高中数学“概率与统计”教学优化的途径

周颖

【摘 要】本文通过基础知识讲解、优选经典例题、创设应用机会，加强应用训练、鼓励应用总结等方式探讨如何优化高中数学“概率与统计”教学方法，以提高学生对概率统计的应用意识与应用能力，为提高学生解题能力与数学成绩奠定坚实基础。

【关键词】高中数学 概率统计 教学优化

【中图分类号】G  【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2020）34-0144-02

统计学注重的是数据的收集、整理与分析，概率论是研究随机现象的科学，它们都与我们的日常生活紧密相连。概率与统计是高中数学的重要组成部分，也是最能反映数学应用性的课程之一。它包含的知识较多，如随机事件的概率、传统概率、抽样方法等，对学生的记忆与理解能力要求较高。为使学生扎实掌握概率与统计的知识，并灵活用于解答相关数学问题，笔者在授课的过程中进行了多种优化尝试。

一、注重基础讲解，夯实应用基础

为使学生牢固掌握概率统计知识，教师在授课中应做好基础知识讲解，使学生准确记忆相关概念的同时，理清知识点之间的内在关联。

一方面，概率与统计有很多相似的知识点，如简单随机抽样、分层抽样、系统抽样，教师在授课中，既要为学生认真讲解对应的概念，又要通过列图表的方式为学生讲解三种抽样方法的区别与联系，使学生能够根据不同的情况进行准确的判断，运用对应的抽样方法进行解答。另一方面，教师要为学生认真讲解不同事件概率的计算方法，传授相关的计算技巧，如互斥事件，当从正面解答计算较為繁琐时，可考虑从其反面入手，提高解题效率，使学生牢固掌握概率与统计的相关知识，为更好的应用奠定坚实基础。

为使学生掌握互斥事件的计算技巧，笔者为学生设计如下问题：

甲、乙两人玩猜字游戏，甲先任意想一数字计作 a，乙猜测甲想到的数字计作 b。假设 a，b∈（1，2，3），若|a-b|≤1 则乙获胜。请问乙在游戏的过程中获胜的概率为（ ）。

A.           B.            C.             D.

该题目难度并不大，如应用常规思路解答，需要分别列出 a，b 数字，情况较多，不少学生容易考虑不全。如果从反面进行考虑，运用互斥事件概率计算方法，就能大大提高解题效率。由已知条件可知，甲猜想的数字有 3 种，乙猜想的数字也有 3 种，因此基本事件共有 3×3=9 种。计乙获胜的事件为 A，乙失败的事件为 B。不难求出 |a-b|>1 时仅有两种可能，则 P（B）= ，则 P（A）=1-P（B）=1-=。

通过对这道题的讲解，不仅加深学生对互斥事件的理解，而且还掌握了概率的技巧，为其正确应用概率知识解答数学问题，打下坚实的基础。

二、优选经典例题，提高应用意识

高中数学概率统计试题类型复杂多样，为提高学生的应用意识，教师应精选经典例题为学生进行讲解。这类题目的挑选标准可以是教师结合以往授课经验，掌握学生不易理解的知识点。

例如，笔者为避免学生因概念理解不清，应用概率统计解题出错，为学生讲解以下例题：

投掷一枚均匀的骰子，将“朝上一面为奇数”计作事件 A。将“朝上一面的点数不超过 3”计作事件 B。求 P（A+B）。

该题虽然难度不大，但部分学生对事件的性质判断错误，错误地认为 P（A+B）=P（A）+P（B），得出 P（A+B）=+=1 的错误结果。还有部分学生认为事件 A 朝上的点数为 1，3，5;事件 B 朝上的点数为 1，2，3。两个事件的重复点数为 1，3，得出 P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A·B）=+-×=。虽然这一解题思路是正确的，但认为 P（A·B）= 是不对的。事实上因为重复的点数为 1，3，因此 P（A·B）=。则正确的解题过程为 P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A·B）=+-=。

三、创设问题情境，提供应用机会

高中数学教学中，还应注重创设相关的问题情境，给学生提供应用概率与统计知识的机会，使其通过解答试题，提高概率与统计知识应用的灵活性，并能认识与及时弥补知识漏洞。一方面，注重概率与统计问题的积累，结合教学进度，在课堂上将相关的问题情境展示给学生，要求学生认真审题，充分理解题意，冷静分析，根据自己的理解进行作答;另一方面，公布正确答案后，给学生预留一定的时间，要求学生认真对照自己的解题过程，并结合自身实际积极回归课本，有针对性复习相关知识点，进一步深化对概率与统计知识的理解，时刻提醒自己解答类似题目时应注意的问题与细节，避免犯下类似错误。

讲解系统抽样知识时，为保证学生能够正确地应用所学知识进行解题，课堂上笔者将以下问题情景展示给学生，要求学生作答：

某一大型运动活动，准备从 2009 名报名人员中抽取 50 名作为志愿者。若采用下面方法选取：应用简单随机抽样，从报名者中剔除 9 人 ;而后应用系统抽样方法，从剩余的人员中抽取 50 人，则在所有报名者中，每人入选的机会（ ）。

A.均相等，为         B.不全相等

C.均不相等                    D.均相等，为

该题目具有一定的迷惑性，很多学生错选为 B 和 D 两项。在解答该题时，要求学生认真回顾系统抽样知识，进行冷静的分析，准确的判断。事实上，剔除 9 人时每个人被剔除的机会是相等的，因此每个人被抽到需要经过 2 个环节，第 1 个环节并保证不被剔除。第 2 个环节是能够被选中。显然两个环节是相互独立的，因此每个人入选的机会是相等的，为 ，正确选项为 A。结合该问题情境，要求学生回顾教材中有关系统抽样的知识点，进一步加深学生对系统抽样的认识，为其以后应用系统抽样的知识带来良好启发。

四、加强应用训练，积累应用经验

为使学生积累更多概率与统计的应用经验，掌握相关的应用技巧，真正做到以不变应万变，教师应结合教学实际，积极组织学生开展相关的训练活动。为保证获得良好的训练效果，教师一方面要做好近年来高考试卷的分析，把握概率与统计考查的知识点，并对试题分类，制定详细的训练计划，按照试题类型逐一进行训练。通过训练使学生掌握高考中概率与统计的常考题型，并通过认真解答，积累概率与统计的应用经验。另一方面，为提高训练效果，教师可要求学生建立专门的错题本，专门摘抄在训练中解答出错的试题。在错题本中不仅要详细地写出正确的解答过程，更要详细地记录自己的解题心得、解题思路与解题技巧等，尤其通过定期进行错题重做，切实掌握相关的解题技巧。

通过对高考试题分析不难发现，直方图、茎叶图、离散型随机变量及其分布列等是常考点，因此，为使学生积累相关的应用经验，笔者在授课中为学生创设以下问题，对学生进行训练：

某高三毕业班甲、乙两名同学在连续 8 次的数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如下图所示：

（1）请结合平均数以及方差知识，分析哪位同学解题较为稳定？

（2）根据以上数据，将失分超过 15 分的频率作为概率。周练中两名学生失分互不影响。则在以后的两次周练中，预测其失分均超过 15 分的次数 X 的分布列与均值。

该题目立足茎叶图考查学生统计知识应用情况。解题的关键在于能够读懂茎叶图。对于问题（1），由茎叶图不难看出，甲同学的失分数分别为 7，9，11，13，13，16，23，28;乙同学的失分数分别为 7，8，10，15，17，19，21，23。不难求出两位同学的平均分数均为 15。分别代入方差计算公式可求得 S甲2=44.75，S乙2=32.25。因为 S甲2>S乙2，因此，乙同学解题相对稳定。对于问题（2），由问题（1）可知，甲乙两位同学失分超过 15 的概率分別为 P1=，P2=，两人失分数均超过 15 的概率为 P1P2=。则 X 的所有可能取值为 0，1，2，X～B（2，），P（x～k）=

C2k（）k（）2-k，k=0，1，2，则 X 的分布列为：

X 0 1 2

P

则 X 的均值 E（X）=×2=。通过上述问题的训练，学生不仅锻炼了应用统计知识分析数学问题的能力，也积累了相关的应用经验。

五、鼓励应用总结，提升应用能力

为更好地提高学生应用概率与统计解题的能力，教师在教学中应鼓励学生做好总结，一方面，通过总结学生能认识到相关试题常设置的“陷阱”，在以后的解题中能够绕开这些“陷阱”。另一方面，引导学生总结不同题型高效的解题方法，还能给以后的解题带来良好指引。学生养成经常总结的良好习惯，不仅有利于构建系统的知识网络，在解题中做好题型以及解题方法的总结，遇到熟悉的题目能够快速找到正确的解题思路。在课堂上教师要给学生提供总结、交流的机会，通过交流使学生纠正对概率与统计认识的误区。同时，鼓励学生积极与其他同学分享概率与统计应用技巧，并抱着虚心学习的态度，注重借鉴他人的解题经验，不断提升概率统计知识应用能力。

笔者在讲解统计知识时，发现学生在解答应以下试题时出错率较高：

小明准备利用周末去当地的景点游览，其去 A，B，C 三个景点的概率分别为 0.4，0.5，0.6。去哪个景点游览互不影响。用 =3 表示游览的和未游览景点数之差的绝对值。（1）求  的分布与数学期望。（2）若函数 f（x）=x2-3x+1 在[2，+∞）上单调递增为事件 A，求 A 的概率。

授课中要给学生留下一定的时间，要求学生总结自己的错误，并相互交流讨论，分析错误原因。经过分析与讨论，学生得出 =3 表示的事件为两个互斥事件，但部分学生错误地理解为一个事件。学生找到错误之后立即改正，重新作答，最终大多数学生都得出了正确结果。通过鼓励学生总结交流，使学生认识到应用概率与统计解题时，应明确随机变量的取值对应哪些事件，避免张冠李戴，才能更好地提高应用能力。

在“概率与统计”的教学中不仅要传授概率统计知识，更要注重概率统计知识应用讲解，因此应做好教学经验总结，寻找高效的应用教学策略，使学生扎实掌握概率统计知识的同时，不断提高应用水平与应用能力。

【参考文献】

[1]王志卫.新课标下的高中数学概率统计教学方法研究[J].数理化学习（教研版），2018（8）.

[2]陆秀良.高中数学概率统计在生活中的应用[J].数理化解题研究，2019（9）.

（责编 马群耀）