以有效习题设计提高转化能力的策略探究

摘 要：转化是小学数学学习中常用的策略，根据从已知到未知，从简单到复杂，可以使问题化繁为简，化难为易。本文从有效习题设计的角度，浅谈转化的一般策略。

關键词：转化;化繁为简;化新为陈;数形结合;化隐为显;等量变化

一、 在练习中感知转化的一般规则

（一）化繁为简

在解决问题的过程，利用转化的策略可以将较为复杂的问题转化为简单的问题，从而获得解决复杂问题的基本思路。学生在学习简便运算时就是运用的化繁为简的转化规则。

【习题1】计算下面各题，怎样简便怎样算。

（1）75×1.25+12×1.25+13×1.25

（2）34+29+79

【说明】第（1）题可以运用乘法分配律，将较为复杂的小数乘法计算转化为100×1.25这样整百数乘小数的计算。第（2）题利用加法结合律，变为计算34+29+79，从而将原题转化为分数加整数的计算。这两题从计算的角度而言都属于旧知，但是都采用了转化的策略，将复杂的问题转化成简单的问题，从而帮助学生从数学思想方法上再度认识简便运算。

（二）化新为陈

学生在学习过程中面对全新的知识，需要一定的基础知识储备和基本经验准备，这些基础知识、基本经验的积累是学生探究新问题的基础。在教学中，要引导学生将陌生的新问题尽可能转化成熟悉的旧问题，帮助问题的解决。

【习题2】11. 求涂色部分的面积。（单位：cm）

【说明】此题是练习十六第11题。两小题中涂色部分都是不规则的图形，涂色部分的形状显然不是学生熟识的，其面积的计算方法对学生而言是个全新的问题。解决此类问题要指导学生尽量将全新的、不规则的图形转化为熟悉的、规则的平面图形，这也是转化策略的基本思想。在本题中，根据观察可见，第1小题可将左右两侧的半圆通过旋转运动至图中空白部分，从而将涂色部分的面积转化为边长是4厘米的正方形的面积。第2小题图中的左下方的涂色部分可以通过旋转至右上方，从而将涂色部分面积转化为底和高都是12厘米的直角三角形的面积。

（三）数形结合

数学家华罗庚指出：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”在研究数学问题时，由数想形，由形思数，数和形之间的相互转化、相互依托，常常会打开数学研究的新局面。教师在教学中要引导学生通过数与形的转化，发现数学本质。

【习题3】7. （1）观察下面每个图形中圆的排列规律，并填空。

1=1×1

1+3=4=2×2

1+3+5=9=3×（）

1+3+5+7=（）=（）×（）

（2）根据上面的规律用简便方法计算。

1+3+5+7+9+11

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19

【说明】此题是教材练习十六第7题，观察每个图形中的排列规律，圆的个数总和既可以看成是从1开始的连续个奇数相加，也可以看成是正方形边长与边长的乘积（边长的平方）。引导学生将图和算式进行比较，发现加法算式中加数一共有几个，正方形的边长就是几;而连加算式的结果就是正方形边长的平方。在数形结合的基础上寻找出规律后再解决第（2）小题的简便计算，学生就易于理解了。关于圆的排列规律还不致如此，如果教师放手请学生观察2×2、3×3、4×4的三幅点阵图，还能发现如下规律，从而丰富学生对转化策略的理解。

2×2=1+2+1

3×3=1+2+3+2+1

4×4=1+2+3+4+3+2+1

（四）化隐为显

在解决问题的过程中，有时看似解决问题的条件不具备，其实往往是呈隐形状态，如果能根据已有条件，寻找出必要的隐形条件，问题就迎刃而解了。

【习题4】如图，三角形ABC是一个直角三角形，已知阴影部分b的面积比阴影部分a少23平方厘米，求BC的长是多少？

【说明】初读题目，觉得此题中BC的长度难以求得，因为三角形ABC的面积未知。仔细分析已知条件，结合图示，根据条件“阴影部分b的面积比阴影部分a少23平方厘米”，不难发现由于半圆和三角形重叠，都有共有的部分即图中空白部分，所以三角形ABC的面积比半圆少23平方厘米。寻找到这个必要的隐藏条件，问题就迎刃而解了，只需要计算出半圆的面积是π×102÷2=157（平方厘米），就可以求出三角形

ABC的面积是157-23=134（平方厘米），故而BC的长为134×2÷20=13.4（厘米）。学生在今后的学习中经常会遇到隐藏条件的问题，如表面积的变化、体积的变化中，故而化隐为显的转化策略对学生今后的学习也起着非常重要的作用。

二、 在运用中形成转化策略

（一）遵循等量变化的转化原则

转化策略的运用十分广泛，无论是计算、图形还是解决问题中都会运用到。在转化的过程要引导学生认识到在具体转化的过程中，只有等量的转化，才能达到化繁为简、化难为易的目的。

【习题5】2. 用分数表示各图中的涂色部分。

【说明】此题是教材练习十六的第2题，题中的涂色部分通过适当的分割，用平移或旋转的方式进行转化，就可以看出涂色部分与图形整体之间的关系，进而用分数来表示。此题转化的关键就是图形的某些部分在进行平移和旋转前后，大小不能发生变化，进行等量的转化。第三幅图，学生比较容易将整个涂色部分的正方形进行旋转，从而得到916，就是没有进行等量间的转化造成的错误。

【习题6】有三堆围棋子，每堆24枚。第一堆里的黑子数与第二堆里的白子数一样多，第三堆的一半都是白子。这三堆围棋子中白子共有多少枚？

【说明】分析题意，不难发现，因为“第一堆棋子里的黑子数与第二堆棋子里的白子数一样多”，所以第一、第二堆的白子合起来就是24枚，而第三堆白子为24÷2=12（枚），所以三堆一共有24+12=36（枚）白棋子。也可以结合画图（如下图）进行分析，要解决这个问题也是在等量变化的基础上，将第一堆的黑子转化为第二堆的白子，故而，等量变化是转化的必须遵守的原则。

一：

二：

三：

（二）巧用分解和组合

在解决问题的过程中，常常需要将复杂的问题分解为若干个简单的小问题逐一突破，有时也需要寻找问题间的联系，将问题重组。根据具体的问题灵活的使用分解和组合，也是进行转化的常用方法。

【习题7】

12. 光明小学有一个花坛（如下图）。图中正方形的边长为10米，正方形的顶点正好是四个圆的圆心，圆的半径是3米。

【说明】解决这个问题，先要根据要求将图形进行分解，花坛的面积是中间正方形面积和4个34圆面积的和。将四角4个的34圆进行组合，转化为3个整圆的面积，再与正方形面积相加，求出花坛的面积。解决问题的过程中有分到合，充分体现了学生灵活使用转化策略的能力。

（三）善用题组对比

【习题8】明明、东东和为学校同一块长方形草坪设计了不同的行走方案。其中灰色直条都是宽为1米的小路，你能比较一下三个设计方案中草地的面积相等吗？

【说明】通过观察发现将明明设计方案中的小路向左、向下平移就可以转化成东东的设计方案，所以明明和东东设计方案中小路的面积是相等的，草地的面积也是相等的。但是丁丁设计方案中有一条小路的形状是平行四边形，所以丁丁设计方案的小路面积和其他两人不等，草地的面积也就不相等了。通过这样的题组练习，学生对于转化过程中的等量变化理解的就更深刻了。

作者简介：章春玮，江苏省苏州市，苏州市沧浪实验小学校。