高观点下的小学负数教学

倪海飞

摘  要：负数的引入是对数系的一次扩充，是对学生原有的数概念认知结构的一次重新建构。因此如何带领学生经历负数的产生过程，关联中学阶段减法和直角坐标系的运用，需要教师具备高观点意识，高屋建瓴地把握小学阶段负数的教学。

关键词：负数;高观点;直角坐标;概念

德国著名数学家菲利克斯克·莱因在《高观点下的初等数学》中指出：“数学教师应具有较高的数学观点，观点越高，事物就越显得简单。”他认为可以从高等数学的角度来审视初等数学。高等数学宽阔的知识界面和深邃的思维方法，可以让许多初等数学的现象得到深刻、通透的理解。这么看来，小学数学教师也须具备较高的数学观点，能从学生的终生发展出发，知道小学阶段的数学知识“从哪里来”“往何处去”。

笔者在某次研讨课上执教“负数的初步认识”一课，紧紧围绕“高观点立意”的理念来演绎数学化教学，追求自然地将小学数學和中学数学有机结合。“负数的初步认识”是一节概念课，负数这个概念从小学到初中学生需要知道这五层含义：

（1）利用相反意义的量的存在性，产生“数不够用了”的困惑。

（2）引入负数，得到一种新的数。

（3）会用正负数表示相反意义的量。

（4）阐述a-b与a+（-b）是相等的，如此，加减法封闭。

（5）获得负数的两个特征：①它和正数一起能表示具有相反意义的量;②它是一种新的数，这种数的最大作用就是满足数系对加减法运算的封闭性。

小学阶段，孩子们只要理解并掌握前三层含义，后面则是初中的教学任务，站在这个高度上立意，才能更好地把握自己的教学。

片段一：素材整合，初识负数

观众朋友们早上好，我们来看城市天气预报，今天三亚市最低气温零上20℃，哈尔滨最低气温零下20℃。同学们，你能想办法表示出这零上20℃和零下20℃的不同吗？

展示交流：

生1：20℃和■20℃。零上20℃很热，零下20℃很冷。

师：一个很热，一个很冷，两者是——相反的。

生2：我这样画（如图1）意思是零上20℃在0℃以上，零下20℃在0℃以下。

师：一个在0℃以上，一个在0℃以下，两者的含义也是——相反的。

生3：我画了温度计（如图2）。

师：你们能从温度计上看出这两个温度有什么不同吗？

生：零上20℃比0℃高，零下20℃比0℃低。

师：一个比0℃高，一个比0℃低，两者的含义也是——相反的。

出示标准的温度计（如图3）：

怎样找到零上20℃，先找谁？明确：先找到0℃，再往上找到20就是零上20℃。

怎样找到零下20℃，先找谁？明确：先找到0℃，再往下找到20就是零下20℃。

总结：你们有的画图，有的画温度计，都表示出了零上20℃和零下20℃的含义是相反的。那数学上是如何直接用数来记录这两个相反的温度呢？

展示作品：

生4：零上20℃我记作20℃，零下20℃我记作-20℃。

师：这个20我们都认识，这个-20我们没学过，这是一种新的数呀！对于这种新的数，同学们有什么疑问？想提出什么问题？

生：这种新的数叫什么？——负数。

生：这个数怎么读，怎么写？

生：我想问为什么表示温度需要用到这种新的数？

师：这个问题很有价值。是呀！我们已经认识了那多的数，为什么这里还需要新的数来帮忙呢？

生：温度有零上也有零下，以前的数不够用了。

出示：在表示一组相反意义的量时，需要用到正数和负数。

师：这个数读作正二十，书写的时候在20前面加一个正号。这个数读作负二十，书写的时候在20的前面加一个负号。正数前面的正号可以省略，+20可以直接写成20。负数前面的负号能省略吗？

生：负号不能省略，省略的话就变成正数了。

师：0在这里起什么作用？

生：0℃是零上和零下的分界，也就是正负数的分界。

师：你们觉得和刚才画图、画温度计相比，用正负数表示有什么好处？

生：更简洁。

师：下面请同学们当气象记录员，用正负数记录以下几个城市的气温。

生：张家港0℃，上海+4℃或4℃，南京-4℃。

师：老师继续带大家游览祖国大好河山，请同学们当地质勘探家。（出示例2主题图）

生（齐读）：你能看图说出珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地比海平面高或低多少米吗？

生：珠穆朗玛峰比海平面高8844.4米，吐鲁番盆地比海平面低155米。

师：你会用正负数表示它们的海拔高度吗？

生：珠穆朗玛峰+8844.4m，吐鲁番盆地-155m。

师：这两个数的含义有什么不同？

生：一个比海平面高，一个比海平面低，两者是相反的。

师：这里的分界是——海平面，所以海平面的海拔高度为——0米。

【思考】笔者从孩子们熟悉的温度入手，让孩子们用自己喜欢的方法表示出零上20℃和零下20℃的不同。课堂中生成的表示方法非常丰富，有用文字表示的，有画图形的，有画温度计的，甚至出现了正数和负数等，这些不同的表示方法都体现了相反意义。与此同时，教师始终抓住“相反意义”进行师生互动和学生点评，由“数不够用了”的困惑引入负数，感悟负数产生的必要性，学生在经历比较各种方法的优劣过程中体会到用正负数表示相反意义的量有一个特点就是：简洁性。在练习用正负数表示相反意义的量时，笔者设计了一个气象记录员和地质勘探家的小游戏，在游戏中，学生接触了另一个经典的相反意义的量——海拔。

片段二：改造数轴，概念重构

师：那学习了新的负数，会对我们以前的知识有什么影响呢？

师：这是我们熟悉的数轴，你能在上面找到+4吗？

生：能。

师：你能在数轴上找到-4吗？该怎样改造一下数轴，从而找到-4？

生：我从0开始把数轴向相反方向延伸，0，-1，-2，-3，-4。

师：你们找到了+4和-4，那这里是+5，那里就是（-5），这里是+6，那里就是（-6）。+10呢？+100呢？+1000呢？正数找得完吗？……所以负数也找不完。

师：我们得到了一条新的数轴，在这一过程中，你有什么体会？

生1：正数都在右边。

师：正数都在谁的右边？

生1：在0的右边，所以正数都比0大。

生2：负数都在0的左边，所以负数都比0小。

生3：正负数都一对一对出现，0很孤单。

师：说明0既不是正数，也不是负数。

【思考】学科之所以为学科，而不是概念与知识要点的堆砌，其中很重要的原因就在于学科知识之间存在着不可割裂的内在关联，因此在学生知道了负数这个概念后立马上升到数轴。可为什么偏偏是数轴呢？因为数轴是学生以前学习正数时很熟悉的数学工具，所以负数的引入对学生以往概念中的数轴认识造成了很大的冲击。学生在自己改造数轴的过程中将原有正向的数射线，拓展为双向可以延长的数直线，知道了负数在数轴上所对应的点，理解了负数<0<正数，0既不是正数也不是负数。

片段三：渗透坐标，中小融通

师：有同学说在减法中见到过负数，如5-7=-2，你们是怎么想的？

生1：5-7=-2。我有5元，买7元的圆珠笔，我欠老板2元。

师：你把负数和生活中的欠钱联系在一起，这样解释可以吗？

生2：我原来在5楼，往下走7层，到了-2楼。

师：你想到了楼层，那老师就想到从0开始再画一个立起来的数轴（如图4）。

………

图4

生：用磁铁移动说明5-7=-2。原来在5楼，减7就是向下移动7格，到了-2楼，所以5-7=-2。

师：数轴的作用可真大，如果我在这条数轴上标上东和西，又在那条数轴上标上北和南，那这就是我们熟悉的方向——“上北下南左西右东”。

学生独立完成下面两题，全班汇报（如图5）。

（1）如果小华从大树起向东走为正，那从大树起向西走4米记作（-4）米。

（2）如果小林从大树起向北走为正，那从大树起向南走4米记作（-4）米。

图5

师：对于这两个-4你有什么疑惑？可以提出什么问题？

生1：为什么会有两个-4？

生2：蓝色的-4表示向西走了4米，红色的-4表示向南走了4米。

师：说得很好，两个-4含义不同，说明这里有两组相反意义的量（东和西是相反的，北和南是相反的），所以才会有两个-4。

师：如果老师到了+4的位置，有几种可能？

生：两种。

师：观察这里的两个+4，两个-4（如图6），你能发现它们的共同点吗？

生：离0都有4格，也就是到0的距离一样长。

圖6

师：看，现在飞来了一只小蝴蝶，它围绕着0在这四个点之间自在地飞来飞去，留下了一个美丽的轨迹，是什么呀？

生：圆。

师：哇！我们在数字里描绘出了一个图形——圆，圆里面又包含了我们今天所学的正数和负数，多么神奇呀！

【思考】小学教师要了解整个数学知识体系，善于对小学阶段的知识点进行融通，并有机地将中学数学知识渗透其中，才能成就高眼界的学生。虽然现有的知识不能让学生完全理解5-7=-2，但却可以融合学生熟知的生活中的盈亏问题、上下电梯等现实情境，在数轴上用磁铁的移动帮助学生理解，平面直角坐标系也顺势引出。遥想二年级时学过的“上北下南左西右东”与直角坐标系有着前后呼应的联系，学生会很愿意亲近它、掌握它，课堂因此有了温度。

素材的统一整合，概念的重新建构，高等数学和初等数学的前后融合，让学生不仅知道了负数从哪里来，而且感受到了负数将往何处去，学生的思维向着更深处漫溯。