与编程对一般结构工程师而言，不易上手。其次，上述方法大多数都忽略了索杆与节点自重，与索穹顶张拉成形过程中结构自重与预应力共同作用达到最终平衡态的情况不相符。

基于目前存在的索穹顶结构的单一性以及找力方法的复杂性，本文提出了一种新型三撑杆双环索索穹顶结构。结合本索穹顶结构的特殊性，提出了一种位移法与节点平衡法相结合的找力方法，并按照这种方法推导出了该索穹顶结构在考虑自重情况下索、杆初始预应力分布计算公式。

1 空间三撑杆双环索索穹顶构造特点

截至目前，国内外已建成的索穹顶结构工程主要包括两种结构形式——肋环形索穹顶(Geiger型)和联方型索穹顶(Levy型)[18－21]，分别如图1(a)、图1(b)所示。肋环形索穹顶在 20世纪 80年代被Geiger提出，该种索穹顶最大的特点就是脊索由中心向四周呈辐射状布置，撑杆为单根竖杆，环向布置支撑于环索之上，脊索与斜索按照一定规律与撑杆上、下节点连接构成一榀构件，每榀构件沿环向独立布置，互不联系，因此在复杂荷载作用下容易失稳。针对以上存在的缺陷，美国工程师 Levy将Geiger型索穹顶环向互不联系的各榀构件用联方型布置的脊索将撑杆上节点加以连接，从而增加了各榀构件之间的联系，因此，结构的稳定性和抗侧刚度得到了显著的改善，但此类结构撑杆还是单根竖向布置支撑于环索上，在复杂荷载作用下，撑杆可能会发生倾斜甚至失稳。

图1 两种典型的索穹顶结构Fig.1 Two typical cable dome structures

纵观学者们的研究成果可知，Geiger型索穹顶与 Levy型存在刚度不足、稳定性不好、承载力不高等缺陷。针对以上不足之处提出了一种三撑杆双环索索穹顶，如图2所示，该结构主要包括中心压杆(或内环)、环索、脊索、上斜索、下斜索、撑杆。从构造上看，该索穹顶脊索也呈联方型布置，但不同的是，该结构的撑杆形式采用空间型三撑杆单元环向连续布置，每个撑杆单元中1根撑杆支撑于折线形环索上，另外两根斜撑杆支撑于环状环索上，撑杆单元之间通过撑杆上、下节点相互连接，构成一个稳定的环状“空间型桁架”，拉索按照一定的规则有序地铰接在撑杆上、下节点，构成一个完整“连续拉，间断压”索杆体系。

图2 两种类型的空间型三撑杆双环索索穹顶Fig.2 Two types of cable domes with spatial three struts and double circumferential cables

这种空间三撑杆双环索索穹顶结构在继承了传统 Levy型索穹顶的优点的同时，上斜索的数目相对减少，增设了下斜索，同时连续布置的空间型撑杆具有更好的力学性能，能够抵抗各类复杂荷载作用提高结构稳定性，再者，各榀构件之间联系充分，因此结构的抗侧刚度更大。与此同时，该结构传力路径清晰，有益于预应力分布计算(找力分析)，并且有利于屋顶膜材的铺设。

2 考虑结构自重时空间型三撑杆双环索索穹顶预应力计算公式

2.1 中心为压杆的索穹顶

根据实际的建筑设计与使用要求，空间三撑杆双环索索穹顶结构有两种结构形式：第一种中心设置了中心压杆，第二种中心设置了内环。其中中心设置压杆的索穹顶结构如图2(a)所示。由于该索穹顶结构是由相同的各榀构件沿环向n等分布置，因此对称荷载作用下，计算1/n结构单元的预应力分布状态便可以得到整个索穹顶的预应力分布状态。将每1/n单元的索、杆投影到单元对称面上，进而将空间布置的索、杆转化为平面桁架。从索穹顶中心向外圈布置的撑杆，上节点可以按照0,1,…,i,…,m编号，撑杆下节点按照0',1',1'',…,i',i'',…m进行编号，其中，m为索穹顶径向分段数。图3为1/n结构单元示意图。

图3 中心为压杆1/n结构示意图Fig.3 1/npart of cable dome with center compression strut

如图4(a)、图4(b)所示，分别为中心为压杆索穹顶计算结构平面图和剖面图。其中ri、ri'、ri''分别为索穹顶撑杆上、下节点i、i'、i''到中心压杆所在轴线距离(或半径)；hi和hi'为节点i和节点i'所在的水平面相对于节点i+1所在的水平面的高度差(hi、hi'之和等于节点i到节点i'所在水平面的垂直距离)；Sii'(或Sii'')、Ri、SDi、XDi、Hi分别表示撑杆、脊索、上斜索(由第i圈撑杆下节点连接到第i+1圈撑杆上节点的索)、下斜索(由第i圈撑杆上节点连接到第i+1圈撑杆下节点的索)以及环索的预应力；Gi和Gii'(或Gii'')为索、杆自重按照一定的规则(与撑杆节点相连所有构件自重的一半，再加上节点自重)转化而来的等效节点荷载；定义αi、βi、γi分别为脊索、上斜索、下斜索与水平面之间的夹角；设φi'与φi''为空间型撑杆投影到对称面之后与水平面的夹角；设支撑在圆环状环索上的“V字形”撑杆与对称面之间的夹角为θii''；设δi为第i圈折线形环索与对称面之间的夹角；设ψi为脊索与对称面之间的夹角；设ξi为下斜索与对称面之间的夹角；设ρi为上斜索与对称面之间的夹角；设ηi为支撑在折线形环索上的单根撑杆与对称面之间的夹角。根据几何关系可得：

节点0：

图4 中心为压杆索穹顶计算简图Fig.4 Calculation graph of cable dome with center compression strut

当节点编号i≥1时(节点编号为奇数)：

当节点编号i≥ 1 时(节点编号为奇数)：

欲推导索穹顶所有构件的预应力分布，需要先假设索穹顶中心压杆的预应力V0为已知值，然后节点0与节点1之间的所有的索、杆预应力值的求解可以通过建立节点平衡方程，依次推导求出，如下所示。

节点0：

节点0′：

节点1′：

节点1：铰接于节点1的构件共有6根(4根拉索，2 根压杆)，之前步骤通过节点平衡法已经求解出了与之相连三根索、杆预应力(XD0、SD0与S11')，还剩余三个未知的索、杆预应力(R1、XD1与S11'')，无法直接利用平衡条件(平面力平衡或者弯矩平衡)求解出所有的未知预应力。基于本文索穹顶结构的特殊性与复杂性，结合求解平面超静定刚架内力的方法，采用结构力学里的位移法进行索、杆预应力求解。具体方法是：在结构已经张拉成形具有相当刚度的前提下(即预应力平衡态)，将所求节点等效为平面铰接刚架的一个节点，与之铰接的索只承受拉力，连接的撑杆主要承受压力，剩余构件组成的结构约束变形很小，可略去不计，只考虑与所求节点连接构件刚度的影响，然后通过列位移法方程求解出节点产生的位移，进而可得到与节点铰接所有构件的预应力值。

当i≥1时(i=1,3,5,…)：

当i≥1 时(i=2,4,6,…)：

把已经求解出来的作用在节点1上的索、杆预应力(XD0、SD0与S11')视作外作用力，并把它们分解为沿x轴与y轴作用的力Fx、Fy，且假设沿Fx、Fy作用的方向产生的位移分别为Zx、Zy，根据胡克定律可知：

假设沿各个索、杆长度方向产生单位1的位移，则需要施加到脊索、撑杆、下斜索产生的力为(即每根杆件的刚度)：

根据已知条件结合实际索穹顶结构(假设索、杆长度均保持不变)，可建立位移法方程，如下：

式中：k代表刚度系数；Fx、Fy表示已知索、杆预应力沿x轴与y轴上的分力。即：

根据以上位移法方程，可以求得节点1的沿x轴与y轴的位移Zx和Zy，如下：

根据以上所求得的位移便可以得出每根索、杆的实际预应力，如下：

节点1''，承受了四个方向的预应力，其中两个索、杆预应力(H1'与S11''已经求解出来了)，因此可以根据节点平衡法求解出SD1与H11''，如下：

同理，节点2'处的索、杆预应力可以根据节点平衡法求解出来，如下：

节点2：受力情况与节点1的受力情况基本一致，只是相应的索、杆角度关系不一样，因此，推导过程与节点 1基本一致，建立位移法方程如式(11)，式中：

根据式(13)，可以求得节点2的沿x轴与y轴的位移Zx和Zy，根据以上所求位移便可以得出杆件的实际预应力，如下：

节点2''：

以上给出了中心为压杆索穹顶节点i=0、i=1以及i=2时各索、杆预应力的推导过程，当节点编号i≥2时，可以根据节点编号为奇数、偶数，分别对应于i=1、i=2索、杆预应力的求解过程推导得出，此处略去。

2.2 中心为内环的索穹顶

为了适用于不同的建筑设计及使用要求，索穹顶结构经常也在中心设置内拉力环。与中心为压杆的索穹顶不同之处在于，这类索穹顶去掉了与中心压杆相连的内圈的索杆。取出1/n子结构计算单元，如图5所示。由于去掉了铰接在最内圈折线形环索上的下斜索，因此，最内圈折线形环索与支撑在它之上的撑杆就会形成一个机构，无法成形。综合考虑，去掉了最内圈折线形环索以及支撑于它之上的环向布置的撑杆，仅支撑于最内圈环状环索上的环向布置的“V字形”撑杆。为了增强最内圈“V字形”撑杆的稳定性，在撑杆上节点增设一道上环索，上环索与撑杆上节点铰接连接。图6为中心为内环索穹顶计算结构简图。

图5 中心为内环索穹顶1/n结构示意图Fig.5 1/npart of cable dome with center inner hoop

节点 1，以内圈撑杆11'的预应力S11'为已知条件，根据已知条件结合实际索穹顶结构可以建立如式(11)的位移法方程，式中：

求得节点1的沿x轴与y轴的位移Zx与Zy，根据所求位移便可以得出杆件的实际预应力，如下：

节点1'：

节点2'、节点2和节点2''处的推导过程与中心为压杆的索穹顶结构的推导过程相同，此处略去。当i>1时，中心为内环索穹顶各索、杆预应力值求解过程与中心为压杆的索穹顶索、杆预应力值的求解过程一致。

图6 中心为内环索穹顶计算简图Fig.6 Calculation graph of cable dome with center inner hoop

3 自重对索穹顶成形态的影响

按照是否考虑结构自重，将索穹顶张拉成形后的初始预应力态分为理想预应力态(等效节点荷载Gi、Gi'和Gi''均取为 0)和实际预应力态(等效节点荷载Gi、Gi'和Gi''分别取为与节点i、i'和i''相连所有构件自重的一半，再加上节点本身自重(节点自重取构件自重的20%))。

构想一个屋面为标准球面的索穹顶，假设节点i(i=1,2,3,…)与节点i-1之间的距离相等，即节点间的径向距离Δr=ri-ri-1cos(π/n)，索穹顶矢跨比为f/L(其中L表示跨度，f表示其矢高)，内环直径(即当中心为内环时，撑杆定点到索穹顶中心所在轴线的距离)为r0，其余参数诸如索穹顶球面半径Rd，节点i的半径ri，节点的间径向距离Δr，节点i和节点i+1的高度差hi可以表示如下：

当中心为压杆时：

当中心为内环时：

相邻两个节点高度差hi表示方法如下：

设ri'与ri的关系如下：

则ri''与可以用ri、ri'表示如下：

以中心为压杆的三撑杆双环索索穹顶为例，令跨度L=100m，径向等分数为m=5，环向等分数为n=12，各索、杆编号如图7所示，索、杆截面在表1中给出，表中 G0的预应力取相对预应力V0=-12(分配到每榀对称结构的单位预应力值为V0/n=-1)。矢跨比f/L=1/10，hi'=Δr⋅tan10°，利用本文前面推导的理论公式，分别计算理想预应力态和实际预应力态下索、杆预应力值，计算结果见表1。

图7 索穹顶杆件及节点编号图Fig.7 Element and node numbers of a dome without inner hoops

表1 索穹顶构件截面配置和预应力计算结果Table 1 Section and initial prestress of a cable dome without inner hoops

由表1计算结果可以看出，是否考虑结构自重对索穹顶结构初始预应力分布有很大的影响。当考虑结构自重时，部分构件的预应力值相较于不考虑自重的理想状态，诸如 JS0、JS2、SXS1、XXS0、XXS2、ZHS1~ZHS4、YHS1的预应力值均有不同程度的下降，其中折线形环索ZHS2下降更是达到了46.66%，支撑在它之上的撑杆预应力值下降也达到了 33.49%，因此综合考虑材料利用率与结构力学性，可以适当减小折线形环索与支撑在它上面撑杆的截面面积。除以上预应力值有所下降的索、杆构件之外的其余索、杆构件，预应力值均有不同程度的增加，增幅大多数保持在3%~10%以内，少部分索杆、预应力值增幅超过了10%，其中增幅最大的撑杆G2′达到了18.53%。

由以上分析结果可知，是否考虑结构自重对于分析索穹顶初始预应力分布状态具有很大的影响，甚至会导致某些索、杆受力情况发生质的变化。因此，在实际工程中，结构自重在索穹顶结构找力、找形分析过程中是不可忽略的，也是确保结构最终满足设计要求关键要素。由于理想预应力态下与实际预应力态下索穹顶索、杆预应力变化趋势一致，所以为了计算便捷，仅考虑理想预应力态，改变索穹顶结构的一些关键参数，分析索穹顶索、杆预应力变化情况。首先改变撑杆的高度，其余参数诸如索穹顶跨度取L=100 m，固定矢跨比(f/L=0.10)，环向等分数n=12，径向等分数为m=5保持不变。对于屋面为球面的索穹顶，撑杆高度可以通过改变上斜索的角度进行调整，即通过改变hi′的值改变撑杆高度，hi′分别取Δr⋅tan8°、Δr⋅tan10°和Δr⋅tan12°，撑杆G0的预应力值仍然取相对预应力-12，计算结果见表2。

其余参数不变，固定撑杆高度，即取hi′=Δr⋅ta n 10°，讨论不同矢跨比下(f/L=0.10、f/L=0.15、f/L=0.20)，索穹顶结构预应力变化趋势，其计算结果见表3。

由表2、表3分析结果可以总结出该三撑杆双环索索穹顶的一些特性：索穹顶索、杆预应力由内向外呈现逐级递增的趋势(最内圈索、杆预应力除外)，而且增幅不尽相同；增加撑杆高度和增大矢跨比都会不同程度地降低索、杆预应力值；随着决定撑杆高度的参数hi'从Δr⋅ta n 8°增大到Δr⋅ta n 12°，当撑杆上节点编号i较小时，索、杆预应力值几乎逐级减半，随着i的增大，减小倍数几乎变为3倍；增大矢跨比，当i较小时，脊索、折线形环索、下斜索的以及撑杆的预应力值所受影响均较小，当i较大时(i≥ 4)，下斜索以及撑杆所受的影响明显增大，但所有节点的上斜索与环索的预应力值都会显著降低。

表2 不同撑杆高度的三撑杆双环索索穹顶预应力分布计算表Table 2 Calculation table of prestress distribution of cable dome with spatial three strut and double hoop cables with different strut heights

表3 不同矢跨比的三撑杆双环索索穹顶预应力分布计算表Table 3 Calculation table of prestress distribution of cable dome with spatial three-struts and double hoop cables with different rise-span ratios

对比表2与表3，可以得出以下结论，增大撑杆高度对索、杆预应力值产生的影响远远大于增大矢跨比产生的影响。事实上，增大撑杆高度与增大矢跨比都相当于增大了斜索的角度。而实际施工过程中，大多数情况都是采用张拉斜索使索穹顶成形。因此，斜索预应力值越大，张拉难度越大，对相应张拉设备和张拉方案的要求也越高。所以，综合考虑建筑的美观性与张拉方案的经济性，应选择增大撑杆高度以增大斜索张拉角度的方案。但是通过相关公式的推算，在不考虑结构自重情况下，当斜索角度大于20°时，部分构件会出现失效的情况，所以斜索张拉角度应该控制在 10°~20°这个范围内，具体取多少角度，需要综合考虑索穹顶矢跨比、屋面外荷载、所用构件截面尺寸等因素。

4 结论

本文针对传统索穹顶构造单一、构件联系差、撑杆易倾斜等缺陷，提出了一种新型空间三撑杆双环索索穹顶。基于节点的特殊性与复杂性，提出了一种位移法与节点平衡法相结合推导初始预应力分布状态的方法，选择了相应的构件截面对索穹顶是否考虑结构自重情况下预应力分布进行了比较，通过改变索穹顶关键参数对比了索穹顶结构的力学性能的差异，得到以下几点主要结论：

(1)空间三撑杆双环索索穹顶将目前存在的撑杆布置形式改为空间三撑杆布置，连续环向布置的三撑杆单元组成了稳定性很好的“空间桁架”，有效地提高了结构的侧向刚度，改善了传统索穹顶对非对称荷载较为敏感的缺陷。

(2)针对节点的特殊性与复杂性，提出了一种基于结构力学里的位移法求解索、杆预应力的方法，即在结构已经张拉成形具有相当刚度的前提下，将所求节点等效为平面刚架的一个节点，剩余构件组成的结构约束变形很小，可略去不计，只考虑与所求节点连接构件刚度的影响，然后通过位移法方程求解出节点产生的位移，进而可得到与节点铰接所有构件的预应力值。

(3)考虑结构自重时，部分索、杆预应力值相较于不考虑结构自重有所降低，但大部分索、杆预应力值都呈现增大的趋势，整体来说，外圈索、杆预应力值相较于内圈来说所受影响更大，因此，结构自重不可忽略不计。

(4)在其他条件保持不变的情况下，增大撑杆高度和矢跨比都会降低大部分索、杆预应力值，但是增大撑杆高度的影响更大。因此，在实际工程中，应选择增大撑杆高度的方式来改变斜索张拉的角度(控制在10°~20°为宜)，以满足张拉设备与建筑美观性的要求。