斜率和(或积)为定值条件下圆锥曲线的性质

辽宁省黑山县第一高级中学

一、考题再现

题目1(高二第26届“希望杯”赛第20题) 已知抛物线C:y2=4x,A(4,4),动点P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若则直线PQ过定点D,点D的坐标是( ).

题目2(2009年高考辽宁卷理科第20题文科第22题) 已知,椭圆C经过一点A(1,1.5),两个焦点为(-1,0),(1,0).

(1) 求椭圆C的方程.

(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.

以上两道题都有斜率和为定值这个条件,这引起笔者浓厚兴趣,经过深入研究得出如下的一些性质.

二、抛物线y2 =2px 在斜率和(或积)为定值条件下的性质

定理1已知抛物线C:y2=2px,定点A(a,b)∈C,动点P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP+kAQ=γ.

(1) 当γ=0时,kP Q为定值,且等于抛物线在A点处切线斜率的相反数;

(2) 当时0,则直线PQ恒过定点D,且

证明由题设有所以kAP=

(i) 若kAP+kAQ=0,则2p(y1+y2+2b)=0,所以为定值,2yy′=2p,故

直线PQ则

定理2已知抛物线C:y2=2px,定点A(x0,y0)∈C,动点P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP ·kAQ=0.则直线PQ恒过定点D,且D

证明联立消x得y2-2pmy-2pn=0,所以y1+y2=2pm,y1y2=-2pn,从而

由得y1y2- y0(y1+y2)+所以

解得n1=x0-my0(舍),n2=x0+my0所以直线PQ:恒过定点

三、双曲线在斜率和(或积)为定值条件下的性质

定理3已知双曲线C:定点A(x0,y0)∈C(点A 不是双曲线顶点),动点P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP+kAQ=γ.

(1) 当γ=0时,为定值,且等于双曲线在A点处切线斜率的相反数;

(2) 当0时,则直线PQ恒过定点D,且

证明设PQ方程为x=my+n,即x - x0=m(y-y0)+my0+n-x0,所以1,将b2[(x-x0)+x0]2- a2[(y-y0)+y0]2- a2b2=0 展开并整理得a2(my0+x0-n)b2(my0+n+x0)=0,由韦达定理得到:

(i) 当γ=0时,为定值.

(ii) 当0时,γa2n=γa2(my0+x0)-所以直线恒过点

定理4已知双曲线定点A(x0,y0)∈C,动点P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP ·kAQ=γ.

证明由定理3的证明得a2(my0+x0-n)(my0+n+x0)=0,所以

四、椭圆在斜率和(或积)为定值条件下的性质

定理5已知椭圆C:定点A(x0,y0)∈C(点A不是椭圆顶点),动点P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP+kAQ=γ.

(1) 当γ=0时,为定值,且等于椭圆在A点处切线斜率的相反数;

(2) 当0时,则直线PQ恒过定点D,且

定理6已知椭圆C:定点A(x0,y0)∈C(点A不是椭圆顶点),动点P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP ·kAQ=γ.

定理5,定理6的证明见文[2].