近海风机叶片模态局部化产生机理及定量分析研究

张永朋，李东升*2，郭 鑫

(1.大连理工大学 土木工程学院，大连 116024；2.汕头大学 工学院，汕头 515063)

1 引言

在结构健康监测领域中，需要对服役结构进行模态参数识别，获取结构完好和损伤状态的模态对结构真实状态的评估至关重要。风机叶片结构通常具有120度旋转对称性，是典型的循环对称结构。在风机叶片的设计阶段，一般假定叶片处于理想状态，然而，由于制造或建造误差、材料缺陷和结构损伤等原因，实际风机叶片与理想叶片之间存在一定的偏差(称之为失谐)。失谐的存在导致风机叶片的循环对称性遭到破坏，从而变成失谐结构。循环对称结构在发生微小失谐时，通常会出现明显的模态局部化现象。通过研究不同失谐类型和失谐程度对模态局部化的影响，找到局部模态的敏感区域，把这些区域作为重点部位进行监测，通过观察其是否出现模态局部化现象，以及模态局部化的程度来判断风机叶片是否发生损伤、损伤的程度甚至损伤发生的位置，从而对叶片的整体状态进行评估。

Hodges[1]首先将Anderson局部化思想从固态物理领域引入到结构动力学领域，随后国内外学者对结构的模态局部化问题进行了大量研究。Bendiksen[2]以弱耦合的天线结构为研究对象，发现其在发生失谐时会有模态局部化现象产生。Pierre 等[3]通过改变约束位置来模拟一个两跨桥梁的失谐，证实了其模态局部化现象的存在。王红建 等[4]对叶盘结构进行了刚度失谐模拟，并分析了其对叶盘结构频率和振型的影响。杨飞等[5]对飞机T尾结构进行了尾尖质量失谐设计和平尾根部刚度失谐设计，并研究了失谐引起的模态局部化现象对T尾颤振性能的影响。目前风机叶片的研究一般集中于叶片设计、建模和振动特性方面[6-9]，很少涉及到模态局部化领域。因此，本文对模态局部化产生的机理和风机叶片在微小失谐下是否产生模态局部化进行研究。

2 模态局部化产生机理的定量分析

矩阵摄动理论是对结构进行模态局部化研究的有力工具[10-12]，其基本思想是用参数改变前的特征值和特征向量去近似表达参数改变后结构的特征值和特征向量。具体推导过程见文献[13]，在此仅作简要说明。根据摄动理论，可将特征向量和特征值按小参数展开为幂级数，即

λi=λ0i+ελ1i+ε2λ2i+…

(1)

{ui}={u0i}+ε{u1i}+ε2{u2i}+…

(2)

式中ε是一个小参数，下角标0代表谐调结构状态，下角标1代表一阶摄动状态。特征向量{u1i}的一阶摄动公式为

(3)

(s=i) (4)

(s≠i) (5)

由式(3～5)可以看出，影响{u1i}的主要因素包括谐调结构的特征值和特征向量、刚度矩阵的摄动量[K1]和质量矩阵的摄动量[M1]。当出现重频率(即λ0i=λ0s，s≠i)时，向量{u1i}元素的值会很大，ε{u1i}相对于{u0i}就不再是一阶小量，摄动法失效，同时也意味着在参数发生小量变化时，振型发生了较大的变化，从而出现了模态局部化现象。

从摄动理论分析模态局部化出现机理的过程可以看出，摄动理论对模态局部化的成因只是做了定性分析，认为λ0i=λ0s(s≠i)时，结构的参数发生小量改变可能导致模态发生较大的改变。为了分析重频结构或者密集模态结构参数发生小量变化时的模态振型的改变趋势，本文在摄动理论的基础上，结合失谐度[14]、模态密集度[15]和模态置信准则MAC(Model assurance criterion)[16]对模态局部化做了定量分析。

只考虑一阶摄动量，根据摄动理论可列：

(6)

(s≠i) (7)

(s=i) (8)

(9)

实际上，谐调结构某些阶次的振型对失谐后振型的贡献率较小，可以认为失谐振型是由谐调结构的部分阶次振型线性叠加而成，如果能确定线性组合振型的阶次范围，那么只需要得到谐调结构这几阶次的振型，就能叠加出失谐振型，从而对失谐振型的局部化现象进行定量分析，这样不仅可以大大降低工作量，还能满足实际的精度要求。为了确定这个范围，引入失谐度和模态密集度的概念，分别为

(10，11)

失谐第i阶振型中谐调振型线性叠加范围计算步骤如下。

(2) 计算模态密集度，δi j=|λi-λj|/(λi+λj)。

(3) 判断是否满足δi j≤di，若满足，则失谐第i阶振型中谐调第j阶振型的成分不能忽略；若不满足，判断δi j和di是否是相同量级，若是相同量级，则失谐第i阶振型中谐调第j阶振型的成分不能忽略；若上述两个条件都不满足，则失谐第i阶振型中谐调第j阶振型的成分可以忽略。

(4) 步骤(3)中确定的振型即为线性叠加的范围。

为了确定上述方法计算的精度是否满足实际需要，引入模态置信准则

(12)

若

u1d=kiu0i+kju0j+kku0k+…

(13)

式中u1d为失谐后第d阶振型，u0i，u0j和u0k等(1≤i≠j≠k≠…≤n)是谐调结构的振型，彼此之间为正交关系(彼此正交振型向量的模态置信准则值为0)，通过计算得到

(14)

求和得到

(15)

3 数值算例

3.1 26自由度结构概况

本算例主要对失谐振型中谐调振型的成分作定量分析，图1为26自由度弹簧质点结构计算模型，模型中12个质点均匀分布在半径为50的圆周上，一个质点分布在圆心位置，13个质点质量均为100 kg，环向加黑弹簧的刚度系数均为3.15e 5 N/m2，其余弹簧刚度系数为1.05e 7 N/m2，质点只允许在平面内运动，即结构总共有26个自由度。采用MATLAB对该结构进行建模，并进行失谐模拟和数据计算，得到结构的模态频率列入表1。由表1可知，26自由度谐调结构除第1,12,15和24阶模态为非重频模态之外，其他的两两一组构成重频模态对，但频率之间的区分度较差，模态比较密集，较易出现模态局部化现象。

3.2 刚度失谐模拟及失谐振型成分分析

通过改变弹簧的弹性模量使弹簧刚度发生均值为0，方差为σ(σ=0.0001,0.001和0.01)的随机失谐，由于文章篇幅有限，表2列出了失谐第20阶振型与谐调结构14～26阶振型的失谐度和模态密集度。

由表2可知，当σ=0.0001时，其谐调振型线性叠加的有效范围为第20阶与第21阶；当σ=0.001 和0.01时，其线性叠加的有效范围为第 15～24阶；计算其MAC值得到的结果如图2所示，可以看出,失谐方差σ=0.0001和0.001时，失谐第 20阶次 振型的主要组成成分为谐调第20阶与 21阶 振型；失谐方差为σ=0.01时，其主要组成成分为第15～24阶谐调振型，并且各阶次谐调振型的比例非常接近。对图2中模态置信准则进行求和得到其∑MAC均在0.99以上，计算精度满足实际的工程需要。

图1 26自由度弹簧质点系统

Fig.1 26-DOF spring-mass system

实际上，对于26自由度结构，失谐之后任意一阶振型都可以用谐调结构全部振型线性叠加得到，并且得到的是真实值。若失谐振型采用谐调结构部分振型线性叠加，得到的结果与其真实值有一定的误差。图3对比了部分谐调振型线性叠加得到的失谐振型与其真实值，可以看出,部分谐调振型线性叠加得到的失谐振型和其真实值只在某些自由度有细微的差别，满足实际的工程需要，并且失谐方差σ=0.01时，第20阶失谐振型已经出现比较明显的模态局部化现象。

图2 失谐第20阶振型与谐调结构第15～24阶振型的MAC值

Fig.2MACvalue of the 20t hmistuned mode with 15t h～24t htuned mode

表2 失谐度和模态密集度

Tab.2 Degree of mistuning and the intensive degree of mode

阶次δij(i=20,j=14,…,26)di(i=20)σ=0.0001σ=0.001σ=0.01141516171819202122232425260.173060.000410.000350.000350.000200.000200.000000.000000.000200.000200.000930.260410.260410.0000040.0000040.0000040.0000040.0000040.0000040.0000040.0000040.0000040.0000040.0000040.0000040.0000040.000200.000200.000200.000200.000200.000200.000200.000200.000200.000200.000200.000200.000200.002710.002710.002710.002710.002710.002710.002710.002710.002710.002710.002710.002710.00271

图3 第20阶失谐振型真实值与其线性叠加得到的振型对比

Fig.3 Comparisons of the 20-order mode shape between the detuning structure and obtained by linear superposition method

4 风机叶片的建模及其模态分析

4.1 风机叶片建模

本文风机叶片建模[9]主要采用NACA63-415翼型，叶片长为49 m，材料密度为1950 kg/m3，弹性模量为28e9 N/m2。选用ANSYS的SHELL 181单元，每个节点6个自由度，模型共52194个自由度，具体模型如图4所示。

4.2 风机叶片的模态分析

对风机叶片进行模态分析，频率列入表3。可以看出，风机叶片前6阶频率中共2对重频率，其中前三阶频率值大致相同，第4阶为孤立模态，第5和第6阶为一对重频率。重点对前三阶振型的模态局部化现象进行分析，风机叶片谐调结构的前三阶振型如图5所示，可以看出，谐调结构的第1阶振型在三个叶片上的振动形式及振动幅值都很接近，可以认为振型能量在三个叶片上分布比较均匀。第2阶振型三个叶片的振动形式有相通之处，但幅值在一定程度上呈现阶梯化，幅值从大到小依次为叶片1、叶片3和叶片2。第3阶振型位移主要集中在叶片2和3，并且在这两个叶片上的振动形式和振动幅值都比较接近。

图4 风机叶片模型

Fig.4 Model of wind turbine blades

表3 风机叶片频率

Tab.3 Frequencies of wind turbine blades

阶次谐调频率值/HzArea36失谐频率/Hz1234560.166480.166500.166500.429030.437330.437330.166490.166500.166510.429020.437310.43733

5 风机叶片的失谐模拟

为了研究不同的失谐类型对风机叶片模态局部化的影响，本文模拟了单叶质量失谐、单叶刚度失谐、双叶质量失谐和双叶刚度失谐四种不同的失谐类型。为了对比风机叶片对不同失谐类型的敏感程度，四种失谐类型的失谐程度均设定为 0.002。

5.1 质量失谐

风机叶片在制造过程中由于材料的缺陷和叶片尺寸的微小差异会导致风机叶片产生微小的质量失谐。此外，风力发电机组运行环境复杂恶劣，也会导致风机叶片的质量分布不均匀，如风机叶片在服役期间会受雷击脱层，或者发生表面覆冰等。因此，通过质量失谐来模拟叶片的质量分布不均匀对风机叶片模态的影响。

5.1.1 单叶质量失谐(case1)

对叶片1端部Area36(如图4所示)的材料密度特性进行更改来模拟风机叶片端部质量失谐。图6显示了Area36单元材料密度下降0.002后风机叶片的振型。对比图5和图6可以看出，失谐后第1阶振型叶片1的振动幅值明显下降，叶片2和3的幅值差距较小，结构已经出现比较明显的局部化现象。第2阶的振型位移主要集中在叶片2和3上，并且幅值比较接近，而谐调结构振型位移在对程度比较难区分，而第3阶则出现了较为明显的局部化现象。

图5 风机叶片谐调结构的前三阶振型

Fig.5 First three -order mode shapes of tuning wind turbine blades

5.1.2 双叶质量失谐(case2)

通过改变Area36和Area82(如图4所示)的材料密度特性，来研究端部双叶片质量失谐对结构模态的影响。Area36密度减小，Area 82密度增大，增大和减小的程度一致。对比图5和图7可以看出，双叶质量失谐后，前三阶振型位移分别集中在叶片2、3和1，前三阶振型较谐调结构均出现明显的局部化现象。

5.2 刚度失谐

风机叶片在长期交变荷载的作用下，叶片根部的弯矩比较大，因此风机叶片在服役期间叶片根部很容易发生损伤，导致刚度下降,也可能由于局部尺寸和材料差异导致局部刚度增大。

5.2.1 单叶刚度失谐(case3)

材料的弹性模量对结构的刚度起决定作用，将Area 58(如图4所示)的弹性模量下降 0.002 来模拟刚度下降对结构模态的影响。对比图5和图8以看出，单叶刚度失谐后，第1阶振型在叶片1处幅值较大，局部化现象已经出现，局部化程度不太明显。第2阶振型幅值在三个叶片上分布较均匀，结构的模态局部化程度有所下降。第3阶振型和谐调结构比较接近，局部化程度变化很微小。

5.2.2 双叶刚度失谐(case4)

改变材料的弹性模量使Area58的刚度下降，Area 104(如图4所示)的刚度上升，下降和上升的程度均为0.002。对比图5和图9可以看出，双叶>刚度失谐后，第1阶振型在三个叶片上的幅值呈现较明显的阶梯化，叶片1幅值最大，叶片3次之，叶片2最小，局部化程度较为明显。第2阶振型幅值在三个叶片上分布仍呈现阶梯性，较谐调结构的阶梯差距更大，但局部化程度增大的趋势较弱。第3阶振型位移也主要集中在两个叶片上，与谐调结构不同的是，谐调结构的幅值比较接近，失谐之后振型幅值呈现一定程度的阶梯型，局部化程度较为明显。

图6 风机叶片单叶质量失谐的前三阶振型

Fig.6 First three -order mode shapes of wind turbine blades under mass mistuning of the first blade

图7 风机叶片双叶质量失谐的前三阶振型

Fig.7 First three -order mode shapes of wind turbine blades under mass mistuning of the first and the second blades

图8 风机叶片单叶刚度失谐前三阶振型

Fig.8 First three -order mode shapes of wind turbine blades under stiffness mistuning of the first blade

6风机叶片模态局部化程度的定量描述

当周期对称结构发生模态局部化现象时，认为振型的总能量基本不变，能量主要聚集在局部的几个自由度上，而振型在某个自由度的位移绝对值占该振型位移绝对值之和的比例在一定程度上能反应振型能量在该自由度上的聚集程度。因此本文考虑能量在自由度上的聚集程度,定义了相应的模态局部因子：

(16)

第4节模拟了4种不同的失谐类型，密度或者弹性模量改变0.002时，前三阶振型的变化较为明显。本节通过调节密度和弹性模量的改变量来模拟不同失谐程度对风机叶片模态局部化的影响，通过自定义的局部因子对其进行定量描述，计算结果如图10所示。可以看出，风机叶片前三阶振型对双叶质量失谐是比较敏感的，并且随着失谐量的增大，局部化程度也逐渐增大。第1阶振型模态局部化受四种失谐类型影响的趋势相同，其对双叶质量失谐的敏感性稍强，对单叶质量失谐的敏感性稍弱。第2阶振型随双叶质量失谐和双叶刚度失谐的变化趋势相同，并且对前者更敏感，但对单叶质量失谐的敏感度很低，甚至对单叶刚度失谐出现了负敏感(局部化程度降低)。第3阶振型除了对单叶刚度失谐不太敏感之外，对其他三种失谐类型都比较敏感，并且随失谐程度的增大，局部化程度也在缓慢增大。

图9 风机叶片双叶刚度失谐前三阶振型

Fig.9 First three -order mode shapes of wind turbine blades under stiffness mistuning of the first and the second blades

图10 模态局部因子随失谐程度变化曲线

Fig.10 Change curve of localization factors with mistuning degree

7 风机叶片失谐振型成分定量分析

7.1 失谐类型对失谐振型成分的影响

利用第2节的方法计算单叶质量失谐第1阶振型中谐调振型的成分，其失谐度及模态密集度列入表4，可以看出，只有前三阶的模态密集度小于失谐度，可以判断出单叶质量失谐第1阶振型中主要由谐调前三阶振型组成，其MAC及∑MAC值列入表5，并且∑MAC值为1，也就是谐调前三阶振型线性叠加可以得到单叶质量失谐第1阶振型的真实值。用相同的方法计算发现，单叶质量失谐2阶和3阶振型亦是由谐调前三阶振型组成，其他三种失谐类型亦满足相同的规律。

四种失谐类型前三阶振型中谐调振型成分如图11所示，可以看出，单叶质量、单叶刚度和双叶刚度三种失谐下，第1阶振型均是由一阶次谐调振型主导线性叠加而成，模态局部化程度较低；双叶质量失谐第1阶振型由两阶次谐调振型主导，模态局部化程度较高。图11的单叶刚度失谐下的第2阶振型由第2阶谐调振型主导，模态局部化因子值为负；单叶质量失谐和双叶刚度失谐第2阶振型以两阶次谐调振型主导，模态局部化因子为正值，但局部化程度较低；双叶质量失谐以三阶次谐调振型主导，模态局部化程度较高。图11的失谐第3阶振型也满足相同的规律，即失谐振型的成分越复杂，各谐调振型的成分比例越接近，该失谐振型的模态局部化程度越强。

表4 失谐度与模态密集度

Tab.4 Degree of mistuning and the intensive degree of mode of wind turbine blades

阶次δij(i=1,j=1,2,…,6)di(i=1)1234560.000000.000060.000060.440880.448570.448570.000060.000060.000060.000060.000060.00006

表5 风机叶片失谐第1阶振型MAC及∑MAC值

Tab.5 Values ofMACand ∑MACof the firstorder mode shape of wind turbine blades

模态置信准则Area36失谐MAC(1'1)0.9050MAC(1'2)0.0200MAC(1'3)0.0750∑MAC1.0000

7.2 失谐程度对失谐振型成分的影响

从图10可以看出，除部分失谐类型中部分阶次振型随失谐程度的增大，模态局部因子变化很微小之外，大多数失谐类型和失谐阶次振型随失谐程度的增大模态局部因子在不断增大。为了探究失谐程度对失谐振型成分的影响，以单叶质量情况为例，计算了前三阶失谐振型成分随失谐程度增大的变化趋势，如图12所示。可以看出,单叶质量失谐第2阶振型随失谐程度的增大，失谐振型中谐调振型的成分几乎不变，与其局部因子变化很微小相符；而单叶质量失谐第1阶和第3阶,随着失谐程度的增大，失谐振型中各谐调振型的比例越来越接近，其模态局部因子值也越来越大。

图11 风机叶片失谐前三阶振型各谐调振型的组成

Fig.11 Composition of the first three -order mistuned modes by tunned modes of wind turbine blades

图12 风机叶片单叶质量失谐前三阶振型成分随失谐量变化

Fig.12 Change curve of the composition of the first three -order mistuned modes with the degree of mistuning of wind turbine blades

8 结 论

本文在摄动理论的基础上结合失谐度、模态密集度以及模态置信准则对模态局部化的产生机理做了定量描述，并通过实例验证了其适用性。采用数值仿真方式对风机叶片进行建模分析，通过改变材料密度和弹性模量模拟了四种不同的失谐形式，同时也定义了相应的局部因子来评价风机叶片模态局部化程度。通过改变失谐量的大小，得到前三阶模态的局部化程度随四种失谐程度的变化规律，并研究了不同阶次和不同失谐程度中谐调振型成分的变化规律，研究结果如下。

(1) 质量或者刚度的小量失谐会对风机叶片的振型产生较大影响。

(2) 一般情况下，模态局部化程度随失谐程度的增大而增大，增大的速度逐渐变慢。

(3) 不同的阶次振型对不同的失谐类型和失谐程度的敏感性不同，也存在局部化程度变弱的情况。

(4) 失谐振型中谐调振型的成分越简单，模态局部化程度越小，成分越复杂，各成分比例越接近，模态局部化程度越大。

(5) 随着失谐程度的增大，失谐振型中谐调振型主成分所占的比例逐渐减小，非主成分所占的比例逐渐增大，失谐振型中成分复杂性增强，模态局部化程度也增强。