从情境中来,到问题中去,然后得之——“向量的概念及表示”教学实录

江苏省常州市第一中学(213003) 顾秋娜

1 教材分析

向量这一概念是从物理学和工程学中抽象而来,反之向量的理论和方法又成为解决物理学和工程学的重要工具,向量可以把空间图形的性质转化为向量的运算,能较容易地研究空间的直线和平面问题.

2 学情分析

学生在物理学中早就接触到了向量,只是在物理学中它叫“矢量”,例如速度、加速度、位移和力等等,苏教版教材利用位移这一问题情境引发学生的探究兴趣,从学生熟悉的航行的场景出发,抓住学生的最近发展区,展开向量概念的教学.

3 教学过程

3.1 创设情境,引入课题

投影展示

情境1:丁俊晖,是我国斯诺克运动的里程碑人物,是他让我们知道,黄皮肤也是可以拿斯诺克冠军的,这项艺术般的体育项目,不仅仅是欧洲人的天下,亚洲人也是可以的,而且还是夺得头牌！

情境2:警察以每秒7 米的速度去抓以每秒6 米的速度逃跑的小偷,能抓住小偷吗?

学生活动

多位学生参与台球游戏(多媒体演示课件),有的学生一个都打不进,有的学生连续打进了好几个.

问题1:打台球时,要把球打进洞里需要注意什么?

问题2:警察能追上小偷必须满足几个要求?

师:刚刚参与台球游戏的甲同学打得不错,你说说你打球的技巧呢?

生甲:游戏界面上可以显示你打球时的力的大小和方向,当选定打哪个球后,就要确定好所需的力的大小和方向,如果合适就可以一击即中啦！

师:乙同学刚刚打了两回可是都没打进,你觉得你失误在哪里呢?

生乙:我第一次发球的时候只关注了方向,忽视了力的大小,结果球离洞口还有一点距离就停下来了,于是第二次我注意力的大小,可是方向没对准.

师:听了两位同学的分析,发现大家其实都摸到的了这个游戏的制胜点,只是操练的不够而已哈.

师:那另一个问题,认为警察能追上小偷的同学举手！

(没有一个同学举手)

师:所有同学都觉得追不上吗?

生众:不是一定追不上,是不一定能追上！因为速度的方向不知道！

师:太棒了！这两个情境分别涉及了两个量,一个是力一个是速度,它们有什么共同点?

生众:都是既有大小又有方向的量.

师:非常好！现实生活中有些量在取定单位后只用一个实数就能表示,但是有些量除了数值外还要加上方向才能表示,我们把这些量叫做向量.(板书课题)

设计意图苏霍姆林斯基说:“如果教师不想方设法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态,就急于传授知识,那么这种知识只能让人产生冷漠的态度.”因此教师通过创设台球明星丁俊晖的情境让学生产生浓浓的爱国情怀,并猜测与本节课有何关系,随后的台球游戏让学生纷纷主动参与进课堂,激发学生的兴趣,并在游戏体验中认识到这种既有大小又有方向的量.再创设“警察抓小偷”的情境,让学生下意识的开始利用自己刚得的认识来进行理解和解释,使学生享受自主认知的快感,对所要学习的内容产生浓厚的兴趣.

3.2 问题探究,深化理解

(1)给出向量的概念:既有大小又有方向的量.

(2)想一想:(投影上逐个显示出下面的问题,一边讨论一边交流)

问1:你还能再举一些向量吗?

问2:为了突出“方向”这一特征,可以用什么表示向量?

问3:什么是有向线段?

问4:向量和有向线段是同一个概念吗?

问5:如何用符号表示向量的长度?

问6:如果模为0,请你给这个向量起个名字?模为1 呢?

问7:零向量能不能写成0?为什么?

问8:零向量的方向呢?

(学生时而思考,时而互相讨论,大概持续5 分钟……)

生1:物理学中有很多,例如加速度,位移.

师:很好,所以向量不是数学独享的,数学并不是封闭在自我的世界的一门学科,学好它可以为很多其他的应用类学科服务！

师:物理中是怎么表示向量的呢?能不能为数学所用呢?

生2:用有向线段！就是一个带箭头的线段,这样就能同时体现向量的大小和方向两大特征！物理中力的合成就是用有向线段画的.

师:非常好,已经学会融会贯通的学习了！数学中也可以用有向线段来表示向量！那有向线段是不是就是向量呢?

(学生突然寂静无声,显然这个问题他们没有能够讨论出结果)

老师在黑板上画了两条有向线段-→AB和--→CD

师:大家觉得它们是同一个向量吗?是同一条有向线段吗?

生3:我觉得它们是同一个向量,因为它们的大小和方向都一样,我猜它们不是同一个有向线段,原因还没想到.

师:感觉不错啊！有向线段只是一个图像,它除了有大小和方向还和它的……位置有关?

生众:起点的位置！

师:非常好,所以它并不等价于向量,只是用来表示向量的一种方法而已.

(同学们纷纷点头,引起学生共鸣)

后面的几个问题学生经过讨论都回答的比较顺利.

设计意图通过问题串的形式引起学生思考,在学生独立思考的前提下生成合作探究,在探究中形成直观想象,让学生沉浸其中,激发寻找问题答案的兴趣,然后即便考虑得还不够严谨,也能敢于陈述自己的见解,加深对概念的理解,课堂形式活跃,提高学生数学学习的主动性.

(3)画一画:

平面直角坐标系内,所有起点在原点的单位向量,它们终点的轨迹是什么图形?

(一位学生用几何画板做图,探求轨迹)

生:以原点为圆心的单位圆.(如图1)

设计意图数学核心素养中的直观想象是借助几何直观与空间想象感知事物的形态和变化,利用几何图形理解和解决数学问题的过程.通过作图,让学生熟悉用有向线段表示向量的方法,并且在作图中进一步直观的来认识向量的大小和方向.

图1

3.3 再造情境,巩固拓展

情境3:(几何画板动态演示)

图2

海外网12月14日电:国家海事局在官方网站发布航行警告,12月14日16时至12月18日16 时,在旅顺海猫岛附近将进行军演,禁止驶入.现有四艘军舰收到向正东方向行驶100 海里的命令,其中两艘执行正确,另外两艘收错了指令,一艘超正西方向行驶了100 海里,一艘朝正东方向行驶了150 海里,如图2.

问题:若将四艘军舰航行的位移记作向量-→AB,--→CD,--→FE,--→GH,这四个向量的大小和方向具有什么关系?我们可以如何来命名具有这些特殊的关系的向量呢?

(众生又开始热烈讨论,随后师生一起归纳出了相等向量、相反向量和共线向量的概念)

生:我有个疑问,零向量和其他向量是什么关系呢?

师:这个问题问得好,零向量是个挺特殊的向量,它大小为0 方向为任意方向,和其他向量的关系如何来界定呢?

生:如果可以自成一派,那就啥关系都没有,如果一定要给关系,那就和所有向量都共线！

师:有见地！这可谓是一个仁者见仁的问题,但是在后续的运用中发现后者更为恰当,所以我们就规定零向量和任何向量共线啦.

设计意图苏霍姆林斯基说过:“学生要想巩固地掌握数学,就必须用内心创造与体验的方法来学习数学.”因此,教师再次创设情境,使学生在不断的体验中探求知识、发展能力.利用问题的形式给学生独立思考的时间和空间,让学生敢说、敢做、敢于发表见解,最大程度地让学生在体验中学习,只有这样学生才能真正体会和感受到知识的生长过程与创作,体验其中蕴含的知识从而加深对数学的理解.

3.4 典例分析,升华概念

例1概念辨析:判断下列说法的正误.

①两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合.

②任何一个向量和它的相反向量都不相等.

③若a和b都是单位向量,则a=b.

④对于向量a,b,若a=b,则a|=|b|.

⑤若a=a,b=c,则a=c.

⑥若a//a,b//c,则a//c.

⑦若|a|＞|b|,则a ＞b.

设计意图概念辨析题可以帮助学生在辨析的过程中产生认知的冲突,老师和学生一起探究总结,在运用中加深对概念的理解并进行延伸,特别是对零向量的认识,利用平行公理让学生加深认识零向量与任何向量共线这一规定,既做了区分又得以加强概念.

例2如图3(左),已知O为正六边形ABCDEF的中心,在图中所标出的向量中:

(1)试写出与相等的向量;

(2)确定与共线的向量;

(3)确定与模相等的向量.

变:如图3(右),题目改成正六边形六个顶点与O 均连线构成向量,以及相邻顶点连线也构成向量,在这些向量中,回答第(1)(2)小问.

图3 (左)

图3 (右)

设计意图概念抽象而解题具体,所有的概念教学都需要通过解题来进行升华,而解题的最终目的也是更深入的理解概念,它们联系紧密且互相成就,学生在解题过程中对概念再回顾再记忆再理解,然后形成自我的认知,促进数学思维的形成和数学素养的提高.

3.5 情境再现,承上启下

师:本节课我们一起认识了一个新的量—向量,在一连串的问题探究下一步步地深入了解它的相关概念和相互之间的关系,对于这个既有大小又有方向的量,大家觉得我们以后经常会用什么方法研究它?

生:数形结合！

师:很好,向量既有数的大小,又有形的特征,所以向量问题是一种集数学运算和几何直观于一体的研究对象,数形结合有助于更直观的来研究和记忆.

图4

回到开始的情境:警察在小偷南偏东30°距离小偷100 米的位置B,以每秒7 米的速度去抓位于O处并以每秒6 米的速度往正西方向逃跑的小偷,(1)警察能抓住小偷吗? (2)将警察到小偷的位移记作,追到时将小偷的位移记作,警察的位移记作,这三个向量之间有什么关系?

设计意图“数学情境重在营造学习氛围,面向课堂,为数学知识服务,它主要关注设疑激趣,让学生更快更好的进入学习状态,但在学习了知识后,情境就被甩掉了,大部分情境都是用来引入新课,而引入新课显然不只有这一种方式”,如果数学情境很符合人性,有利于数学知识的建构,那适当的再现,也更易于学生数学素养的生成.让学生在熟悉的情境中巩固所学并展开联想,为下节课向量的运算埋下伏笔.