数学现象教学视野下的起始课

【摘要】现象教学强调“回到问题本身”，它的起始课主张从真实的现象出发，通过观察和思考，形成学生自己的表达（知识）。对于概念和结构，应当着眼于自然生成。现象教学不排斥讲授法，但只能讲授学生无法生成的内容；现象教学也不排斥情境教学，真实的情境就是现象。

【关键词】起始课；现象教学；弧度制

【中图分类号】G633.6【文献标志码】A【文章编号】1005-6009（2020）11-0043-05

【作者简介】孙四周，江苏省苏州市吴江盛泽中学（江苏苏州，215228）教师，正高级教师，江苏省特级教师。

起始课除了引入课题、介绍核心概念以外，往往会呈现对课题的整体看法以及研究的方法和路径，给后面的课程定下基调。因此起始课素为教材编写者所看重，也往往是教师着力最深的地方。

课题怎么引入？核心概念从哪里来？这就牵涉知识观、学生观和教学观了。现象教学主张直面真实的世界，通过对现象的观察、思考而形成心理表征和符号表征，即形成属于自己的语言表达，这就从根本上杜绝了简单灌输。下面就以“弧度制”教学为例，谈一谈现象教学视角下的起始课教学。

一、问题本身

“回到问题本身”是现象教学的主张，研究什么就直接面对它。当然这要求教师对课程有个明确的定位，即“它究竟是什么”。

用现象教学的观点看，这节课的“问题本身”不是弧度制，而是“角的度量”，弧度制只是“度量”方式之一。要让学生面对一个几何实体———角，而不是面对一个知识点———弧度制。如此一来，学生要做的事情就很多了，比如：明显可感觉到角是有大小，但什么是“角的大小”，怎樣进行角的度量、有哪些可能的度量方式、为什么要引进弧度制，以及什么是弧度制、它从哪里来又到哪里去……说穿了，“角”是一种现象，“角的度量”是人类活动，“弧度制”是人类活动的成果：用“1弧度”作为单位来度量，比较简单，更容易被应用，因此就更为重要，也就被当作了一个重要范式，并被上升为科学或文化，如是而已。

笔者的教学设计如下。

师：请同学们拿出纸和笔，一起画三角形。

师：先随便画一个三角形。接着，画一个小一点的三角形、再画一个更小的、更小的、小到看不见……

回到第一个三角形，现在来画一个大一点的、再画一个更大的、更大的、大到超出纸面，甚至可以超出这个宇宙……

这些三角形小到看不见，大到超出宇宙，它们的内角和———

生：都等于180毅。

师：大大小小的三角形，内角和都一样，为什么？

生：因为角的大小与边的长短无关，角的边是射线。

师：所以，我们度量角并不是度量角两边的长度。那是度量什么的？

生1：度量角对边的长度。

师：那么是不是对边越长，角就越大？

生2：不是。度量角所对的弧的长度。

师：是不是所对的弧越长，角就越大？

生3：还不是。是度量角所对弧的度数。

师：什么叫弧的度数？

生3：就是看那段弧含有多少度。

师：那么，1毅的弧是怎么定义的？

生：就是一个圆周的360分之一。

师：很好。我们回到了角度制的定义，就把问题看清楚了。“1毅角”是指圆周360分之一的弧所对的圆心角。那么，这里定义的1毅角与圆的半径长短有关系吗？

生：没有，都是把圆周360等分，每个圆的每一个份所对的圆心角都相等，都是1毅角。

师：那么，给你一个圆，你会把它360等分吗？

生：不会。

师：如此说来，要得到1毅的角并不容易。

生：用量角器。

师：量角器也是人造出来的，又该怎样制作量角器上的刻度线呢？实际上，人类需要测量的东西很多，最容易测量的是什么呢？

生：是长度。

师：那面积呢？体积呢？

生：面积、体积等都不是直接测量的，是通过长度计算出来的。

师：是的。就算是温度、重量、电流强度等，这些与长度无关的量，也都转化为对长度的测量，比如温度计、杆秤、电流表等。就是对时间的测量，也是转化为长度的。这些都不奇怪，人的眼睛能够看到的就是长度。那么，角的测量是不是也这样呢？

师：现在，你自己可以画一个圆周……但是你手里并没有它的360分之一，你有什么呢？

生：有半径。

师：如果我们用半径长来量出一段圆弧，再画出这段圆弧所对的圆心角，是不是可以确定出一个角来？

生（疑惑）：什么叫“确定出一个角”？

师：在不同半径的圆中，长度等于半径长的弧所对的圆心角是否相等呢？

我们来画几个看看（图1）。

操作：拿出几段长度不同的漆包线（软硬适度，便于弯折的那种，颜色要鲜艳一点）。用这些长度做半径画同心圆，再把漆包线弯成弧形，截取一段弧，画出所对的圆心角。

由此可以看到，在不同的圆里，弧长等于半径长的弧所对的圆心角大小相等。这个角很特别，我们就称它是1弧度的角，记为1rad。教师写出完整定义（此处略）。

师：定义1rad的角，是想干什么？

生：可以用这个角去度量其他角。

师：你能画出2rad的角吗？

生：两个半径长的弧所对的圆心角，用半径长的漆包线截取两次即可。

师：3rad的角呢？

生：截3次。

上述的教学过程，不是告诉学生什么样的角是1rad，而是从“怎样度量角”开始，把这个当作问题的起源，也是活动的出发点。很自然地发现可以用“手里已有”的半径作单位，于是引进了一种度量形式。或许有人会说，如果用半径当弦，不是也可以定义一个圆心角（这个角是60毅）吗？问题是，如果用“等于半径的弦所对的圆心角当作1个单位”，长度等于2个径的弦所对的圆心角就不是2单位，这不符合我们的几何直观。当然，如果学生没有提出这样的问题，教师不必要主动涉及（为了保持生成的流畅性）。类似的，大圆和小圆中，长度等于半径的弧所对的圆心角相等，这一点也不用刻意去证明。

二、联系与结构

任何一个独立的概念都是没有价值的，也是不容易记住的。在新的概念形成后，就要和原先的认知体系建立联系，向着结构化方向发展。

师：我们来画一个稍微大一点的角，6弧度的。

说明：上面已经画过2弧度、3弧度的角，可是在画6弧度的角时学生犹豫了起来。原因是：“6弧度的角”有没有超过1周角？这不是能用眼睛看出来的，必须经过精细的计算。

但是，新的疑惑又出现了，那就是“到底算多少弧度？”

师：2仔到底算多少？可以彼此讨论一下。

这里要注意的是，学生眼里的数学和教师是不一样的，特别是初学者。上面的活动是学生自己发现2仔抑6.28，虽然所花时间比较多，但这是体验的过程，有其价值。能夠生成的知识就不能不经讨论或思考而直接告诉学生，这是现象教学的“生成性原则”。

师：仔是个实数值，大约是3.14。如此2仔= 6.28>6，于是知道1周角大于6弧度。

师：再请问直角是多少弧度？

师：用什么办法来度量它？

生：应该用弧长量出一半径，可是又没有弧长没有半径。

师：确实，给你一个直角，它没有自带圆周。有办法吗？

生：作一个圆周。

上面做了两个方面的事情，一是给定弧度数，画角；二是给定角，“度量”出它的弧度数。延续了“角的度量”的初衷，并把数学定义落实到具体情境中。在“求直角的弧度数”的时候学生还需要人为添加一个圆，这是对概念的应用，也加深了他们对弧度制的理解。

在这个过程中出现了“360毅=2仔弧度”，自然导出弧度制和角度制的换算。在应用中理解，在应用中感悟出新的知识，是很好的策略。

三、背景与展望

一般来讲，起始课会介绍知识的产生背景、逻辑演进并对应用前景作出展望，这其实是哲学基本问题“我是谁、我从哪里来、我到哪里去”的具体化。现象教学的起始课同样要关注这三个问题。介绍历史事实，容易找到知识的固着点；理解逻辑顺序，容易建立知识结构；展望应用前景，可以提高学习兴趣、增强学习动机。

笔者在这一部分的教学设计如下：

师：角的弧度数上限可以到多少？下限可以到多少？中间可以取哪些值？

生：正的可到无穷大，负的可到无穷大，中间可以取任意实数。

接下来是历史介绍，从度分秒制、弧度制、密位制，谈角的度量演化史，让学生了解人类的探索历程，在具体教学时可详可略。

在谈背景与展望时，应当注意以下几点：

（1）注重人类思想进步的脉络，略去琐碎的细节，对细节的过分关注不利于对事物的整体理解。

（2）描述前景时应向学生介绍能听懂的，或者稍加解释就能听懂的部分，完全听不懂的则不介绍。比如在本节课上，就不适合介绍炮兵是怎样用“密位”瞄准目标的，尽管它很有趣。

（3）起始课上要不要介绍整个课程（一整章或一整节）的概念图？笔者认为没有必要，除非学生能懂。当然，概念图在总结课上是很有价值的。

四、结语

鉴于起始课为后续教学“定了调”，故尤其要“以学定教”。

教师对知识的了解肯定远远多于教材所给予的，因此要注意别把课堂变成知识的展示。弧度制这节课，笔者反复让学生画图，就是要让他们充分活动，以获得切身体验，体验过的才能被感悟。现象教学不排斥讲授法，但只能讲授学生无法生成的内容，比如学术名词、人为约定、专用符号等；现象教学也不排斥情境教学法，真实的情境就是现象。因此，现象教学可以吸收以前诸多教学法的优点，使得学生在真实的现象面前进行真实的思考、获得属于自己的实在的知识。

给予学生知识，他们能学会，路径是了解、理解、掌握、应用、综合、评价；给予学生现象，他们能用数学的眼光观察它、用数学的思维思考它、用数学的语言表达它。虽然最后都能得到知识，但后者才更直接指向核心素养。如果进行层次上的区分，则现象是形而下的，知识是形而上的。所以，现象教学与知识教学的区别，主要是观念上的而不是技术上的。现象教学着眼于人的发展，而不是让人去继承或记忆（知识）。

【参考文献】

[1]何睦，罗建宇.高中数学章节起始课的教学研究与案例设计[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2019.

[2]孙四周.现象教学[M].长春：吉林教育出版社，2019.

[3]水菊芳.从情境到现象：再进一步的数学教学[J].教育研究与评论：中学教育教学，2018（03）：10-14.

[4]孙四周.现象教学的内涵与价值[J].教育研究与评论：中学教育教学，2018（03）：5-9.

[5]李宏铭.数学现象教学的实施及评价概述[J].教育研究与评论：中学教育教学，2018（03）：15-19.