单元教学视域下提升学生研究力的思考——以《函数的单调性与导数》为例

浙江省台州市黄岩中学 (318020) 黄仙萍

一、问题的提出

普通高中数学课程标准(2017版)课程目标之一为，要提升学生的创新意识；相应地，课程结构设计依据为依据数学学科特点，关注数学逻辑体系、内容主线、知识之间的联系.因此，我们应该加强整体性和联系性，即在单元教学视域下让学生体验数学发现和创造的历程，提高学生的理性思维和科学精神.在教学中，教师也逐渐意识到让学生经历再创造过程的重要性，尝试着让学生进行研究型学习提升研究力.然而，缺少单元教学视域的研究型教学，学生往往出现这个课时的内容掌握地很好，换到另外课时又不会研究了.学生数学迁移、研究能力弱，与研究过程的缺失或者研究型学法不当密不可分.

在《函数的单调性与导数》教学中，教师通常先简单介绍函数单调性与导数的关系，然后重点应用知识讲解函数单调性的求解.这样教学使学生容易存在以下问题：(1)为什么函数的单调性(定义)与导数存在关系；(2)在某个区间(a,b)内，为什么f′(x)>0是函数y=f(x)在这个区间内单调递增的充分不必要条件；为什么f′(x)≥0是函数y=f(x)在这个区间内单调递增的必要不充分条件；(3)讨论简单函数如二次函数的单调性也用导数的方法.学生知其然，不知其所以然，学到的知识是孤立的结论、是显性的，缺少理性、不深刻的.

二、单元教学视域与研究力

单元教学是用系统论的方法对教材中“具有某种内在关联性”的内容进行分析、重组、整合并形成相对完整的教学单元，在教学整体观的指导下将教学诸要素有序规划以优化教学效果的教学[1].

李昌官认为，研究力是指一个人所具有的研究能力与有效运用这种能力的个性品质.它既包括研究所需要的知识、经验、技能、策略、方法等智力因素，也包括支撑研究的情感、态度、愿望、决心、意志、毅力与价值观等非智力因素[2].本文的研究力与此观点相似，研究力不仅包括研究能力，还包括研究意识、研究眼光、研究欲望等.研究力是学生研究型学习的出发点，也是回归点.学生在进行研究型学习的过程中，通过自主性、独立探索和实践，能够主动提出新问题、新方法、新思路，获取活动经验，养成科学精神和科学态度，形成持续的数学学习力.

提升学生研究力定位于单元教学视域，有利于学生基于数学的整体性和内在的逻辑连贯性，明确要研究什么内容，为什么要研究该内容，研究的基本路径是什么，研究的基本方法是什么.

三、致力学生数学研究力发展的教学

1.创设情境，提出课题

问题1 请看选修2-2第一章的章头图，这是跳水运动员高台跳水的图片.已知运动员的跳水高度h与时间t的关系是h(t)=-4.9t2+6.5t+10.(1)请画出该函数的图象.(2)请你提出几个值得研究的问题，并尝试解决.

设计意图：提出问题是问题解决的起点，又是问题解决的终点.设置低起点的问题，激发学生积极参与进来的热情，让学生切身体会到研究并不是想象中的高大上.让学生在画图的过程中，经历符号语言、图形语言、文字语言互译的过程，为接下来的提出问题作下铺垫.提出问题比解决问题更重要，提出结构良好的问题对研究能力的培养尤为重要.在提问的过程，学生就会从整体上来考量这个背景，教师在单元教学的视域下适时甄别问题，和学生一起提出本节课要研究的问题.

(过了一分钟，教师投影一个学生的函数图象，并请说明如何画出.然后学生开火车式的轮流提出问题).

生3：没达到最高时的运动状态与达到最高点后的运动状态如何？高度随着时间的增大而增大，高度随着时间的增大而减小.

生4：还有没有其它简便的方法研究函数的单调性？

师：你是怎么想到这个问题的？

生4：前面同学研究了运动状态，我在想如果不是二次函数，是比较复杂的函数，如何研究单调性呢？

生5：速度多少？

师：瞬时速度还是平均速度啊？如何计算？

师：当Δt接近0时，平均速度发生什么变化？

生齐：平均速度就被认为瞬时速度了.

师：瞬时速度就是增量比值的极限值，这个其实就是什么？

生齐：导数的概念.

师：导数概念涉及到变化率.现在还留下第4位同学提到的想要得到其它简便的求单调性的方法.那么函数单调性与什么有关呢？有什么关系呢？

问题2 关于函数单调性，你掌握了哪些知识？

设计意图：教师在单元教学视域下激活联想，认识到在对已有的知识、方法回顾中认识到可从形和数，图象和定义去研究新问题，让学生认识到知识具有联系性和整体性.

生：求函数单调性的方法：定义法，图象法……关于函数单调递增，从图象上看，图象呈现上升趋势；从定义看函数值随着自变量的增大而增大.

追问：前面学习我们感受到“以直代曲”思想，并体会到它对研究问题所带来的方便性.那么你能用这种思想来看待图象的上升趋势吗？

设计意图：要认识新事物，数学上最基本的是观察图象，对研究问题有直观认识.给学生明确“以直代曲”的研究方法，容易形成单调性与切线斜率有关系的直觉.

(教师几何画板演示切线的变化过程.)

师：这说明函数的单调性与切线的斜率存在某种联系，而导数在某点处的值就是切线的斜率，那么单调性与导数值存在着一定的联系.这就是这节课我们要研究的课题：函数的单调性与导数.

2．结论探究，抽象建模

问题3 为什么单调性与导数值存在着某种联系呢？

师：由单调递增的定义变形可以得到

(1)初探结论

师：函数在某个区间单调递增，会不会出现

f′(x)<0呢？

(教师几何画板作出v(t)=h′(t)的函数图象，学生观察h(t)的单调性与h′(t)符号的关系)

生9：函数图象上升，以直代曲，切线不会出现下降，也就是不会出现f′(x)<0.

师生一起初步得到结论，函数的单调性与导数的关系一：

在某个区间(a,b)内，函数y=h(t)单调递增⟹h′(t)>0；函数y=h(t)单调递减⟹h′(t)<0.

设计意图：研究过程中我们经常会碰到思路受阻，我们需要形成整体认识观，联系单元知识、宏观研究方法(如数形结合思想、特殊化法等)，探寻进一步研究的方向.

(2)再探结论

师：这个结论是否具有普遍性呢？

生8：尝试罗列几个函数，来研究一下单调性与导数的关系.

生9：证明吧！

问题4 你能给出几个常见的函数，然后判断单调性与导数值的关系是否满足刚才的结论？(开火车式的轮流)

生6：一次函数y=x+1，当x∈R时函数单调递增，y′=1>0.

生7：二次函数y=x2+2x，当x≤-1时，函数单调递减，y′=2x+2≤0；当x>-1时，函数单调递增，y′=2x+2>0.

生8：三次函数y=x3，当x∈R时函数单调递增，y′=3x2≥0.

师：从这四个例子可以看出刚才初步得到的结论不够准确，应该为：

结论1：在某个区间(a,b)内，当函数y=h(t)单调递增时，h′(t)≥0.

追问1：把关系一条件结论对调，在某个区间(a,b)内，h′(t)>0⟹函数y=h(t)单调递增，正确吗？

生10：切线朝右上，曲线也向上，成立.

结论2：在某个区间(a,b)内，h′(t)>0⟹函数y=h(t)单调递增.

设计意图：研究离不开猜想，但猜想有时不可靠，说明猜想不正确的简单方法就是举反例.学生只有系统地掌握学过的知识，才能让反例有更强的针对性，促进修正猜想.

师：我们借助一个形象的例子，请大家观看动画.你看到了什么？

生齐：山坡，汽车，灯光.

师：如果用数学的眼光去看，我们又看到了什么呢？

生齐：曲线，点，切线.

师：如果灯光向上，我们可以判断汽车上坡；如果灯光向下，我们可以判断汽车下坡.再用数学的眼光去看这个实例，你得到什么？

生齐：如果切线斜率k>0，则原函数单调递增；如果切线斜率k<0，则原函数单调递减.

师：虽然这个实例不是很准确，但对于我们理解导数与单调性很有帮助.

(3)结论的再探究

问题5 在某个区间(a,b)内，①恒有f′(x)=0时，函数f(x)有什么特性？②存在有限个点使得f′(x)=0，其余点都恒有f′(x)>0，则f(x)有什么特性？

生10：f(x)是常数函数.

生11：函数f(x)单调递增.

追问：在某个区间(a,b)内，f′(x)≥0能说明f(x)单调递增吗？

生齐：不能！

设计意图：数学结论的发现离不开合情推理和演绎推理.在初步感知到研究的必要性后，通过三探：初探结论、再探结论、结论的再探究，让学生学会从多角度去探究结论.研究的结论或先后顺序可以与课本的编排不一致，因为研究本身就是开放性的.通过这个结论猜想+论证发现的整个活动经验的积累，提升了学生的单元研究能力.

(4)结论的形成

师生一起形成结论，函数的单调性与导数的正负有如下结论：

在区间(a,b)内，f′(x)>0⟹函数y=f(x)单调递增；f′(x)<0⟹函数y=f(x)单调递减.反之不成立.

函数y=f(x)单调递增⟹f′(x)≥0；函数y=f(x)单调递减⟹f′(x)≤0.反之不成立.

3.迁移运用，深化认识(例题略)

师：我们总结一下利用导数研究函数单调性的步骤.

生齐：①求函数f(x)的定义域；②求函数f(x)的导函数f′(x)；③利用导函数f′(x)图象判断导函数的正负；④确定函数f(x)的单调性.

4.反思回顾，研究展望

师：除了用导数的方法，还有其它方法研究单调性吗？

生12：图象法，定义法等等.

师：那为什么还要学习导数法呢？

生：定义法有点麻烦，有些函数的图象画起来不方便.

师：导数法是用代数的方法通过计算导函数去解决单调性问题，几何图形使用技术都能作出来，但是有时眼见不一定为实.形少数时难入微啊！

师：学会用导数研究函数单调性了，以后我们将要研究哪些内容呢？

生：其它的函数性质，如最值……

设计意图：在反思回顾环节，联系新知识与旧知识的功能，明白各自的优劣势，让学生会辩证的选择方法.新知识的获得不是终点，它又是后续知识的起点.学生在这种学习中就能更好地完善认知结构，在单元思想下理解新知.

四、单元视域下提升学生数学研究力的体会与反思

1.为提高学生研究能力，教学过程应注重“四大”

实施单元教学应强化学习与研究的大背景、大问题、大思路、大框架[3].本文是在单元——课时中提升学生的研究力，尤其要在整体思想指导下进行课时教学，教师需注重创设大背景、注重过程大策略、注重内容大联系.

(1)注重创设大背景

在单元视域下提出研究问题，需创设大背景.创设的背景问题的指向如果是单一的，它不符合单元教学思想.当学生提出若干个需要研究的问题时，我们可以逐一甄别，使得问题的提出自然些.如有些问题其实就是过去研究过的哪个类型的问题，有些问题本质上是相同的，无先后研究的区别，有些问题是另外问题的研究基础，因此有必要先研究.

(2)注重过程大策略

单元视域下的研究过程不纠结于细枝末节，注重过程的大策略指导，使得学生通过单元研究型学习掌握单元的研究方法.因为单元视域下的研究型课堂，不管是概念型单元或者定理型单元都具有相应的大研究策略.

(3)注重内容大联系

数学是结构性非常强的一门学科，课时在单元内容中的联系及该单元与其它单元之间的联系都是非常紧密的.教师引领学生在学习过程理解数学的内容结构(数学教材内容的编排结构和数学知识本身的逻辑结构)和方法结构(研究教材内容所蕴含的方法结构和解决问题所采用的方法结构)，联系地、整体地、逻辑连贯的去看待课时内容.

2.激发学生研究的欲望

一个人的成功=20%智商+80%情商，那么应用到学生研究力培养上，情商也具有重要作用.因此，教师在教学环节设置起点低、开放的背景，让每个学生都能参与的研究中来，让每个学生都有问题可提，激发参与的欲望.在研究过程，及时肯定，认可学生研究的观点、以及为此付出的努力.抓住机会让学生享受参与研究的成就感！