三段不等厚Halbach永磁电机解析法建模与优化

2020-04-08倪有源葛木明

合肥工业大学学报(自然科学版) 2020年3期

倪有源, 王磊, 葛木明

(合肥工业大学电气与自动化工程学院,安徽合肥 230009)

随着全球对资源节约和环境保护的不断重视,因为永磁电机因具有高效率、高转矩密度等优点受到青睐,所以被广泛应用于生产与生活等各个领域[1-3]。但有槽电机因其固有的结构特点,即齿槽作用,造成气隙磁密中含有一定谐波,严重影响了电机的电磁性能,因此对其进行优化一直是研究的热点。

为减少气隙磁密中的高次谐波,文献[4]提出了单层两段式Halbach阵列结构,该结构通过解析法和有限元法,证明该结构模型能减小气隙磁密的谐波分量;文献[5-8]利用解析法对Halbach阵列的永磁电机的电磁性能进行了分析比较;文献[9-10]利用解析法对内嵌式永磁无槽电机的气隙磁密波形进行分析;文献[11-12]提出了一种T型永磁组合结构,通过解析法得到该结构模型永磁电机的电磁性能,得到该模型保持电磁性能的前提下,减小永磁用量。有学者用解析法分析了双层两段式Halbach阵列的永磁电机的解析模型[13]和电磁性能[14]。

永磁电机的电磁性能的重要参数之一就是气隙磁密。目前对气隙磁场的求解主要有有限元法和解析法。有限元法虽然精确但很耗时。解析法具有计算精度较高和计算时间短的优点,适合永磁电机的快速建模和优化分析,本文采用了解析法。

本文提出一种三段不等厚Halbach结构的永磁电机。通过建立该永磁电机的数学模型,得到气隙磁密、反电势以及电磁转矩的解析表达式。在此基础上,计算了1台该结构模型的永磁电机的电磁参数。此外,采用了分离变量法得到两边磁极的最优磁化角,即使径向气隙磁密基波获得最大值。比较结果表明,本文提出的结构模型的永磁电机不仅具有较好的电磁性能,而且减少了永磁用量。最后,与有限元法获得的结果进行比较,其结果是一致的,验证了解析模型的有效性。该解析模型对于永磁电机的性能参数计算和优化设计等方面具有一定的指导意义。

1 三段不等厚Halbach永磁电机结构

传统的永磁结构为平行充磁，传统永磁和本文提出的三段不等厚Halbach阵列如图1所示。

图1b的结构每极由三段不等厚永磁组成,中间磁极为平行充磁,两边磁极的磁化角为Δθ,即左边、右边磁极的磁化角分别为与顺时针、逆时针圆周切向方向的夹角。从图1b可以看出,该结构的永磁电机的气隙磁密为中间磁极产生的磁密和两边磁极产生的磁密一起叠加而成。该结构的永磁极弧系数为αp,为中间磁极的极弧系数αpm与两边磁极极弧系数αps的和,即αp=αpm+αps。

图1 传统永磁与本文提出的三段不等厚Halbach阵列

三段不等厚Halbach永磁电机结构如图2所示。

图2 三段不等厚Halbach永磁电机

2 三段不等厚Halbach永磁电机的建模

2.1 磁化强度解析式

由图1b可知,三段磁极构成一极。为了分析这种结构电机的气隙磁场,首先需要分别对每段永磁体进行求解,然后再利用叠加原理得到总的气隙磁场。

已知该永磁电机的极对数为p,则一对极沿圆周方向的机械角度为2π/p。一对极的磁化强度写成如下的傅里叶级数展开式,即

(1)

由于一极是由三段磁极构成的,则一个周期下磁化强度的径向分量和切向分量是由三段永磁体的径向和切向分量组合而成,然后再对其进行傅里叶分解,从而得到Mr n、Mθ n。一对极下的磁化强度表达式见表1所列。

表1中,Brm、Brs分别为中间磁极的剩磁和两边磁极的剩磁;μ0为真空的磁导率;Mr、Mθ分别为磁化强度的径向分量与切向分量。且有:

M=Μrr+Μθθ

(2)

(3)

其中,M为永磁的磁化强度。

表1 三段永磁磁化强度表达式

2.2 中间磁极产生的磁场分析

中间磁极为传统瓦形且平行充磁,为简化磁场求解,假设如下:① 铁心材料的相对磁导率为无穷大,忽略涡流损耗和磁滞损耗；② 二维场分析,忽略端部效应；③ 永磁体具有线性的去磁特性,且全部均匀磁化。一个极距下的求解域分布如图3所示。区域Ⅰ为定子内径与中间磁极外径之间的气隙部分,区域Ⅱ为中间磁极部分,区域Ⅲ为中间磁极内径与转子外径的气隙部分。这里Rm=Rm1,Rm2=Rr。

图3 中间磁极求解区域分布

由电磁场理论可知,在气隙区域和永磁区域中,磁感应强度与磁场强度分别满足[15]:

(4)

其中,BrΙ、HrΙ分别为气隙中的磁感应强度和磁场强度;BrⅡ、HrⅡ分别为永磁中的磁感应强度和磁场强度;μr为永磁的相对磁导率。

在二维极坐标系下,在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中,由拉普拉斯方程和准泊松方程可知,标量磁位分别满足以下方程:

(5)

(6)

(7)

(8)

其中

Μn=Μr n+npΜθ n

(9)

在极坐标下,磁场强度的径向分量和切向分量可由标量磁位分别表示为:

(10)

由磁场边界条件可知:

Ηθ Ι(r,θ)|r=Rs=0

(11)

Ηθ Ⅱ(r,θ)|r=Rr=0

(12)

Br Ι(r,θ)|r=Rm=Br Ⅱ(r,θ)|r=Rm

(13)

Hθ Ι(r,θ)Rm=Hθ Ⅱ(r,θ)|r=Rm

(14)

其中,Rs为定子铁心的内半径;Rm为中间磁极外半径;Rr为转子铁心的外半径。

由(5)式、(6)式的求解可以得到区域Ⅰ、Ⅱ中标量磁位的一般通解,即

(15)

(16)

将(11)～(13)式代入(15)式、(16)式,联立方程组求解。可以得到不同区域中的径向气隙磁感应强度和切向气隙磁感应强度表达式,即

(17)

其中

(18)

(19)

2.3 两边磁极产生的磁场分析

要获得两边磁极产生的磁场,同样需要分成3个求解区域,分别为区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ,如图3所示。在区域Ⅲ中可以是成本较低的铝或其他非导磁材料。

在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的各交界面处,满足的边界条件为:

Ηθ Ι(r,θ)|r=Rs=0

(20)

Ηθ Ⅲ(r,θ)|r=Rr=0

(21)

ΒrΙ(r,θ)|r=Rm1=ΒrⅡ(r,θ)|r=Rm1

(22)

Ηθ Ι(r,θ)|r=Rm1=ΗθⅡ(r,θ)|r=Rm1

(23)

Βr Ⅱ(r,θ)|r=Rr1=ΒrⅢ(r,θ)|r=Rr1

(24)

Ηθ Ⅱ(r,θ)|r=Rr1=ΗθⅢ(r,θ)|r=Rr1

(25)

其中,Rm1、Rr1分别为两边磁极的外半径和内半径。

由(5)～(7)式的求解可得到区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中标量磁位的一般通解,即

(26)

(27)

(28)

将边界条件式(20)～(25)式代入(26)～(28)式,联立方程组求解。从而得到两边磁极产生气隙磁密的径向分量和切向分量分别为:

(29)

(30)

其中

(31)

(32)

(33)

(34)

前面已经求解了中间磁极和两边磁极分别产生的气隙磁通密度。对于整个磁极产生气隙磁场可以利用叠加法,将中间磁极和两边磁极产生的气隙磁密进行叠加,则径向气隙磁密和切向气隙磁密分别为:

(35)

(36)

2.4 等厚齿尖结构的气隙磁密解析式

用等效的气隙长度ge代替原来的气隙长度g,两者关系如下:

ge=Kcg

(37)

其中,Kc为卡特系数。

利用改进的卡特系数[16]可以计算相对磁导。

定子槽结构及磁通路径如图4所示。

图4 等厚齿尖结构及磁通路径

图4中,b0为槽口宽;bs为齿尖宽;h为齿高。

相对磁导的计算公式为:

(38)

其中,xi为第i个定子区域的磁路长;yi为第i条磁路的长度;l为定子的轴向长度。

由图4齿槽结构可知,这种结构的磁通路径共分为4条,这4条路径的长度为:

(39)

其中,r2、r3分别为图4中第2、第3条路径中的圆弧半径,范围为:

(40)

由(38)式可得这4条路径的相对磁导分别为:

(41)

则总磁导为:

Λe=Λ1+Λ2+Λ3+Λ4

(42)

有槽电机的气隙磁导与等效的气隙磁导相等,从而可以求出有效的气隙长度,计算公式如下:

(43)

ge=

(44)

将(44)式代入(37)式,可求出卡特系数Kc。然后利用卡特系数可求出有槽结构的气隙磁密,即

Br′(r,θ)=Kc(θ)Br(r,θ)

(45)

在一个槽距范围内,Kc(θ)为:

(46)

其中,Qs为定子槽数;α0为槽口对应的角度;αs为齿宽对应的角度。

对(46)式进行傅里叶级数展开,可以得到:

(47)

(48)

2.5 感应电动势和电磁转矩

当电机旋转时,定子线圈切割旋转磁场,于是在线圈中产生磁通。因此一个线圈内的磁通为:

(49)

其中,ωr为转子的机械角速度;ac为线圈的节距角;L为轴向长度。

由法拉第电磁感应定理,感应电动势为:

(50)

其中,N为定子相绕组所串联的总匝数;Kdn、Kqn分别为定子绕组的节距因数和分布因数。

电机的电磁转矩可表示为:

Te=(eaia+ebib+ecic)/ωr

(51)

其中,ia、ib、ic分别为三相电流的瞬时值;ea、eb、ec分别为三相绕组反电势的瞬时值。

设三相电流为正弦波,基波可表示如下:

(52)

其中,Im为相电流的最大值;φ为相位角。

3 解析法计算结果及有限元法验证

3.1 气隙磁密的解析法计算结果

为了验证解析法建模的有效性,以一台4极6槽、三段不等厚Halbach永磁电机为分析对象。该电机的主要参数见表2所列。电机的额定电压为60 V,额定转速为3 000 r/min。

首先分析两边磁极的磁化角对三段不等厚Halbach无槽永磁电机气隙磁密的影响。为了便于比较,设3种结构参数的电机只有两边磁极的厚度不同,其他参数完全一样。本文给出3种不同厚度的两边磁极,厚度hs分别为hm/2、3hm/4、hm。利用气隙磁密的解析式,可以得到径向气隙磁密的波形参数与两边磁极的磁化角Δθ(0≤Δθ≤90°)的变化趋势。

表2 永磁电机的主要参数

当hs=hm/2时,无槽电机的径向气隙磁密的基波幅值和THD随磁化角Δθ变化趋势如图5所示。

从图5可以看出,随着磁化角Δθ的增加,径向气隙磁密的基波幅值先增大后减小,当Δθ为20°时基波幅值最大，而THD值先减小再增大；当Δθ为50°时,THD取得最小值。

图5 hs=hm/2时径向气隙磁密与两边磁极磁化角的关系

当hs=3hm/4时,无槽电机的径向气隙磁密的基波幅值和THD值随磁化角Δθ变化趋势如图6所示。

图6 hs=3hm/4时径向气隙磁密与两边磁极磁化角的关系

从图6可以看出,随着磁化角Δθ的增加,径向气隙磁密的基波幅值先增大后减小,最大基波幅值在Δθ=20°时取得。而THD值是先减小再增大,当Δθ=85°时,THD取得最小值。

当hs=hm时,无槽电机的径向气隙磁密的基波幅值和THD值随磁化角Δθ的变化趋势如图7所示。

图7 hs=hm时径向气隙磁密与两边磁极磁化角的关系

从图7可以看出,随着磁化角Δθ的增加,径向气隙磁密的基波幅值先增大后减小,当Δθ为20°时基波幅值最大。而THD值是先减小再增大,当Δθ为10°时,THD取得最小值。

3.2 有限元法验证

在瞬态有限元计算中,根据表2中的电机参数,建立图1所示的三段不等厚Halbach永磁电机的模型。选择一组永磁参数为:αpm=0.7,αp=1,hs=hm/2,Δθ=20°。利用解析法与有限元法,分别得到该参数下的无槽和有槽结构电机在r=Rs-g/2气隙处的径向磁密波形,如图8所示。

图8 无槽电机、有槽电机的径向气隙磁密波形

从图8可以看出,解析法和有限元法的计算结果一致性很好,从而验证了解析法获得气隙磁密结果的准确性。

采用解析法,由(50)式获得三段不等厚Halbach永磁电机的相感应电动势波形,如图9所示。从图9可以看出,2种方法得到的波形基本一致,可以验证解析法求解反电势的正确性。

电磁转矩反映了电机的输出能力,是电机的电磁性能中的一个重要指标。运用电磁转矩的解析式,即(51)式,可以得到电磁转矩的波形,用二维瞬态有限元法得到的电磁转矩波形如图10所示。从图10可以看出,两者得到的电磁转矩波形误差较小,证明了该解析式的正确性。

图9 解析法和有限元法获得的相反电动势波形

图10 解析法和有限元法获得的电磁转矩波形

为说明三段不等厚Halbach永磁电机的优势,传统结构和三段不等厚Halbach 无槽永磁电机的气隙磁密的基波幅值和THD的比较结果见表3所列。

三段不等厚Halbach 有槽永磁电机的气隙磁密的基波幅值和THD比较结果见表4所列。

传统结构和三段不等厚Halbach无槽、有槽永磁电机的电磁转矩平均值比较结果见表5所列。

从表3～表5可以看出,三段不等厚Halbach无槽、有槽电机径向气隙磁密和电磁转矩都优于传统结构的永磁电机。因此,相比于传统结构永磁电机而言,三段不等厚Halbach永磁电机不仅可以减小永磁材料,还能获得更好的气隙磁密的基波幅值、THD和电磁转矩等电磁性能。

表3 无槽电机径向气隙磁密比较

表4 有槽电机径向气隙磁密比较

表5 不同结构电机的电磁转矩平均值 N·m

4 分量变量法优化气隙磁密

4.1 优化方法

前面分析了不同厚度的两边磁极,由图5～图7可知,边磁的磁化角Δθ对气隙磁密会产生影响。同时,当两边磁极厚度不同时,所对应最优磁化角也是不同的。于是要得到电机优化数据,需要两边磁极厚度hs为已知量,来求解最优磁化角。两边磁极厚度不变,即边磁的外半径Rm1和内半径Rr1都保持不变。

由(35)式知,永磁电机的径向气隙磁密是由中间磁极与两边磁极叠加而成；并且由(31)～(33)式的解析表达式可知,只有在Ans中的Mn和Mrn含有磁化角Δθ这个变量。于是对于Δθ和其他变量,可以利用分离变量法,将Ans化简成WΔθ,形式如下

WΔθ=U1cos(Δθ)+U2sin(Δθ)

(53)

其中,对于无槽电机,U1、U2为包含Rs、Rm、Rr、Rm1、Rr1、r、Brm、Brs、αp、αpm、μr、δ、n以及p的函数;而相对于有槽电机,U1、U2包含除了这些变量外,还包括b0、Qs以及ν。限于篇幅,本文未给出具体表达式，且U1、U2不包含Δθ。

4.2 无槽电机两边磁极磁化角的优化

(1) 对无槽电机进行优化分析。本文对三段不等厚Halbach无槽电机(包括hs=hm/2、hs=3hm/4、hs=hm)进行优化分析,代入参数,由(53)式求解,可获得两边磁极的最优磁化角,结果见表6所列。

表6 无槽电机两边磁极的最优磁化角

(2) 通过改变2边磁极厚度和磁化角Δθ,分别得到三段不等厚Halbach无槽电机的径向气隙磁密基波幅值,如图11所示。从图11可以看出,当磁化角Δθ为20°时,3种结构参数下的径向气隙磁密的基波幅值呈现最大值。这与利用分离变量法以及函数求导计算获得的结果一致。因此验证了优化分析的正确性。

图11 无槽电机径向气隙磁密基波幅值与两边磁极磁化角的关系

4.3 有槽电机两边磁极磁化角的优化

接着对有槽电机进行优化。对于三段不等厚Halbach有槽电机(包括hs=hm/2、hs=3hm/4、hs=hm)进行优化分析,代入相关参数,由(53)式同样可获得两边磁极的最优磁化角,比较结果见表7所列。

表7 有槽电机两边磁极的最优磁化角

对于有槽电机以及不同厚度的两边磁极,可以分别得到三段不等厚Halbach有槽永磁电机的径向气隙磁密基波幅值与两边磁极磁化角的关系,如图12所示。从图12可以看出,当磁化角Δθ=20°时,3种结构参数下的径向气隙磁密的基波幅值呈现最大值。这与利用分离变量法以及函数求导获得的结果一致。因此也验证了优化分析的正确性。