“三角形的小结与思考”教学设计

2020-04-13王媛

中学课程辅导·教师教育（上、下） 2020年3期

关键词：中线

王媛

摘要：本文复习了三角形的相关概念及其内角和定理，阐述了如何应用多边形的内角和、外角和公式进行计算，并解读了在具体情境中如何应用相关知识解决问题。

关键词：三角形的高、中线、角平分线，三角形内角和定理

中图分类号：G633.6 文献标识码：A

文章编号：1992-7711（2020）03-088-2

本章首先介绍三角形及三角形边、角、顶点的符号表示，作为整章学习的基础。接着复习小学学过的三角形的按角和按边的两种分类方法，通过实验，探索发现三角形三边之间的关系，“任意两边之和大于第三边”。

三角形中除了边，还有三条重要的线段，高、中线、角平分线，这在小学已经知道了，本章进一步深化，系统的进行分析归纳。首先让学生从作图开始去探索发现，得到高、中线、角平分线的定义，规范几何语言三段论的书写，并发现三条高、三条中线、三条角平分线的特殊位置关系。

接下来在小学通过剪拼已经知道三角形的内角和是180°的基础上，让学生学会验证，由平行线的性质与平角的定义加以证明，通过推理的方法证明三角形的内角和定理。在证明过程中学会添加辅助线，说出证明思路，并能写出完整的证明过程。在三角形内角和定理的基础上，进一步得到“直角三角形的两个锐角互余”与“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”。

最后，在三角形的基础上，去研究多边形，先给出多边形的概念，接下来去探索多边形的内角和，用多种不同的方法，从具体到抽象，层层递进，将多边形分割成三角形，利用三角形的内角和定理得出多边形的内角和公式。有了多边形的内角和公式，再利用平角的定义，推导出多边形的外角和，感受内角和、外角和与边的个数的关系。

基于以上分析，教师可确定本节课的教学重点：三角形的高、中线、角平分线以及三角形内角和定理的应用。并确定本节课的教学设计如下：

一、自主回顾，复习导入

问题1 你能说出与三角形有关的元素吗？

师生活动：学生思考、回答。教师补充，共同归纳。板书：（1）与三角形有关的线段：边、高、中线、角平分线。（2）角：内角、外角。

设计意图：通过三角形中相关元素的复习引入本节课，直入复习主题，开门见山，为后面的复习内容做铺垫。

问题2 请你根据三角形中的相关元素在三角形内画出相应的图形，并在图形旁写出结论。

师生活动：学生先独立思考，然后在学习单上写出来。教师巡视，在巡视的过程中找出几种不同图形和结论，请学生上黑板板书，生生互评，师生共同补充。

设计意图：通过让学生画基本图形，写出相关结论，将本章内容做一个串联，让学生对所学知识有个总体的认知。让学生自己用画图的方式回忆总结定理，加深印象，便于后面熟练应用解题。

二、典型例题，知识生长

问题3 前面我们画了三角形的中线，在三角形中任意画两条中线，将面积分为四份，你能发现它们之间的关系吗？

师生活动：学生思考、回答。

设计意图：让学生先思考中线的定义，再利用最近联想让学生发现面积之間的关系，引出例1。

例1 如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F。△ABF与四边形CEFD的面积有怎样的数量关系？为什么？

师生活动：教师提问中线的相关知识，引出面积相等这个重要的应用，让学生找出相等的面积，从而发现△ABD和△BCE的面积都等于△ABC的面积的一半。进而得到△ABF与△BDF面积之和等于△BDF与四边形CEFD的面积之和，易得△ABF与四边形CEFD的面积相等。学生口述解答过程，老师板书。

设计意图：三角形中线分三角形为面积相等的两部分，通过本题，复习三角形中线的相关知识。

问题4 在例1中，若AD、BE变为△ABC的角平分线，思考你发现了什么？

师生活动：学生思考、回答。

设计意图：图形不变，改变条件，将中线变为角平分线，让学生自己发现其中的一些角的关系，先不给出问题让学生尝试思考可能的结论，接着再给出例2。

例2 如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点F。

（1）若∠C=50°，求∠AFB的度数。（2）求证：∠AFB=90°+12∠C。

师生活动：（1）教师引导学生分析思路：要求∠AFB度数，可以先求出∠FAB和∠FBA，再由三角形的内角和得到。而本题的条件无法直接求出两个角的度数，那就试着求出∠FAB与∠FBA的和，在第（1）问中，由∠C=50°，易得∠BAC+∠ABC=130°，接下来由AD、BE是角平分线可得到∠FAB+∠FBA=65°，所以可得到∠AFB=115°。在第（2）问中，由AD、BE是角平分线可得到∠FAB=12∠BAC，∠FBA=12∠ABC，而由三角形内角和∠BAC+∠ABC=180°-∠C，所以可得到∠FAB+∠FBA=12（180°-∠C）=90°-12∠C，最后由三角形内角和定理得到∠AFB=90°+12∠C。（2）学生独立完成解题过程，请一名学生板书。师生共同点评。

设计意图：通过本题，让学生复习了三角形角平分线的相关知识以及三角形内角和定理。从例1到例2，图形不变，条件改变，体现了数学教学中的生长性。接着例2中，从第（1）问到第（2）问，又体现了从特殊到一般的思想方法。

问题5 前面复习了三角形的中线和角平分线，还有一条重要的线段是高，在例2中，若AD、BE变为△ABC的高，结论又会发生什么变化呢？

师生活动：学生思考。

设计意图：紧扣例1和例2，将条件再次改变，让学生思考其中的变与不变，为例3做铺垫。

例3 如圖，△ABC的高AD、BE相交于点F。

（1）若∠C=50°，求∠AFB的度数。

（2）探究∠AFB与∠C的关系。

师生活动：学生思考，独立解答。教师巡视，将学生的书写过程的投影，师生共同完善解答过程。

设计意图：本题在例2的基础上，将角平分线再次改变为中线，此题解答时可与例2采用相同的方法，应用直角三角形的两锐角互余，求出∠DAC和∠EBC的度数，再由三角形内角和可求出∠BAC与∠ABC的和，从而算出∠FAB与∠FBA的和，得到∠AFB的度数。让学生体会解答过程中变化的是∠FAB与∠FBA的和，不变的是方法，用三角形内角和相关知识去解答。和例2相比，问题（2）对学生要求更高，让学生自己去探索两个角之间的关系，培养学生自主探究的能力。本题也可进一步发现在求出∠DAC的度数后，可以直接利用三角形的外角性质求出∠AFB的度数。

问题6 前面复习了三角形的相关知识，从三角形的内角和定理出发，我们得到了多边形的内角和与外角和，你能说说吗？

师生活动：学生思考，口答。

设计意图：在复习完三角形的相关知识后，简要的复习多边形的相关知识，在后面的练习中设置了题目加以巩固，课堂不再重点分析。

问题7 研究完三角形的边、高、中线、角平分线以及三角形的角，你还想研究什么呢？

师生活动：学生思考，留作课后探索。

设计意图：在本节课内容复习完之后，教师提出一个课后思考问题，作为本节课的延伸，也为后面继续学习打下基础。

三、融会贯通，再次巩固

练习

1.一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？

2.已知一个三角形的两边长分别是2cm、5cm，且周长是奇数，求第三边的长。

3.如图，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F。求证：∠CFE=∠CEF。

设计意图：通过练习，学生能进一步巩固三角形三边之间的关系，理解三角形的三条重要线段，掌握多边形的内角和外角和相关知识，提高学生的思维能力和几何素养。