开放性练习，擦亮学生的眼睛

孙贵合

在上期中，我们谈到了应用开放性练习使学生能够用数学的头脑去思考，那如何使学生能够用数学的眼光看世界呢？本期我们围绕这一主题和大家进行交流。

开放性练习除了能够打开学生的思维，还有更重要的一点，就是把所学知识在生活中找到原型，也是就能够纳入生活中去，从而使学生体验：生活——数学——生活。数学的眼光，就是能够从日常的生活中发现数学的信息；能从基础纷繁复杂的情境中发现简单的数学原理；从平凡的事实出发，能够思考出不平凡的理论……因此在开放性的练习设计过程中，教师可以加入一些生活中的素材，拓展学生视野同时，感受知识的应用价值，让学生用数学的眼光观察世界。

●案例：《同分母分数加减法》

对于计算课，大多数内容都是反复的计算，但除了计算之外，我们是否可以让学生感受一个真正学习的机会呢？人教版这部分内容课后有这样一道练习题：分母是10 的最简真分数的和是多少？很多教师处理这道题时，只是让学生计算，强调是最简真分数。在学生得到正确结果之后，这道题也就失去了它的意义，但是如果这道题只以计算出正确结果为目的，那就失去了它本身更大的作用。

我在进行这部分教学时，当学生已经计算出本题的正确结果之后，提了一个问题——

师：同学们，分母是10 的最简真分数的和是整数，你还有什么别的想法吗？

生1：那分母是100 的最简真分数的和是不是也是整数？

师：你提出了一个很好的问题，我也不知道答案。还有吗？

生2：那分母是1000 的最简真分数的和是不是也是整数？

师：虽然你也提出了一个问题，但和刚才同学所提的问题类似，你是在模仿，因为你们的问题都是100、1000 这样的数，没有超越，看谁能提出有超越的问题？

在这里可能有的老师会说，为什么要否定生2 提出的问题。因为在我们的课堂上存在着大量的模仿，学生并没有自己真正的思考。什么是创造性思维？由1 到100 不是创造，由1 到10000 也不是创造，而由0 到1 的过程才是创造。所以让学生能够跳出原有思维的圈子，才是创造性思维的培养。

生3：老师，是不是所有整数以某个整数为分母的最简真分数的和都是整数？

师：你提出了一个很大的问题，其他同学对他的这个问题，你们有什么想法吗？

生4：生3 提出的不对，因为整数2，以它为分母的最简真分数只有，和不是整数。

师：看来有了不成立的例子了，但能不能修改一下这句话让它成立呢？

生3：所有大于等于3 的整数，以它为分母的最简真分数的和都是整数。

师：我们一起举例子来试一试吧。（学生举例）

第二天，我刚到办公室门口，就有一群学生追了过来。一起激动地说：“老师，咱们五（二）班猜想真成立。”

师：你们怎么知道成立？

生：我们试了，都成立。

师：好一会上课时我们再问问其他同学的结果。

上课开始，我问全班同学谁昨天证明五（二）班定理了，全班同学都举手。

师：那你们谁找到不成立的例子吗？

生：没有，都成立。

师：那现在我们是不是可以说，我们五（二）班定理成立？

采取SPSS11.0软件进行分析,计量资料(均数±标准差)表示,t检验,计数资料(n,%)表示,x2检验,P<0.05差异存在统计学意义。

生：可以。

师：同学们，你们的心情老师可以理解，但我们现在只能称它为：五（二）班猜想。因为我们是通过举例的方法，不能够把所有情况都进行尝试，要证明它成立，要通过系统严谨的证明方法才能够证明，如果我们班有同学一直从事数学学习，希望有一天你能够把这个猜想证明出来，然后告诉我们同学。

我们试着去想，如果一名同学一直从事数学的学习，有一天在翻阅《数学史》的过程中看到这样一段话：早在二百多年前，大数学家欧拉曾经提出过这样的猜想：所有大于等于3 的整数，以它为分母的最简真分数的和都是整数。这个猜想通过证明得到了正确结论，也被称为欧拉定理。我想这个时候这个学生不会埋怨老师当时没有告诉他这个结论，他会更感谢老师，在他的心里种下了一颗数学的种子，才让他一直坚持着数学的学习。

对于这道题，我当时还想了另外一种处理方法，就是当启发学生提出“所有大于等于3 的整数，以它为分母的最简真分数的和都是整数”之后，告诉学生这个结论就是“欧拉定理”。我想当学生了解后，心情也是非常激动的，但激动过后，又能给他们留下什么呢？因为欧拉已经证明了，所以学生不需要思考了。

●案例：《因数和倍数》

在教学这一部分时，平时我们只是关注学生能否正确找到一个数的因数和倍数，那是否能够在学习的过程中激发学生学习数学的源动力呢？于是在新课学习之后，我出了这样一道题目：

师：有9 颗珠子，摆在一个计数器上，能摆出哪些两位数？

生：18、27、36、45、54、63、72、81、90。

师：认真观察这些两位数，你有什么发现？

生：这些两位数，个位数和十位数相加都等于9。

师：9 颗珠子摆的，相加肯定等于9。

生：这些两位数都颠倒着，18、81；27、72；36、63；……

师：真的是呀，还有吗？

生：都是9 的倍数。

师：9 颗珠子，摆出的两位数都是9 的倍数，那你有什么大胆的猜想吗？

生1：我猜8 颗珠子摆出的两位数就是8 的倍数。

师：很好，这就是生1 猜想。其他同学呢？

生2：我猜7 颗珠子摆出的两位数就是7 的倍数。

师：很好，这就是生2 猜想。还有吗？

师：现在每位同学都有了自己的猜想，那我们就带着自己的猜想课下去验证吧。

让学生带着问题走进课堂，同时也让学生带着问题走出课堂。学习不仅是课堂上的事，也是生活中的事，我们更要培养学生终身学习的能力，所以要让学生自己学会学习。同时我这道题的设计是在为学生学习《3 的倍数的特征》打下基础，因为学生从一年级到五年级，从来没有做过要把个位数字和十位数字相加的事，所以学习起来有困难，于是我给学生一次体验的机会，这也就是学习经验的积累。

另外，这道题还肩负着另一重任：让学生经历一次真正的科学猜想、验证、结论的过程。因为我们现今的很多证明，学生经历的都是伪证明，由于课堂教学任务的影响，使学生的操作“一实验就成功”，但在科学发展的过程中，是经历很多次的失败最后才取得一次成功。于是在第二节课，我对这个问题进行反馈。

师：你的“生1 猜想”怎么样？

生：不成功。

师：你的“生2 猜想”呢？

生：也不成功。

师：那是不是所有的猜想都不成功呢？

生：老师，我的猜想成功，我猜想3 颗珠子摆出的两位数就是3 的倍数，您看：12、21、30，都是3的倍数。

师：看，虽然很多人都没成功，那是不是就失败了呢？错，其实你们已经成功的证明了那些猜想不可以，同时不要因畏惧失败而不敢大胆猜想，因为只有有了猜想才有成功的可能。

在这样的过程中，学生经历了：猜想——验证——结论的过程，有成功也有失败，但毕竟这个过程对于学生来讲，是非常难得的。所以多给学生留下点空间，让学生独立思考。从一个普通的事件出发，能够发现常人不容易发现的问题，并且通过自己的证明方法，得出了结论，这不正是我们数学的眼光看世界吗？