提升理性思维的课堂教学实践

【摘 要】在初一第一学期的期末测试中，数学试卷中有一道填空压轴题（题2），年级的平均错误率达到了45%，而笔者所教的两个班级的错误率分别在9%和5.8%。值得注意的是，考前复习时各班均练习并讲评过类似的题目（题1）。在本文中，笔者将通过回顾题1的教学来反思、探讨如何提升学生理性思维，并进一步改进教学方式。

【关键词】数学课堂;学生;思维

数学课堂教学的有效性体现在学生理性思维的提升上，笔者通过对两道代数题的比较，认识到了过程教学的重要性，并对具体教学实践进行了分析。

1   原题呈现

题1：把四张形状大小完全相同的小长方形卡片，如图1（a），卡片长为，宽为，不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部，如图1（b），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示。则图1（b）中两块阴影部分周长和是___（用含、的代数式表示）。

2（b）、图2（c）两种放法放在一个底面为长方形（长比宽多5）的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若图2（b）中阴影部分的周长记为C1，图2（c）中阴影部分的周长记为C2，则C1-C2=_____。

题目评价作用的比较：①从“形”看，题1是一种拼接，求的是两个长方形的周长和;题2求的是两个需要转化的图形的周长差。如果不采用整体分析、平移线段的方式将题目化繁为简的话，题2的代数式会比题1更复杂。

②从“数”看，题1给学生搭好了“脚手架”，所有要表示的线段基本上都已用字母标示好;而题2并没有给出可以用来直接标示线段的字母。对于大多数学生来说，要计算题目，往往需要用字母表示数。对于题2，由于需要自行设字母表示数，部分学生会对自己所设的量的必要性产生怀疑，从而在一定程度上不确定是否消元。

两题均综合考查了七年级第一学期所学的代数式、一元一次方程、线段的和与差的相关知识。题1这类型题是历年七年级第一学期期末的高频考题。多年以来，教师只要将此题稍稍变化，学生就不会做了。从测试结果来看，笔者的这一次教学取得了较好的效果，故对设计之初心“提升理性思维”的课堂实践进行反思。

2   过程回顾

2.1  例题调整

根据学生的实际情况，以原有的数学经验为基础，分析学生已掌握的知识和已习惯的方法，从而有目的地调整题1。

（1）考虑到大多数初一学生并不习惯主动设字母表示题中的未知量，而用符号表示数量关系是建立符号意识、用“数学语言进行表达”的关键起始，故将题1中的“卡片长为，宽为”去掉。

（2）这是一道典型例题，有的学生可能会有知道答案。让学生采用笔答的方式并给出过程，可以保证所有的学生都有独立思考的时间，能促使学生用数学语言运算和推理。考虑到还没有系统学习逻辑证明，笔者适当放宽了要求（后续记录学生发言时已略有修正）。

最终将题1改为解答题，“把四张形状大小完全相同的小长方形卡片，如图1（a），不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部，如图1（b），盒底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，求图1（b）中两块阴影部分的周长和”。

2.2  教学预设

（1）有的学生会代入具体的数字，可能会找出答案，但无法书写出解题过程，教师应当进行引导。

（2）有的学生用目测平移法推断出小于后，习惯于“拼凑”，无法从图形中直接得到转化后的结果，思维受限于方法单一，教师需要适时提醒。

（3）未用平移法简化周长表达式的学生可能会因为式子的冗长、计算的错误而不能得到利用整体消元得出正确的代数式。

（4）个别学生可能会因为未发现而不能达成最后的消辅助元。

（5）除了符号意识，教师还要培养和加强学生对不规则图形周长的转化能力（整体的思想）、列式表述的习惯以及进行有证据的表达与运算的能力（推理能力）。

2.3  教学过程

2.3.1  自主阅读，尝试解题

在这一阶段，教师一定不能对学生进行思维替代化的介入教学，应当维持“学生静静地思考，教师静静地巡视”的状态。而在这“静”的内里，是学生的感性直觉与思维火花的激发。教师要为学生预留充分的时间，让学生自主阅读条件和结论、理解题意、独立思考、寻求解答;同时也要为自己留出了解学生情况、调整预设问题及解决方式的时间[3]。组织教学时，学生会“说”的就让学生“说”，学生能“写”的就让学生“写”，要有计划地引导学生自主学习。对于学生实在不能解决的问题，教师应逐步启发学生思考。所以，这一阶段也是教师针对学生具体情况开展教学的关键阶段。

2.3.2  交流溝通，合作共赢

在这一阶段，教师需要搭建学生沟通和互助的平台，根据学生的不同需要安排好交流的顺序，层层递进，使学生自然形成解题思路，有所收获。

如笔者先请学生甲（属预设情况1，还未得出结果）说一说对题目的理解和处理，以及目前遇到的困难或困惑。再请学生乙（属预设情况2，已得出结果）进行表述。学生甲在笔者的引导下，在图上标注了顶点字母。

学生甲：这题的阴影部分是两个长方形，可以将左边的长方形的长设为GF，宽设为GB，GB=AB-AG。可以将右边的长方形的长设为HD，宽设为HI，HD=AD-AH。所以我觉得如果知道小长方形的长和宽的话，就可以把两个长方形的周长用带、的式子表示出来了，但我还没有想好应该取多少。

学生乙：从白色小长方形的长宽比例估计的话，我取宽为2、长为5，，所以我的结果是，但是我不确定这是否是仅有的正确答案。

师：你能告诉我们这个式子是怎么得出来的吗？（示意乙学生在黑板上标注）

师：你有办法检验你的答案的正确性吗？

学生乙：时间允许的话，我会再把宽和长分别改为3和7、4和9来计算……

这时学生甲举手：我刚刚按照乙的方法代入了2和6，结果也是。

此时多位学生举手，教师请学生丙（属预设情况4）发言。

学生丙：我们可以用字母表示数，把小白色长方形的长和宽分别设为和，类似刚才乙同学的式子我得到的是。但是因为不知道和的值，我无法得到只有、的式子。

师：你的这个式子比乙同学的看上去要复杂多了，是怎么得来的呢？（这时候，学生丙自发在黑板上标注）。

学生丙：哦，我做出来了！，。

师：你现在是怎么发现的？

学生丙：因为我发现了，，所以。

师：同学们，根据刚才的过程，你们有什么想法吗？

学生甲：我懂得了，可以把未知的量取为接近实际的数值从而得出结果，不确定的话，可以多取几组进行验证。但是这是解答题，用字母表示数才能写出大家都认可的过程，而且也更节省时间。

学生丙：要用心寻找已知量和所设字母之间的关系，要把字母标到图形上去，这就是老师经常说的“带着条件去看图”。

学生乙：我发现，即使我取不太符合图形比例的宽为3、长为4，还是能算出，通过丙同学的解答，我知道了，主要是因为。

师：同学们说得很好，那么对于这道题目，你们还有别的想法吗？

教师请学生丁来回答（学生丁属于第二种预设情况）。

学生丁：我发现两个长方形阴影的长加在一起就是大长方形的长，宽加在一起比少了一段，所以周长和等于。不过，与、是什么关系，我还没看出来。

学生戊：我是算出来的，看这条线段，，与、的关系是，。

学生乙：我可以看出来，，所以我的解题过程是。

学生庚：我也发现，就是，而HE就是，所以IF就是

师：通过这些同学的补充，同学们又有什么想法呢？

学生丁：我没有乙同学那么会转化，学到了！不过，我能像戊同学那样发现一些规律。设出关键的辅助字母，列出代数式，找出可利用的数量关系，坚信这些辅助的字母是可以消掉的，向着已知字母的结果化简，是以后解这类题比较适合我的方法。

学生庚：前一种处理方式是在化简过程中利用线段的相等与线段的和与差关系，用已知的消掉我们设的;后一种是先在图形中把所求量向已知量转化，如果有不能直接转化的，再考虑用代数式表示。利用线段的和与差关系进行转化，我觉得是解这道题的关键。

2.3.3  比较归纳，感性升华

在这一阶段，笔者引导学生进行多种方法的比较与归纳，走进回顾反思境界，进一步展开思考，得到一类问题的通用解法，完成从感性到理性的升华。

师：同学们用字母表示线段，将线段间的和与差及相等表述得明确简洁;分析后设出关键的量，并在图形中标注量，带着条件“看”图形;列出所求周长和的代数式后，明确化简的方向是只留常数和;然后整体审题，把所求的两个阴影长方形的长合在一起，得两阴影长方形的所有横向的线段之和为。如果继续整体处理，我们其实还可以发现，两阴影长方形的所有纵向的线段之和为。在整体处理图形时，要“挖”出差量，对的处理要从数或形，或数形结合去分析。同学们一起完成了对例题的分析求解过程，找出了各种不同的方法，那么大家认为哪些方法最自然？大家最喜欢的方法是什么？最简洁的方法是什么？今后再见到类似情形，我们应该如何思考？[2]

由于问题具有开放性，所以每位学生都有自己的意见可以发表，基础不同的学生的解题方法各不相同。而公认的最简洁的方法是利用所求周长和，即长方形ABCD的周长减去2倍的，得学生在最后一个问题上，有了一致的思考方向，如下所示。

（1）先结合题目文字和图形，将能标的条件标出来，能列的关系式列出来，分析出将所求量向已知量的转化所必须要设的辅助量。

（2）列出所求量的代数式，在已列出的关系式或图形中找出最后要消的辅助量的表达式与已知量之间的数量关系，消去辅助量，得到最后结果。对大多数学生来讲，用字母表示数（符号意识）是极为关键的。具体解决时还需特别注意使用数形结合和整体分析的思想方法。

3   总结经验，反思提高

3.1  错因反馈

学生做题2时，主要的错因有以下几点。

（1）對此题无从下手，因为没有可直接用来表示具体线段的量。

（2）用目测平移的方法得到C1即为大长方形的周长，对C2平移后缺的两段无法处理（也有学生认为不需要处理），目测估计答案为5、15或20（也有写出正确答案10的学生属此类情况）。

（3）在设了小长方形的长为、宽为和大长方形的长为、宽为后，列出了C2的代数式。因为对不规则的阴影部分的周长无法处理，学生列不出C1的代数式。

（4）在正确得出C1和C2的各自的代数式和不作差的基础上，直接观察得出5。

（5）在（4）的基础上列出了的代数式并已化简至，但始终未能发现这一等式关系。

（6）因为化简过程出错而无法求出结果。

笔者所教班级的学生的错误原因则集中在（6）。

3.2  改进措施

笔者在课堂上基本以人人动手的笔答形式组织习题教学，以巡视和提问学生了解完成情况，但是终究还是会有个别基础薄弱的学生未能完成全部问题的解答。随着知识难度的提升，这样的情况时常发生。针对基础特别薄弱、跟不上课堂进度的学生，教师一定要关注他们的课堂参与程度，这实际上也是保证全体学生的课堂活动完整性。运算能力是培养理性思维时必须要锻炼的，这样因运算所暴露的问题就能被学生重视，使学生无论是在新知拓展还是在旧知识练习中都能得到纠正和提升。

3.3  感悟思考

之所以在题2的检测中，笔者所教班级的学生的错误率明显低于其他班级，最重要的原因就是保证了学生相对完整的理性思考过程。即面对一个新问题，先凭直觉开始思考，找到方法或遇到困难之后，再采用理性的思考方式。同时笔者引导学生一起交流互助，研究概括理性思考的过程，并将思维过程可视化，从而找到解决这一类问题的通用方法。

课堂教学是面向全体学生的，特别要关注那些基础薄弱的学生。所以笔者先让全班基础最薄弱的学生甲发言，将遇到的困难用语言表达出来，并引导他用符号语言表述。对于学生乙用估算的方法——取具体数值代入，笔者没有武断否定的，而是让学生互相补充，自然引出“用字母表示数才能说明和研究‘一般性”的規律。从后续学生的解题情况来看，“用字母表示数”的简洁和明确已渗入学生的解题思路中，同时也激发了学生寻求各种方法（包括特殊值法）解决问题的积极性。只有重视和理解学生的感性认识，才能引导不同水平的学生一起开展理性的思考。在归纳阶段，笔者采用开放性的问题“最自然的方法是什么？最喜欢的方法是什么？最简洁的方法是什么？今后再见到类似情形，我们应该如何思考？”的目的是引领学生回顾反思，在多种方法的比较与归纳中，引导学生形成新旧知识的链接，完成从感性认识到理性思考的升华[2]。

在考后评析试卷时，对于题2仍有教师说：“这道题拼一拼、凑一凑就可以，用字母表示数的方法大家都会了，这里就不讲了。”或者“直接标上字母，让学生用这些字母表示指定的线段”等。这样的课堂看似快速顺利，其实是低效的。数学是培养学生思维能力的科目，思考的主体一定是学生。教师只有坚持以学生为主体，以学生的学习为中心，引导学生思考，组织学生交流，协助学生进行归纳和总结，才能促进学生的学习兴趣和理性思维的发展[1]。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]孙琪斌.提高理性思考境界的尝试与反思[J].中学数学参考（中旬），2019（12）.

[3]单勤海.“学为中心”理念下解题教学的尝试与思考[J].中学数学参考（中旬），2019（3）.

【作者简介】

施舒（1975～），女，汉，浙江杭州人，本科，中学一级教师。研究方向：初中数学教学。