一道省级教学能力比赛说题试题的再研究

广东省中山市中山纪念中学

题目已知圆T过定点Q(p,0)(p ＞0),圆心T在抛物线C:y2=2px上运动,GH为圆T在y轴上截得的弦.

(1) 当T运动时,|GH|是否有变化?并证明你的结论;

(2) 当p=1时,过点O(0,0)且斜率存在的直线l与抛物线C:y2=2pxO,A两点,动点E满足(λ ＞1),当λ依次取时,得到动点E所在曲线为Ci(i=1,2,3,4,5),且直线l上的点B(异于点O) 在曲线C1上.

条件结论命题1点M 在曲线C2 上|OA|,|OM|,|OB|成等差数列命题2点M 在曲线C3 上|OA|,|OM|,|OB|成等比数列命题3点M 在曲线C4 上1|OA|, 1|OM|, 1|OB| 成等差数列命题4点M 在曲线C5 上|OA|2,|OM|2,|OB|2 成等差数列

此题为广东省第二届青年教师高中数学教学能力大赛第一阶段说题比赛的试题,笔者认为这是一道设计较为新颖,为有限开放性的探究问题,细细品题,愈发有味,引发笔者再研究.

一、此题可待成追忆 只是当时已茫然

从实际答题情况来看,大部分选手能顺利解答第一问,第二问则遇到不同程度的障碍,具体解答情况大致如下:

推理证明|OA|,|OM|,|OB|成等差数列的解答情况;

第二问解答直接用弦长公式分别求|OA|,|OM|,|OB|长度作为问题求解的突破口.通 过--→OE = λ-→OA,发 现|--→OM| = λ|-→OA|的关系,进一步将长度之比转化为坐标之比作为问题的突破口.选手比例所占比例为72.7%所占比例为17.2%

推理要求提出与类似的命题.参赛选手的解答情况大致如下:

能够写出符合要求的1个或以上命题所占比例约为70%,而能较完整推理出三个或以上命题所占比例约为18%,其余未能找到问题的突破口.

从答题的实际情况看,参赛选手解题表现不甚理想.为何解题者较普遍地陷入雷同的思维陷阱?为何最终解题的实际效果与预想结果具有如此反差呢?这值得深思.

从答题结果可知,此题有较好的区分功能,切入点不同,计算量差异较大.若通过联立方程,利用弦长公式求解的长度,在有限的时间内解出此题,并提出符合要求的类似若干命题,实属不易,但是若能够根据这一条件,发现进一步可得:当点M在曲线C3上时,当点M在曲线C4上时,当点M在曲线C5上时简化了运算,易证|OA|,|OM|,|OB|成等差数列.进一步基于通过分析λ取值的数量关系和结构特征,易得四个命题.

二、洞察命题见意图 正源清浊悟反思

(一)从命题意图的视角分析问题

(1) 试题的命题思路分析

从题设到问题的设置颇具心思,具有一定创新性,外显以解析几何载体为依托,向量模长的变化为呈现形式,融合渗透数列知识,通过研究|OA|,|OM|,|OB|的之间的数量关系,自然过渡到研究|OA|,|OM|,|OB|三者的数列关系的若干问题.在研究的过程中:不明理者易陷入外在形式到内在本质过渡的沟壑中.明理者可透过现象揪住问题解决的本质,即用来表达向量的模长的关系,通过研究这些数之间的数量关系结合等差与等比的定义,通过类比推理,顺利得出相应的四个数列结论.此题能较好地甄别选手认识数学内容之间的内在联系,体验、领悟数学的创造性和普遍联系性的能力差异.

(2) 试题的考查目标分析及素养要求

本题是以解析几何为载体的背景下,综合不等式,向量,数列等知识的综合性较强的数学问题,考查考生对问题及数学工具运用的本质理解,以及借助已知的数据去分析问题和解决问题的能力,综合考查考生的逻辑推理能力,数学运算能力,数形结合,划归与转化能力,以及类比推理等思想方法.在试题的设问及解答过程涉及对考生的逻辑推理,数学运算,数学直观,建模能力,数据分析等数学核心素养的考查.

(二)从问题解决状况的视角反思问题

从题目的特征来看,此题的题设和设问一反常规,非套路题型,综合性较强,对考生的数学核心素养提出较高要求.这是引起解题者不适应的宏观因素,进一步究其原因,笔者认为主要有以下几个深层因素所致:

(1) 日常套路化模式训练所得到的僵化经验与机械化操作的共同作用的结果,表现为选手多采用求解点E的方程,联立直线与方程,通过求弦长,找关系,以致陷入大量的计算,不得而至.

(2) 对问题的分析与理解未能很好抓住问题的本质,偏离解析几何的思维特点,不加分析地埋头盲目计算;这是日常研究问题不到位而埋下了“苦种”,从而在实际问题解决中自然会吞下“苦果”.

(3) 对向量的代数意义和几何意义理解有缺失,对向量的认知及转化有限,未能很好地从几何过渡到代数,利用向量所具备的几何和代数特征解决问题.洞察此题,直线与曲线相交形成的点M实为外在包装,脱虚向实,通过对的向量特征分析,有进一步转化为坐标之比,去伪存真,问题也就化烦为简,即转化为之间关系的研究.

(4) 代数和几何结构的观察与联想能力有待加强,通过数量结构观察可知:1,成等差数列,可得命题成立;成等比数列,可得命题成立; 将变形,同理1,成等差数列,可得命题成立;进一步类比可知1,成等差数列,可得命题成立,至此问题迎刃而解.

三、明辨善辨究本质 问题越变越明朗

为进一步强化对问题的认知,笔者尝试从问题逆推和变更结论两个视角进行问题变式,促使问题具有“变化”的生命力.

(一)条件与结论互换的变式.过点O(0,0)且斜率存在的直线l与抛物线C:y2=2pxO,A两点,动点E满足当λ=a(a ＞1) 时,得到动点E所在曲线为C1,且直线l上的点B(异于点O) 在曲线C1上.若λ=t() 时,直线l上的点M在曲线C2上.

(1) 当|OA|,|OM|,|OB|成等差数列,求t的取值;(解题过程略,

(2) 当|OA|2,|OM|2,|OB|2成等差数列,求t的取值;(解题过程略,

(二)变更探求结论的变式过点O(0,0)且斜率存在的直线l与抛物线C:y2=2pxO,A两点,动 点E满 足当λ依次取时,得到动点E所在曲线为Ci(i=1,2,3,4,5),记Mi表示过原点的直线l与曲线为Ci(i=2,3,4,5)的交点,

(1) 探究|OMi|之间的大小关系;

(2) 探究|OM2|,|OM3|,|OM4|三者之间满足的数量关系;

四、绵绵用力溯源头 游心以远促生长

一个好的问题应该具备向上生长或拓展的特征,也即问题应具备“源”与“流”的问题生产链.立足于问题的源,此题将流向何方?“恰如一江春水向东流”,下面就该问题进行拓展.

(一)把握问题本质,拓展到椭圆或双曲线一支,依然成立(以下以椭圆为例).

拓展1过原点O(0,0)且斜率存在的直线l与椭圆C:交于A,H两点,动点E满足当λ依次取时,得到动点E所在曲线为Ci(i=1,2,3,4,5),且直线l上的点B在曲线C1上.

(二)问题一般化,当直线l不过原点时,在一定条件下也能成立.

拓展2直线:l:y=kx+λm(0) 与抛物线C:y2=2λx(其中λ ＞0) 有两个交点,当λ分别取1,a(a ＞1) 时,直线l截 曲线C:y2=2λx所得的弦长分别为A1A2,B1B2,当λ(λ ＞1) 依次取时,直线l截曲线C所得的弦长分别是Mi1Mi2(i=1,2,3,4).

解设A1(x1,y1),A2(x2,y2),B1(xB1,yB1),B2(xB2,yB2),M11(xM11,yM12),M12(xM12,yM12),直线l的倾斜角为θ.由A1A2,B1B2,M11M12分别在倾斜角同为θ的相应直线上知:故由得到(其 中2mk ＜1).特 别 地,当λ=1时,所以|xM11-xM12|=λ|x1-x2|;所以|M11M12|=λ|A1A2|成立,从而当λ(λ ＞1) 依次取时,有|B1B2|=a|A1A2|,|M11M12|=所以|A1A2|+|B1B2|=(1+a)|A1A2|=2|M11M12|成立,即|A1A2|,|M11M12|,|B1B2|成等差数列.

同理可知:研究|A1A2|,|Mi1Mi2|,|B1B2|(i=2,3,4)的关系即转化为分别研究与1,a的数量关系,可得以下四个命题成立.

结论命题1|A1A2|,|M11M12|,|B1B2|成等差数列命题2|A1A2|,|M11M12|,|B1B2|成等比数列命题3 1|A1A2|, 1|M11M12|, 1|B1B2| 成等差数列命题4|A1A2|2,|M11M12|2,|B1B2|2 成等差数列

思考类似于拓展2,将曲线变更为椭圆C:(a ＞b ＞0,λ ＞1)(或双曲线C:1(a ＞0,b ＞0,λ ＞1)的一支),······,命题也成立.有兴趣的读者可以尝试证明一下.

五.如沐春风品良题 沁人心脾得启示

细品好题如沐春风,沉心研究,沁人心脾,有所感悟,再研究后收获几点启示.

(1) 重视命题的设计和选材.笔者认为本次比赛所选取的题型和所设计的有限开放性的探究问题蕴含新课标理念要求,对高中数学教学的选题和命题以及问题设计有较好的指导意义,给日常命题和问题设计提供了一个新的思路和案例.

(2) 重视数学核心素养的发展.数学素养决定了能否在纷繁复杂的问题中抽象出问题的本质.教师自身要加强数学逻辑推理,直观想象,数学运算,数学抽象,数据分析等核心素养的发展,唯此.才可能在教学中游刃有余,学生收获良多.

(3) 重视数形结合思想的运用.正所谓”数缺形难直观,形缺数能入微”,借助图形理清数量关系,辨析代数和几何的”变量与不变量”,分析”变量与不变量”的数量或几何关系及其意义,这是问题解决的起点,在几何特征挖掘充分的前提下,才可能避免盲目运算而陷入困境,严谨的代数逻辑推理才可能顺利完成.

(4) 重视问题的转化与划归思想.在研究数学问题时,将问题进行转化,陌生问题熟悉化,比如坐标法实现代数解决几何问题,再如此题的命题推理可通过问题转化,最终可用基本不等式的数量关系进行研究.于此同时,需要积累并熟知典型的代数结构及其意义,如两点间的距离公式,斜率公式,数量积,三角不等式等,并能在不同形式依然能辨析出这些代数结构.

(5) 重视数学阅读能力的提高.日常重视审题,有意识多元表征关键词,重视数学语感的培养,增强数学理解的精确度和敏感度,能够在数学问题本身中发现显性和隐性的关系以及解题的关键节点,比如本题中若能发现的条件可以转化为表达,进一步转化为坐标之间的数量关系表征,从而难以降低解题的突破口.同时注重解题后的反思,特别是深刻理解解题过程中的卡顿点的产生因素及问题解决视角,复盘问题解决思维路径,反思解题过程中存在的不足,这将有效提高思维的敏捷性和严谨性.