一道浙江数学高考题引发的探究与教学启示

浙江省海宁中学 (314408) 李安毓

2018年是浙江省新高考改革后文理合卷的第二年，从2004年开始浙江自主命题到现在已有15年历史，通过高考命题专家多年的经验积累，浙江高考数学已经形成了鲜明的“浙式”风格——起点低、入口宽、层次多、区分强.本文中，笔者就以2018年高考数学试题填空题压轴第17题为例，从解法探究到背景追溯，纵向联系往届同源试题，再进行一般化推广，最后总结教学启示，与广大教师朋友们交流切磋.

一、试题呈现

评注：本题为2018年浙江高考数学的填空压轴题第17题，属于一道经典的圆锥曲线压轴题，其特点为：椭圆与直线及平面向量的综合，直线过定点时求动点B的横坐标绝对值取最大值时参数m的值，有着较强的几何意味.本题的通性通法是圆锥曲线中的非对称结构韦达定理模型的应用，考生虽然下手容易，但运算量较大，容易求解失误.因此本题也是对学生坚忍不拔的意志力和良好心态的考查.

二、解法探究

美国数学家Paul Halmos曾说：“数学真正的组成部分应该是问题和解，问题才是数学的心脏”.对高三学生来说，各类考试题尤其是高考题无疑是最典型和熟悉的“问题”.如何提高学生的解题能力、提升学生的数学素养，永远是每位数学教师教学工作的第一要务.高考真题具有丰富的内涵，因此其解法也丰富多彩，从不同视角切入就会有不同的发现和惊喜，各种不同解法的背后无不闪耀着数学思想的光辉！教学实践表明，有效地落实“一题多解”是提升学生数学能力的重要途径，教师通过引导学生发散思维，思考与呈现不同解法的同时，充分暴露思维痕迹和过程，最终使学生解题能力得以拓展和提升！下面我们就来对本道高考题进行解法探究，从多角度切入达到殊途同归的目的.

1.韦达定理模型的视角(韦达定理，凸显通法)

图1

②当直线AB的斜率存在时，设AB方程为y=kx+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立方程组

综上所述，当m=5时，点B的横坐标的绝对值最大.

点评:解法1是本题的通性通法，也是学生比较容易想到和选用的方法.此法的特点是圆锥曲线中非对称结构应用韦达定理的模型，因此关键在于直线与曲线联立方程组，运用韦达定理和基本不等式求解m的值以及B点的横坐标|xB|的最大值，此法涉及的运算量较大，对考生的运算求解能力有较高要求,同时也是对学生心态和意志力的磨炼和考验.

2二次函数求最值的视角(巧妙消元，合理构造)

3.换元法的视角(三角换元，快速突破)

4.参数方程的视角(灵活设参，曲径通幽)

5斜率积关系式的视角(巧用“垂径”，简化运算)

图2

点评：解法5关键运用了椭圆中的“垂径定理”即斜率积关系式，巧妙设出弦AB中点N，再利用已知条件中的向量关系式表示出N点坐标，从而利用椭圆“垂径定理”代换出点B横坐标与斜率k的关系式，后续思路与解法1相似.该解法的亮点是巧妙运用了浙江高考常用结论——椭圆“垂径定理”的斜率积关系式轻松得出|xB|与斜率k的关系式，相比解法1中韦达定理大大减少了运算量，从而降低计算难度轻松求解，让人耳目一新.

6.仿射变换的视角(化椭为圆，别有洞天)

图3

点评:解法6打破常规，灵活运用“仿射变换”的思想，巧妙对椭圆实施伸缩变换化椭为圆，进而把直线与椭圆问题轻松转化为直线与圆的问题，进而利用圆的优美几何性质，使难题快速解决.椭圆化圆与常规方法相比，无论是思维难度还是运算难度都大大降低，可谓剑走偏锋，出其不意、事半功倍.但这种方法有点太超学生射程，一般无法达到此种水平.

三、寻根探源

对本题解法探究后，就结束了吗？数学教育家波利亚说：“没有任何一道数学题目是彻底完成了的，总还会有些事情可以做.”通过以上的多角度解法探究，下面笔者继续对该题的底蕴和背景进行挖掘，再把该问题从特殊到一般进行推广、拓展延伸揭示本质，彰显数学知识的融会贯通，达到提升能力、拓展应用的目的.

图4

本题是2011年浙江卷理科填空题第17题，无独有偶，时隔7年，同源试题再现.例1和例2两题的类型和命题手法有很多相似之处.其一，它们都处在填空题的最后一道“压轴题”位置上；其二，已知条件和类型都是“椭圆与向量综合”；其三，解题思路凸显了通性通法即解析几何的核心思想方法——坐标法，以及韦达定理模型的运用.唯一区别是两题的问法不一样，例1是最值问题，例2则是直线过定点问题.事实上例1是例2的一道变式题，“表象”与“本质”可谓是一脉相承.与此类似的同源试题还有：

四、拓展推广

数学问题中的一般化推广就是在一定范围内对数学概念与定理、性质与命题进行的拓展，使其在更广范围内或更高层次上继续成立.拓展推广是数学中一种非常重要的研究手段，数学知识的产生和发展离不开推广，从特殊到一般正是我们在课堂教学中探索数学问题的常用和重要方法.因此在解法探究和背景追溯后一个很自然的想法是引导学生思考以下问题：

推广1其实是推广2当λ=2的特殊化情形，其证明方法与推广2基本一致，限于篇幅不再累赘.

②若直线AB斜率存在，则设AB方程为y=kx+t，A(x1,y1)，B(x2,y2)，于是联立方程组

五、教学启示

1.注重对高考真题教学价值的挖掘

每年的高考试题都是命题专家智慧的结晶，高考试题作为测试学生的载体，除了选拔功能还具有良好的教学导向和教学价值.因此，在高三复习教学中，我们应该注重对高考真题教学价值的挖掘，可以把一些典型高考真题作为一个优秀素材搬到课堂教学中，让其变成教师复习知识、培养学生思维能力与提升数学素养的有力武器.教学实践表明对一些典型高考试题进行寻根探源、拓展推广等“二次开发”是使学生升华知识、提升能力素养的有效途径.

2.关注培养学生拓展探究的习惯和品质

罗增儒教授说：“一旦获解，就立即产生感情的满足，从而导致心理封闭，忽略解题后的再思考，恰好错过了提高的机会，无异于入宝山而空返”.解题本身只是表象，拓展提升才能体现命题本质，进而提高解题能力和复习效率.因此本文中，笔者对例1进行多角度解法探究后，并没有停滞在解法本身，而是进行了一系列寻根探源、拓展推广.在高三复习教学中，教师应努力启发学生对典型问题要以一种探究的眼光、拓展的态度对其加以推广延伸，进而培养学生拓展探究的习惯和品质，促进实现深度学习.

3.关注数学本质教学，为理解而教

从以上解法探究可以看出，作为一道高考填空题的压轴题，它所涉及的知识面是多元的，面对多元化的知识结构及其相互联系，光靠学生死记硬背显然是行不通的.这就要求我们一线数学教师在平时的数学教学中，要注重知识的生成过程，并始终围绕问题与知识的本质展开教学.浙江新高考试题以“双基”为载体，注重能力立意，考查思想方法.因此，新高考的号召启示和呼吁我们在高考复习中，少一点题海战术，多一点对数学本质的理解.

4.高三复习教学中加强数学思想的渗透

众所周知，在数学解题教学中“一题多解”可以很好地锻炼学生思维，使其更具发散性和灵活性，然而若只在课堂教学中一味单纯地进行解法的精彩“表演”，教师自己倒是很享受其过程，学生除了赞叹之外会将这些解法转瞬忘光，难以留下深刻而长久的理解和记忆.归根结底是我们往往煞费苦心地介绍解法，缺失对解题思想的提炼和升华，以至于把这些精彩技法变成了“五根之水”，有时方法越多容易陷入混乱反而是一种灾难，这是值得我们一线教师深思的问题.因此,探究解法的核心应是数学思想的提炼，只有坚持在数学课堂中有机地融入数学思想，学生的素养能力才能有效提高，数学思维才会走得更远！