2013年湖南卷理科第10题的多解及推广

内江师范学院数学与信息科学学院 (641100) 蒋红珠 刘成龙

1.问题

试题(2013年湖南卷理科第10题)设a,b,c∈R，且满足a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为．

2.问题解决

视角1 柯西不等式法

a2+4b2+9c2的最小值为12．(下文不再说明取等条件)

视角2 向量法

视角3 判别法

解法3：令f(x)=3x2+2(a+2b+3c)x+a2+4b2+9c2，则f(x)=(x+a)2+(x+2b)2+(x+3c)2≥0，又因为3>0，所以Δ=[2(a+2b+3c)]2-4×3(a2+4b2+9c2)≤0，化简得a2+4b2+9c2≥12，所以a2+4b2+9c2的最小值为12．

视角4 琴生不等式法

解法4：令f(x)=x2，显然f(x)=x2在(0,+)上是下凸函数，所以化简得a2+4b2+9c2≥12，所以a2+4b2+9c2的最小值为12．

视角5 拉格朗日乘数法

视角6 球坐标系法

3.问题推广

(1)系数上的推广

注：运用柯西不等式易证推广1．

(2)元和系数上的推广

(3)元、系数和次数上的推广

注：运用权方和不等式易证推广3．