妙用“乡土资源”，巧促数学课堂有“文化”

张纯

摘  要：学生在成长历程当中不能缺少的是数学教育，但数学教育真正引领其发展的是“文化”，故而小学数学课堂教学离不开“数学文化”。对于农村的小学生来说，“乡土数学”是引领学生形成乡土文化的主要资源。笔者从概念界定到教学设计，再到具体的案例，详尽阐述了“乡土数学”促进学生课堂“数学文化”的形成。由此，学生的数学观念、意识和思维方式等深刻影响着当下及今后的生活品质，让学生的思维在看得见中飞翔，真正体现了数学核心素养：数学思维能力。

关键词：数学文化;数学思维能力;乡土数学

数学作为一种主要的智力活动的传统是必须传给后代的人类文化遗产中的最好部分，它被渗透到各个领域之中，影响着人类的文化生活。正如《数学课程标准》（2011年版）中指出“数学是人类文化的重要组成部分……发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代作用”。在教学中加强数学与农村儿童实际生活的联系，通过获得的“乡土数学”，在课堂中交流与阐述，并在教师引导下寻求与课本数学内容中相符的教学内容进行匹配，体会数学知识的形成过程，了解数学与人类社会发展的相互作用，让学生从内心深处体会数学的应用价值、人文价值，开阔视野，寻找数学进步的历史轨迹，领会数学的应用价值，从而提高自身文化的价值和创新意识，进而感悟到我们所学习的数学来源于生活而又高于生活，萌生出要学好数学，为自己的生活更好地服务的想法。

一、概念界定

乡土数学：泛指农村普通百姓口耳相传，以数学模型的形式描述农村生产、生活中的某些现象或事物，具有趣味性、模型性、开拓性、思维启发性等方面的内容。其在生产、生活中经历长久的实践检验，具有经典性，普通百姓拿来就能解决对应的实际问题。如：“鸡兔同笼”问题：板凳、鏊子三十三，一百条腿向上翻，板凳、鏊子各几个？

促进：泛指帮助，提供桥梁、搭建脚手架等。帮助学生利用乡土数学资源更好地学习数学，更好地接受数学教育，从而提升数学素养;帮助教师具备开发与利用课程资源的能力与意识，最终达到师生在原有的基础上都获得提高。

数学文化：指从文化角度理解数学。本课题所述的“数学文化”是通过课堂教学对学生的数学观念、意识和思维方式等产生深刻影响，给予学生当下及今后精神生活品质特有的一种精神和力量。

课堂数学文化：指通过课堂这个空间或时间的载体，教师和学生相互作用的教学行为，把获得的“乡土数学”在课堂中与课本数学无缝对接，在促进学生数学学习、接受数学教育的实地操作过程中创造出物质及精神产物的过程所形成的一种课堂数学的思想、精神、观点等。

《数学课程标准（2011年版）》指出，“数学是人类文化的重要组成部分……更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用”。当下小学数学课堂教学，绝大部分教师只注重知识的传播和解题技巧的训练，没有从文化的角度切入，故而学生面对的数学是符号与数字的堆砌，显得枯燥乏味，即使学生有想学好数学的欲望，也味同嚼蜡，难以下咽，只好放弃。那些数学考试分数较高的学生，只是在解题上表现比较突出，当他们离开课堂后，对生活、对生活中的数学却显得没有多少灵气，不能体现出较好的数学素养，同时也没有提高其精神生活品质。

总之，让数学文化走进小学课堂，深入数学教学实践中，努力使学生在数学学习过程中受到文化熏陶，产生文化共鸣，体会数学的文化价值，是实施新课程标准，彰显数学文化魅力的有效途径。学生在生活中采集乡土数学时，慢慢地学会了用数学的眼光审视生活，从数学的角度切入生活并进行分析，感受生活中处处有数学，使学生在获得数学知识技能的同时，在过程与方法、情感与态度以及价值观上得到全面和谐的发展。

二、数学文化体现案例设计思路

基于数学文化的数学教学案例设计思路是：从数学本质即数学文化的本质出发，通过建立数学与数学史、数学应用、社会文化及地方民族传统等的联系，将数学本质与学生主体经验相联系，即学生的主体经验包含于数学史、社会文化、地方传统等，再即数学史、社会文化、地方传统等包含于数学水平，如果把它们看成三个圆的话，数学水平最小，学生主体经验最大，它们并非同心而是相内切的。由此，让学生感受到数学学习的开放性以及向其他领域的广泛渗透性，体验到资源对其经验的支撑，领悟到学习者之间的互动交流对于知识建构的意义，进而体验到“數学本质上是一种文化”，从而使学习者达到对数学学习的深刻文化陶醉与心灵提升。

根据这样的思路，基于数学文化设计的教学案例的理念是：过去学生的数学学习都是被动地吸收，至于能否消化是学生自己的事情，于是出现了“2·8”两级现象，即仅有百分之二十的学生能理解，百分之八十的学生由于消化不良而形成了严重的“结石”。现如今，学生的主体地位得到日益重视，课堂学习的主体不再是教师而是学生，因此教育回归本身应有的“本性”——“人性”，这种“人性”是把学生当作人来对待而不再是机器，不仅关注学生的当下，还要关注学生未来的发展，不仅关注个体的发展，还要关注社会性的存在。所以，教学不仅要关注数学知识的建构与理解，还要关注个体的生活、生命和持续的发展。

三、教材中的数学文化体现案例

小学数学教材中蕴含着许多的数学文化内容，对学生思维的启迪、对学生视野的开拓、对学生能从数学视角思考生活问题等有着极大的推进作用，能让学生认识到数学的理性精神、认识数学内蕴的美、认识数学的哲学逻辑等。正因为有数学文化内蕴其中，才让学生所学的数学是有用的、发展的，让学生的学习精神慢慢理性起来，让未来的数学人生理性起来。教材中的一些内容与乡坊的生活或乡坊故事有着千丝万缕的关联，失去乡坊的生活或故事就会黯然失色。

1. 对顶角相等，要不要证明？

小学数学四年级上册的《垂线与平行线》内容是在充分认识线段及角与长方形、正方形的基础上进行学习的。这些初步的几何知识初步构建了学生的几何世界，而垂线与平行线的学习，推动了学生对角的深层次的认识，即对角的认识不仅仅局限于“由一个顶点和两条边组成，或者由一点发出的两条射线”，而是扩大到“两条线相交所形成的角”。两条线无论是否垂直，只要相交就有夹角，这些夹角之间又存在着怎样的几何关系呢？这就是以后要给学生解释的“对顶角”的问题。对顶角，顾名思义就是有一个共同的顶点，角的两条边逆向延伸所形成的对顶角是否相等呢？处在教师的场域中，应思考为什么教？教什么？怎么教？处于学生的立场来审视则是：为什么会出现这样的角？形成的缘由是什么？对顶角是否相等？仅仅依靠眼睛观察、仪器测量，是无法避免误差的存在的。如果说“对顶角相等”，那要不要论证呢？

初级中学涉及对顶角的内容中，对“对顶角相等”是这样证明的：从互补的角度出发，其中的两个角都与同一个角互补，则这两个角相等，即对顶角相等。其作为一个定理在解决几何问题时使用。但对于小学生来说，这种证明实在欠妥，测量又存在误差，那最好的路径便是从文化的角度来介绍对顶角。

“两条直线相交形成的对顶角”用眼睛观察是相等的，但这是一种臆测，也可以说是一种假设。如果学生在思考时叩问自己：怎样才能证明对顶角相等，这就接近了数学文化。每个民族都有自己的文化，也有属于这个文化的数学。“对顶角相等”首先是古希腊的泰勒斯进行证明的，放到今天，证明非常简单，就算是小学四年级，只要学生具备了等量的数学知识，同样可以证明出来，但是其产生的原因是否可知就不好说了。那么，我们就从乡坊读书较多是人所传说的有关“对顶角”的故事说起。

古希腊人追求民主、平等与自由，于是就有了世界上最早的选举活动。要选举与表决，就要有充足的理由去说服对方，也就需要拿出充分的证据去证明自己持有的观点是正确的，证明自己坚持的是真理，由此产生极强的说服力。“对顶角相等”是正确的，还要让其产生说服力变成“公理”，使其在“等量减等量，其差相等”的基础上变成理性思维。中国古代同样是百家争鸣、百花齐放，有人游说某个国家的君王，让君王相信自己的假说，从而成为该国的政策顾问，使自己的“公理”得以施行（即向君王提供管理国家的数学方法）。其中具有代表性的是《九章算术》，其内容涉及了土地的丈量、劳力分配、税收的计算等。因此，中国的数学可以说是“社会管理学”或“管理数学”。

根据以上分析得知，古希腊人在数学上长于“理性分析”和“推理”，而中国数学工于计算，因此由“对顶角相等”学习西方的“理性”，也不失东方的“实践”。

2. “0”是否是自然数的文化论证

一年级学生在认识数时会遇到一个数字“0”，那时学生思维中的“0”是没有的意思，因為认数的基础是从实物开始的。古人打猎归来，打到一只兔子会在草绳上打一个结，抓到两只野鸡会在草绳上打两个结……这就是我们所说的“结绳计数”。但不是每天的运气都那么好，古人同样也有打不到猎物的时候，此时该如何在草绳上打结呢？打结表示获得猎物，不打结表示没有获得猎物，但这一天又实实在在出去打猎了，怎么办？在创造出1、2、3、4、5、6等数字后，我们必须再创造出一个数字——“0”。因为“0”同样是在自然生活中产生的，所以它应归为自然数行列。随着学生认知能力的提高，“0”作为度量的起始点，与刚才所说的“没有获得猎物”是不相同的，教师在教学中应知道“为什么教”，在潜移默化中让学生知道“为什么学”，而这就要求教师执有数学文化观。文化其实体现在一个人如何对待他人，如何对待自己，如何对待自己所处的环境。用台湾作家龙应台的话说，“它是随便一个人迎面走来，他的举手投足，他的一颦一笑，他的整体气质。他走过一棵树，树枝低垂，他是随手把树枝折断丢弃，还是弯腰而过？一只满身是癣的流浪狗走近他，他是怜悯地避开，还是一脚踢过去？电梯门打开，他是谦恭地让人，还是霸道地把别人挤开……”。文化是内在的修养，当你看到一条数学定理的时候，你的脑海里会浮现出古人的身影，产生敬畏之心，当你思考问题的时候，你会关注里面的字母是常量还是变量;当你在打开一本书，发现里面有一行又一行的符号时，你依然认真地读下去，在一连串的变换之后问题得解，而由衷地感叹数学之美……

但是，很多人认为数学文化就是数学本身，把会做题，思维得到训练视为文化，而这只是数学文化的一部分，因为数学本身承载着数学文化。数学考试成绩的确很重要，但对于一个人来说，真正起到数学教育作用的是数学文化。正如爱因斯坦所说，“什么是教育，那就是当一个人离开学校十年、二十年之后沉淀下来的东西”。这个沉淀下来的东西，就是文化。数学亦是如此。说某个人有文化，和说这个人是文化人的意义是不同的。有文化只说明他能读书识字，而文化人却在前者的基础上加深了文化性的体现。作为数学教育工作者，我们必须明白，数学文化不能在解题之中自然形成，进行必要的正面阐述、主动揭示、有意义的诱发引导，是我们倡导中外优秀文化的责任。

3. 游戏背后的“运筹学”

农村的孩子特别爱玩具有农村风味儿的游戏，在游戏当中学习数学是常有的事儿。好多游戏中都蕴含着数学知识，比如孩子们经常玩的接力赛跑。事实上，接力赛跑和“田忌赛马”是一脉相通的。接力赛跑通常是体育课上教师有意识安排的体育项目，但在孩子们课后玩耍的游戏中也时常会有谁跑得快的游戏。教师在教学时引入“田忌赛马”的故事，学生便会产生相关的生活体验，并把这种体验带到数学课堂学习之中，进而对形成课堂数学文化产生一定的促进作用。齐国大将田忌与齐王赛马，胜者可赢千两黄金，军师孙膑发现好友田忌的马与齐王的马快慢差不多，他们的马都分为上、中、下三等，于是孙膑对田忌说你只管往大了下赌注，我定会帮你获胜的。田忌相信孙膑的话下了大赌注。比赛即将开始，孙膑告诉田忌，“比赛中首先用你的下等马对齐王的上等马，其次用你的上等马对他的中等马，最后用你的中等马对他的下等马”。三场比赛结束后，田忌一败两胜，取得了最终胜利，田径从齐王那里赢得了千两黄金。“田忌赛马”的基本思想是要用局部的牺牲去换取全局的胜利，从而达到以弱胜强的目的。学生在游戏当中经常遇到类似“田忌赛马”的情形，特别对于农村的孩子来说，这样的情形尤为常见。而在课堂教学中，同样也有蕴含这种“思想”的故事、习题出现，最常见的便是应用题中的“追及”问题。这样的游戏、习题所涉及的知识，其实就是选择策略方面的“博弈论”，也称“对策论”。在博弈、对策中选择策略至关重要。“博弈”综合下的一般表述体现的是“运筹”，由此形成了一门新兴学科——运筹学。“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，语出《史记：高祖本纪》：“帝置酒洛阳南宫……高祖曰：‘公知其一，未知其二。夫运筹帷幄之中，决胜于千里之外，吾不如子房……”刘邦说自己策略、军事、安抚等方面不如子房、萧何、韩信，所以有“运筹中……千里外”。

小学阶段，学生并不需要学会并掌握“运筹学”等内容，但却可以对运筹学的诞生背景与发生、发展情况有一个详细的了解。当数学课堂中出现类似的“博弈”情况时，学生就能拥有“运筹”思想的雏形，这就是学生在数学课堂中形成一种思想认识的具体体现，也可以说是课堂“数学文化”。

四、结论

当农村的学生进行数学学习时，如果在课堂中体现与实践“乡土数学”，学生的视域与心域将会截然不同。数学文化走进小学课堂，深入数学教学实践中，在小学阶段让学生了解数学与人类社会发展相互作用，体会数学知识的形成过程，体会数学的应用价值、人文价值、开阔视野，寻找数学进步的历史轨迹，受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化价值和创新意识。培养学生站在数学立场上，以数学思维，从独到的数学视角来剖析问题、解决问题，改变了过去数学课堂中单纯以“本”为“本”进行系统的知识教学，而不关注学生的生活以及数学的形成与发展过程，不注重现有资源的开发与利用等状态。利用“乡土数学”促进数学学习并形成自己的数学思想方法观，自我实施数学教育，对学生的终身数学学习来说有很强的前瞻性，能使学生在获得数学知识的同时，接受数学精神、数学思想和数学方法的熏陶，提高思维能力，锻炼意志品质，并把它们迁移到学习和生活的各个领域中。