从学科知识结构看数学学科核心素养的培育

孟令艳

[摘  要] 在继承优秀传统的基础上，努力促进学生进行深度学习，对数学学科核心素养的落地应当更有好处. 其有一个重要的基础，那就是高中数学教学的对象，这个对象是数学学科知识，且需要将视角转向学科知识结构，并在对学科知识结构思考的过程中，进一步探讨如何培育核心素养. 一个学科的知识结构通常包括三个方面：一是知识的表征形式;二是知识的逻辑形式;三是知识的意义. 在认识数学知识结构价值的基础上，去实现核心素养的落地，需要设计一个有效的途径. 站在这个途径的起点，应当认识到知识结构的建立可以帮助学生厘清知识点的细节，从整体把握所学内容，拓宽思考问题的视角，丰富解题的切入点.

[关键词] 高中数学;知识结构;核心素养;数学学科核心素养

核心素养显然是当前高中数学教学领域最热门的话题，一线教师讨论核心素养，第一个问题往往是弄清核心素养是什么，高中数学教学又如何培育学生的核心素养. 而这也就会引起教师的第二个问题，即高中数学教学中核心素养落地的途径是什么. 相比较而言，绝大多数教师往往重视第二个问题，回答第二个问题的角度，既有对传统教学思路的延续，也就是在值得继承的教学传统的基础上寻找核心素养落地的途径，也有对新的教学方式的思考，如通过深度学习来实现核心素养的培育等. 笔者综合两个思路，提出在继承优秀传统的基础上，努力促进学生进行深度学习，这对数学学科核心素养的落地应当更有好处. 尽管这是一个很好的想法，但彼此并没有忽视一个重要的基础，那就是高中数学教学的对象.

很显然，这个对象就是数学学科知识，而知识的教学又不仅仅是知识的传递，更包括认知体系的建立. 很显然，这个时候就需要将视角转向学科知识结构，并在对学科知识结构思考的过程中，进一步探讨如何培育核心素养.

数学学科核心素养培育需要重视数学知识结构

其实对知识结构的重视，一直是高中数学教学的优秀传统，只不过在强大的应试压力之下，对数学学科知识结构的研究被遮蔽了而已. 从宏观的角度来看，一个学科的知识结构通常包括三个方面：一是知识的表征形式;二是知识的逻辑形式;三是知识的意义.

以“直线与平面垂直的判定”这一内容为例，本节课的核心知识是直线与平面垂直的判定定理，从知识的表征形式角度来看，其有两种表征形式：一是文字形式，二是图像形式（具体同行都比较熟悉，这里不再赘述）. 从逻辑形式的角度来看，直线与平面的垂直判定，其逻辑起点是直线与平面垂直的性质，逻辑依据是命题与逆命题之间的关系，尤其是命题成立与逆命题是否成立关系的判断，这也是这一知识教学的重点;从意义的角度来看，一般认为知识的意义在于促进人的思维、思想、精神和能力的发展提升，而具体到直线与平面垂直的判定这一知识，则应当认识到其对培养学生表象建构能力、符号理解能力、逻辑推理能力的作用.

理解了数学知识结构，再来看数学学科核心素养的培育，尤其是思考核心素养培育的途径. 笔者以为，数学教师对高中数学教学中培养学生核心素养的途径的关注，应当考虑有同行提出的观点，即应当在教学中应用典型的案例去培养学生解决问题的素养、应用互动交流培养学生的思维水平、引导学生在生活实践中研究知识来培养科学素养;同时也需要关注数学学科知识的结构，真正以数学学科知识结构作为核心素养培育的基石. 关于这一观点，其实是可以从相关研究者的研究成果中寻找到佐证的，比如就有同行认为应当根据知识体系及学生的认知水平重新建构知识结构，去发展学生的思维能力，进而提高课堂效益、落实核心素养.

基于数学知识结构的数学学科核心素养的培育

强调数学知识结构是数学学科核心素养培育的基石，并不意味着前者可以直接生成后者，相反，在认识数学知识结构价值的基础上，去实现核心素养的落地，需要设计一个有效的途径. 站在这个途径的起点，应当认识到知识结构的建立可以帮助学生厘清知识点的细节，从整体把握所学内容，拓宽思考问题的视角，丰富解题的切入点. 同时应当认识到，这一认知的转化需要我们在学习过程中不断地、有意识地把知识以各种不同的方式连接起来，逐渐形成个人独特的知识树. 知识树是数学知识结构呈现的一种形式，知识树的形成过程與核心素养落地的过程有诸多重叠之处，在实际教学中未必要学生画出知识树，但是在学生的大脑中，必须形成比较清晰的知识结构.

在“直线与平面垂直的判定”这一内容的教学中，结合核心知识的表征形式，考虑到其中的逻辑形式与意义，笔者设计的教学过程是这样的：

首先，创设情境，为学生建立直线与平面垂直判定的生活场景. 一个简单的例子就是：如果想在操场的地面上树立一根旗杆，那么如何保证旗杆与地面是垂直的？这显然是一个实际问题，是实际生活中的一个场景，但是用到的却是数学知识，用数学知识解决这个问题，也成为驱动学生思考如何判定直线与平面垂直的契机.

其次，进行数学抽象，完成对问题的表征. 尽管学生在遇到问题之后，大脑当中能够想到旗杆与地面如何才能垂直这个问题，但从数学知识建构的角度来看，这里还是存在一个数学抽象的过程的. 这个过程分为两个阶段：一是低阶阶段，即将旗杆和地面分别抽象成直线和平面;二是高阶阶段，即将旗杆与地面的垂直抽象成大脑中三维、立体的直线与平面垂直. 当学生大脑当中存在一个直线与平面垂直的表象时，其实就完成了一个符号表征的过程.

再次，进行逻辑推理，完成对直线与平面垂直判定的证明. 总结学生的学习过程可以发现，这个推理的过程中，学生很多时候对逻辑的考虑是顾此失彼的，比如有学生提出“用一个直角三角板压在旗杆旁边，只要一条直角边压在地面上，另一条直角边压在旗杆上，那旗杆与地面就是垂直的”;当然也有学生会反驳“假如三角板原本与地面就不垂直，那旗杆一样是斜的”. 为了证实自己的观点，学生还用自己的三角板和一支笔在讲台上进行了笔画，这实际上就是一个证伪的过程，支撑这个过程的就是该学生自己的逻辑. 既然这个思路被否定了，那么学生的探究必然就会更加深入，于是有学生提出“是否可以用两个直角三角板来辅助”.