利用几何画板探究数学问题的教学设计*

广东省佛山市南海区南海实验中学（528200） 黄业青

初中阶段是培养学生计算能力、抽象思维、逻辑能力等数学素养的重要阶段.利用几何画板探究数学问题,能有效提高学生的直观想象能力、培养数学建模意识等数学素养,提供一个探究数学问题并提出数学问题的平台.结合几何画板技术辅助教学是作者近几年的一个探索实践.

1 基于几何画板的数学问题探究设计

教材版本北师大版数学八年级上册

设计理念(1)学生是主体,不仅引导学生解决问题,更鼓励学生提出问题；(2)创设实验平台,引导学生自主探究数学问题,提升学生思维；(3)关注学生的小组交流合作,培养学生合作交流的情感态度.

教学目标(1)学生初步了解几何画板,并进行简单操作；(2)学生探究数学问题,感受几何画板的作用和探究的乐趣；(3)鼓励学生提出数学问题,通过小组交流合作进行解决.

教学重点熟悉并简单操作几何画板,提出数学问题、交流数学问题；

教学难点利用几何画板探究数学问题

学情分析初二学生基本没有接触过几何画板软件,但几乎每个学生都基本熟悉电脑的基本操作.207 班学生数学基础比较扎实,有些学生参加过奥数培训,有一定探究数学问题的能力,并且学生有很强的求知欲望,对几何问题探究比较感兴趣.

课前准备(1)教具准备:全班每4 人分一个小组,准备约14 台手提电脑；(2)软件准备:建立“画板探数”QQ 群,周末先让学生在家下载软件并自主操作熟悉软件；

教学过程

教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图一、展示几何画板1.展示一些几何画板课件,如“旋转五角星”、“函数图象”、“正方体三视图”等等；2.打开几何画板软件,简单介绍几何画板.“几何画板”是最出色的数学软件之一.它提供的动态几何,不仅可以帮助同学们直观的去理解老师指定的图形及问题,而且能为同学们提供一个培养创造能力的实践园地.打开课件,边 展示、边介绍几何画板边听边熟悉几何画板软件让学生初步了解几何画板images/BZ_5_1255_2253_1522_2497.png二、小组合作完成“勾股树”制作制作步骤1.打开自定义工具/四边形/正方形,用AB构造正方形ABCD;2.选中线段CD,构造/中点,作出E.3.依次选中点E,点C,点D,选择“构造/圆上的弧”,在弧上任取一点F,隐藏弧.images/BZ_5_1282_2590_1497_2853.png

4.单击“自定义工具”,光标此时吸附了一个点,移动到C,单击,再移动到F,单击.images/BZ_6_1258_401_1472_707.png5.同样,依次单击F,D,绘制FD 为一边的正方形.可以对正方形进行颜色等更改.images/BZ_6_1205_791_1524_1119.png教师停顿下 来,并巡视帮助学生.学生开始小组合作制作“勾股树”.学生在教师的指导下亲自操作,增强他们的兴趣和信心,感受几何画板软件的强大.6.单击“数据/新建参数”,在“名称”框中输入n,单击“确定”,数字输3.images/BZ_6_1205_1265_1524_1451.png7.依次选定A,B,最后选定“参数n=3”,按住shift 不放,选择“变换/深度迭代”,弹出下面的对话框.images/BZ_6_1205_1546_1525_1881.png教师继续制作“勾股树”.学生听老师讲解如何制作.学生学会“自定义工具”、“迭代”、“深层迭代”等功能的使用.8.依次单击点F,C.9.单击“结构”按钮,单击“添加新的映射”.10.在映像2 处依次单击点D,F,单击“迭代”按钮.images/BZ_6_1205_1964_1525_2305.png教师停止制作并巡视指导学生完成,并在第6步开始重复讲解一遍.学 生 按照老师的讲解,小组合作完成“勾股树”制作.让 学 生感受到几何画板的强大作用和魅力,提升他们对几何画板的兴趣11.改变n 值,就可以让勾股树变得茂密啦！images/BZ_6_1205_2389_1526_2635.png三、活动一:探 究绝对值的和的最小值模型制作(1)选择“绘图/定义坐标系”,然后选择“绘图/隐藏网格”,在x 轴上任取两点A,B,选中点A 和点B,选择“度量/横坐标”.(2)在x 轴上任取一点P,度量点P 的横坐标,选择“数据/计算”,在弹出的计算窗口单击“函数”按钮,选择abs,然后单击xp,单击“—”,单击xA；再单击“+”和选择abs,然后单击xp,单击“—”,单击xB,就可以输入:|xp-xA|+|xp-xB|了.带领学生一起制作“模型”.根据老师讲解,小组合作完成“模型制作”.制作模型,为探究问题做准备.

(3)拖动点P,观察|xp-xA|+|xp-xB|的值的变化.(4)在x 轴上再取点C(在B 的右侧),度量点C 的横坐标,计算|xp-xA|+|xp-xB|+|xp-xC|;教师带领学生进行数学问题的探究.学生在老师的引导下探究数学问题.(5)拖动点P,观察|xp-xA|+|xp-xB|+|xp-xC| 的值的变化.学生真正利用几何画板探究数学问题,感受探究的乐趣和几何画板的作用.(6) 观察操作发现结论.模型探索 类似的,在x 轴上多取一些点进行探究,试试能否找到一般的规律.教师引导学生在刚才的基础上进行自主探究.学生在老师的帮助下,小组合作进行数学问题的的进一步探究.探究结论 若a1≤ a2≤ a3≤ ...≤ an-1≤ an,对于|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+...+|x-an-1|+|x-an|(1)当n 为奇数时,则当x=a n+1让学生自主探究并尝试提出一般性结论.2 时,原式有最小值；(2)当n 为偶数时,则当a n教师提问:你 能发现一般性的结论吗?2≤x ≤a n 2+1 时,原式有最小值；学生小组讨论并代表回答.学生小组合作解决问题.四、活动二:等腰三角形底边上的动点探究模型制作(1)打开自定义工具/三角形/等腰三角形,画出一个等腰三角形ABC.(2) 在线段BC 上取一点D；(3) 选定点D 和线段AC,点击“构造/垂线”,单击箭头点击垂足得到点E,单击笔形工具,将鼠标点垂足E,向内拖动鼠标,松开鼠标,就出现了直角标记.(4) 同样方法作出DF ⊥AB.(5) 选定DE,DF,选择“度量/长度”,度量出DE,DF 的长度；选择“数据/计算”,在计算窗口中一次单击DE,DF 的长度值,得到DE+DF 的数值;(6) 得到模型,如图10.带领学生一起制作“模型”.根据老师讲解,小组合作完成“模型制作”.制作模型,为探究问题做准备模型探索(1)如图10,若点D 在等腰三角形ABC 底边上,移动点D,观察“DE+DF”的数值变化情况,有什么结论？为什么？(2)如图11,若点D 在等腰三角形ABC 底边所在直线上任意一点,又有什么结论？为什么？(3)如图12,若点P 是等边三角形ABC 内部的任意一点,点P 到三边的距离分别是PD,PE,PF,则PD+PE+PF 是否是一个定值？为什么？(4)如图13,若点P 是等边三角形ABC外部的一点,点P 到三边的距离分别是PD,PE,PF,则PD+PE+PF 是否还是一个定值？如果不是,那么PD,PE,PF的值之间有没有什么关系？(温馨提示:需要分类讨论)探究结论(1)若点D 在等腰三角形ABC 底边上,则DE+DF 等于一腰上的高；(2) 若点P 是等边三角形ABC 内部的任意一点,PD+PE+PF 等于一边上的高；images/BZ_7_1298_2036_1479_2323.png图10images/BZ_7_1245_2460_1532_2719.png教师带领学生进行数学问题的探究.学生在老师的引导下探究数学问题.图11继续让学生提出问题并探究问题,小组合作解决问题.images/BZ_7_1245_2855_1534_3129.png图12

探究方向若点D 在等腰三角形ABC 底边所在直线上任意一点或者若点P 是等边三角形ABC外部的一点,关键在于寻找三角形面积之间的数量关系.images/BZ_8_1205_411_1526_642.png图13教师讲解其中2 个问题的结论；给 学生提出2个探究方向.学生在老师指导下小组合作完成前面2个问题的.让学生自己探索数学问题并发现结论.1.当x 满足什么条件时,下列各式有最小值.(1)|x-0.3|+|x-2|+|x+1|+images/BZ_8_967_820_978_854.pngimages/BZ_8_967_840_978_874.pngimages/BZ_8_967_860_978_894.pngimages/BZ_8_967_881_978_914.pngx+5 2images/BZ_8_1066_820_1078_854.pngimages/BZ_8_1066_840_1078_874.pngimages/BZ_8_1066_860_1078_894.pngimages/BZ_8_1066_881_1078_914.png(2)|x-0.3|+|x-2|+|x+1|+images/BZ_8_967_925_978_959.pngimages/BZ_8_967_945_978_979.pngimages/BZ_8_967_966_978_999.pngimages/BZ_8_967_986_978_1020.pngx+5 2images/BZ_8_1066_925_1078_959.pngimages/BZ_8_1066_945_1078_979.pngimages/BZ_8_1066_966_1078_999.pngimages/BZ_8_1066_986_1078_1020.png+images/BZ_8_1120_925_1132_959.pngimages/BZ_8_1120_945_1132_979.pngimages/BZ_8_1120_966_1132_999.pngimages/BZ_8_1120_986_1132_1020.pngx-31 2images/BZ_8_1238_925_1249_959.pngimages/BZ_8_1238_945_1249_979.pngimages/BZ_8_1238_966_1249_999.pngimages/BZ_8_1238_986_1249_1020.png2.当|x-2|+|x+1|=7 时,x=五、课后作业3.若点P 是等边三角形ABC 外部的一点,点P 到三边的距离分别是PD,PE,PF,请你探究PD,PE,PF 的值之间的数量关系？(第3 题作业,请将学习成果和感想制作一个数学小报(要求:A4 大小,横向排版,图文并茂,打印或手绘均可),并将画板文件压缩打包,文件名为“班级+姓名”,上传QQ 群互相学习交流或者发给老师.)学生在课后继续进行探究数学问题的活动,感受探究的乐趣,发展学生的思维和合作交流能力.

板书设计(此略)

2 教学反思

(1)“画板探数——利用几何画板探究数学问题”这一节课没有现成的教材,需要老师根据学生的实际设计上课内容,需要教师深入研究几何画板软件；课堂是开放型的,比较灵活,需要老师较强的专业功底和课堂驾驭能力.

(2)“几何画板”为学生提供了探究数学规律的工具和平台,这点在这一节课很好地体现；学生不仅解决问题还可以学会研究问题的方法.

(3)整节课几个环节比较流畅,学生兴趣比较浓厚,与传统的课堂相比,学生可以动手操作,并可以“眼见为实”,更可以进行深度思考,感受到思考的乐趣,给学生耳目一新的感觉.

(4)本节课将数学探究、数学实验与数学建模较好地结合在一起,并提供了2 个拓展性的课后思考问题,更增强了学生利用几何画板探究数学问题的意识.

(5)学生在制作几何模型的同时可能遇到不同的困难,需要分组的时候既要考虑数学强弱的搭配也要考虑电脑操作好差的组合.

(6)课后探究性问题应该及时跟踪并制成海报进行表扬,提高学生利用几何画板探究数学问题的兴趣.