《资本论》的数学逻辑解析

唐坚

【摘要】数学来源于人们的日常生活及生产过程，是一种专门研究数量关系的科学。伴随着社会实践的不断发展，人们对于数量关系的认识日益深刻、广泛。在数学的帮助下，人类能够更加全面系统地分析各个事物间的数量关系，学习运用数学知识和方法有利于人们掌握事物的本质。其实，人类所开展的各类经济活动，同样存在着相应的数量关系，从这个意义上来说，数学不但是开展经济活动不可或缺的工具，还是经济科学分析的主要方法。马克思本人不但精通数学，而且高度关注数学在经济学中的运用，在《资本论》中应用了大量的数学方法。基于此，本文就《资本论》的数学逻辑进行探讨。

【关键词】数学;《资本论》;数学逻辑

数学是专门研究数量关系的科学，其主要特点有：第一，以量作为唯一的研究对象，因此数学是抽象性极强的科学;第二，一切事物都有量，因此数学具备较强的适用性;第三，数学是高度重视精准性、逻辑性的科学，而在所有的社会科学中，经济学是量的特征最显著的科学，所以，要想厘清各类经济量间存在的关系，就必须运用数学的相关理论知识。研究表明，《资本论》不仅是将历史唯物主义与辩证唯物主义相结合的典范，还是将数学应用于经济学的重要典范。

一、数学对《资本论》的重要意义

经济发展过程与其他事物发展均有相同之处，不但有“质”的规定性，还有“量”的规定性。《资本论》的写作目的主要在于分析资本主义经济关系，不能仅考察其“质”，还应当做到“质”与“量”的同时考察。唯有从“质”与“量”两个不同的层面去研究资本主义经济关系，才可以从根本上掌握其变化、发展的基本规律。虽然《资本论》尤为注重对经济过程中“质”的研究，但我们不能就此断定《资本论》并未对经济过程中“量”的分析。那些否定《资本论》既运用定性分析也运用定量分析的观点，不仅否认了《资本论》内容的丰富性，同样也没有正确理解马克思所采取的科學研究方法。事实上，《资本论》对于经济过程的所有内容，都进行了大量的数量研究。

在对社会剩余价值的流通进行研究时，马克思明确指出，不管是生产资本形态，还是货币资本形态，不但需要从“质”的层面将其划分成劳动力与生产资料两个类别，同时需要从“量”的层面确保劳动力与生产资料维持在相应的比例范围内，如此才可以推动资本的有效循环。马克思对生产资本、货币资本以及商品资本的“量”的变化过程进行研究，并且强调：以上三种循环存在一个共同点，即价值增值是根本动机。对于资本周转，马克思着重研究了周转次数、周转时间对于资本增值造成的影响，主要分析了流动资本与固定资本在价值量补偿方面的特征等。

在对剩余价值的分配进行研究时，马克思主要分析了资本主义商品价值量的构成，着重研究了利润以及成本在剩余价值的分配与生产过程中所处的具体地位。另外，马克思还考察了对利润率有所影响的各类因素，在历史与逻辑相融合的基础上，考察了生产价格的形成以及平均利润率的产生，阐明了平均利润率降低的规律性，并进一步研究了影响该规律的多种因素。与此同时，马克思还对借贷资本、商业资本以及资本主义地租等进行了深入的研究，深刻揭露出了商业资本家、产业资本家、土地占有者以及借贷资本家等对于剩余价值总量的瓜分。

二、《资本论》的数学逻辑解析

（一）《资本论》与数学的特殊关系

在《资本论》第一卷中，马克思将简单的、普通的、扩大的货币的各种价值形态，以“价值等式”的形式呈现出来;围绕货币流通这一理念阐述了流通过程中的货币量、货币流通的平均速率、待流通商品的价值三者间的函数关系，以及可能存在的结合方式，在参考“数学上运算变量和常量的定律”的基础上，以公式来阐明可变资本在剩余价值形成过程中，与不变的资本起着完全不同的作用，对剩余价值率计算的各类不同公式进行研究，分析了劳动日长度、劳动生产力以及劳动强度三种因素，在不同情况下对剩余价值及劳动力价格所造成的影响。

在《资本论》第二卷中，在对资本的周转和循环过程进行研究时，马克思运用了数学公式进行计算，从“量”的方面分析了经济范畴内的各种关系。在对社会总资本的再生产过程进行研究时，马克思创造了知名的扩大再生产公式与再生产公式，从理论层面第一次将社会产品根据实物区分成消费资料与生产资料两种形式，根据价值不同划分成新创造价值（V+m）与转移价值（C）。因此，马克思按照以上两类划分，在“两表”（“总再生产过程的经济表”与“再生产过程表”）中，将各种社会产品以及其构成要素的所有运动以实线与虚线合理地体现出来。正是由于马克思对社会产品进行的两种区分，及用其组成要素的价值补偿与实物代替的理念对社会再生产的过程进行研究，马克思提出的“简单再生产模式”才被人们更加认可。在《资本论》中，“扩大再生产公式”“简单再生产公式”等，均是运用数学模型及数学方程的代表性案例，其对现代社会经济问题的分析、探究发挥了巨大的指导作用。

在《资本论》第三卷中，马克思针对剩余价值率和利润率进行了纯数学层面的研究，将数学方法当作经济分析的重要工具，并熟练运用各种数学方法，巧妙化解各类经济问题，对再生产理论及利润率降低趋势进行深入发掘，揭露出生产价格的根本性质。马克思将利润率看作是有很多变量的“函数”，将资本、竞争抽象化，假设剩余价值率与利润率在“量”方面是相同的，从而分析出剩余价值率与利润率间的相互关系，并且提出首先应该在单纯的数学范畴内开展分析。马克思在对有着数量体现的经济范围内的数量关系进行研究时，着重采取数学方法进行分析，有着极其重要的指导意义。比如，在《资本论》中马克思假设利润在数量方面是和剩余价值相同的，接着在纯数学方面分析了剩余价值和利润率间的关系，通过列出公式，来分析所有变量间的互相作用，从而推断出利润率的各类规律，得到了利润率降低趋势的最终结论。这不仅体现了对利润率变化、发展有决定性影响的各类因素（不但有公式包含的变数，还有货币的周转与价值、劳动日长度、劳动生产率、工资以及劳动强度等诸多因素，尽管在列式中并未体现），同时还阐明了剩余价值率和利润率互相作用的基本规律。

（二）《资本论》的数理基础

1.数论与政治算术。众所周知，数主要包含整数、自然数、实数、有理数以及复数等。正整数的数学理论为算术，算术的核心就是算术的各种基本规律（主要有结合律、交换律、分配律等）。自然数是无穷无尽的，也就表明数系是无限的。1953年，Borel开启了概率论在数论中运用的先河，通过随机数对事件的必然性进行分析，堪称是20世纪“数学界尤其是数论界最重要的成果之一”。此外，针对无限性的素数序列、整数序列的随机现象开展考察、研究，同样是剖析数论的前沿话题。

对于“政治算术”，则可分为“政治”与“算术”两部分。“政治”所指的是政治经济学，“算术”所指的是统计方法，提倡通过数据来对经济现象进行研究。在威廉·配第时期，统计学还没有产生，“政治算术”为统计学的产生及后期发展提供了扎实的方法论基础。数理统计是在概率论不断发展的基础上快速发展产生的，在17—20世纪期间，涌现出大量的数理统计工具，例如：Bayes方法、大样本检验、最小二乘法、显著性检验、小样本分布等等。

2.劳动决定价值与用时间单位计量价值。劳动价值的根本性质为劳动决定价值。劳动决定价值的分为用时间计算劳动量（计时劳动）、用实物计算劳动量（计件劳动）。然而，实物只是劳动的产品或者结果，时间才是人们付出的过程，因此需要以时间为单位来计量价值。马克思在《资本论》中首先做出了以下两种假设：商品是根据其价值售卖的;劳动力价格或许会高于其价值，却永远不会低于其价值。在此假设的基础上，马克思借用了李嘉图提出的“三个规律”，并且提出剩余价值与劳动力价值决定于“三个规律”的观点。马克思还假设：价值产品=劳动力价值+剩余价值=活劳动=工作日，其作为不变量，列式中的两个因子成反比例关系。

3.微观个量加≠总宏观总量平衡。宏观总量平衡的列式为投入产出模型。第一，与之有关的“增广”里昂惕夫体系，包含基于折旧率的旧固定资本价格的计算中，“价格决定机制，能够缩减成仅包括新品商品加工的决定机制，换言之，联合生产机制能够纳入到某种非联合生产机制内”。第二，马克思提出的“再生产图式”中的数值例是通过总额来体现的，能够将总额划分成单位价值与数量二者间的乘积。马克思提出的“再生产图式”，不但简洁明了地体现出社会总资本的波动，同时还指出“均衡”是现实存在的。第三，关于资本主义经济波动，藤森赖明曾经提到：根据资本主义经济的均衡增长与价格均衡等相关理论能够获悉，均衡增长是极其不稳定的。对于均衡增长的不稳定性进行研究的模型，是以加速原理为基础开展的投资及商品市场的均衡作为具体研究对象的。

（三）《资本论》中的数学方法

1.线段法。在《资本论》中，马克思在考察相对剩余价值与工作日界限的具体概念时，就运用了以下的线段：“ac线：a—b—c表示12小时的工作日，ab段表示10个小时的必要劳动，bc段表示2个小时的剩余劳动”。虽然工作的具体界限a、c已经明确，但bc段依然是能够延长的，不是向其终点c方向延长，而是由起点a向反方向延长。

2.列表法。此方法同样属于统计学范畴，列表法具备明确、清晰等诸多优势，尤其是在数据复杂而且需进行归类分析的情况下，其优势更加突显，因此马克思在《资本论》中采用了大量列表法。例如：在分析“资本主义积累基本规律的例证”的时候，马克思通过不同的表格展现出资产阶级的资产积累情况，以及无产阶级的身体健康情况、收入情况等等。

3.公式法。此方法是体现不同要素间数量关系的主要方法。在大多数情形下，公式法与文字阐述相比显得更加明确、清楚。比如，马克思在对价值形式的发展变化进行研究时，就运用等式的形式将其表达出来，“X量商品A=Y量商品B”，并且说明：所有价值形式都是在此基础型价值形式上衍生出来的。此类等价体现，事实上是将各种类型的商品所涵盖的各类劳动转变成一般人类劳动等共同的东西。等价形式与此类特殊商品相互结合后，此特殊商品也就成为了货币商品，又或是发挥货币的作用。

4.经济数学模型。经济数学模型区别于纯粹的数学公式，其涵盖更加深刻、更加广泛的经济内容。其一，经济数学模型可通过对不同经济要素间相互数量关系动态和静态的展现，揭露出各种经济要素在“量”方面的波动态势，及所有要素间比较繁杂的数量关系组合。其二，经济数学模型主要从“质”与“量”相结合的角度出发，反映经济活动过程的基本规律，其内容已远远超出了纯数量关系范畴，能够将“质”的变化与“量”的积累相互结合起来，进而更加深入地体现出某种特定社会形态下经济关系的根本性质。

三、新时代加强马克思主义政治经济学数学逻辑的策略

（一）严格遵守“方法准确化”准则

马克思主义政治经济学的核心内容为何？这是人们创建与马克思主义政治经济学相关的数学模型等所有工作的重要基础。唯有掌握马克思主义政治经济学的本质，才可以真正做到“方法准确化”，根据马克思原先的理念去分析经济问题，研究解决各种经济矛盾，如此才能称得上是运用数学方法开展马克思主义政治经济学分析。

（二）严格遵守“方法生动化”准则

通过数学模型体现出马克思主义政治经济学中“量”方面的关系，需要以此模型为基础，生动、形象地表明现实的经济现象，并给出相应的对策。

（三）严格遵守“方法简约化”准则

在马克思主义政治经济学中，数学扮演的是“方法”与“工具”的角色，是服务于分析经济问题的。在对经济问题进行认识、分析时，应当采取数学方法使得整个过程简约化，而并非是让问题更加复杂化。换言之，在可以化解相同的经济问题时，简约程度越高的数学方法，其解决问题的效果也就越好。

（四）严格遵守“方法灵活化”准则

在进行经济学分析时会遭遇各式各样的经济问题，而这些经济问题的本质与特征是完全不同的，因此，对于不同性质的经济问题应采取有针对性的数学方法。然而，经济学界有些学者热衷于采取高等代数方法去認识、分析、化解经济学方面的问题，无论何种经济学问题，一律采取高等代数方法，这种做法是盲目的、不可取的;有些学者热衷于采取微分学方法去认识、分析、化解经济学方面的问题，无论遇到何种经济学问题，都采取微分学方法，这种做法同样是不可取的。