微分方程在物理学中的实际应用

邹永辉 苏欣

摘要：本文围绕燃油发动机的高压油管的压力控制进行研究分析，根据燃油系统的工作原理，求出在不同情况下，单向阀开启和凸轮运行的具体值，并且给出高压油泵和减压阀的最佳控制方案，以达到效率最大化。利用流体流动的质量守恒定律，在燃油压力稳定在100 MPa下，得出单向阀开关开启时长t=0.288ms。其次在相关假设下，计算了出密度的平均值。最后建立微分方程等式，求出经过T=2，5，10s压力升到150MPa时单向阀开启的时长分别为：0.837s，0.583s，0.501s。求出使高压油管压力稳定在100MPa的转速，得出角速度。

关键词：高压油管;微分方程;流体流动的质量守恒定律

1. 模型建立与求解

1.1 模型一的建立与求解：

通过一定的比例关系[1]，建立微分方程，求解出燃油的压力与燃油的密度的关系等式：

（1）

对所找的数据进行多项式拟合，可得到弹性模量与燃油的压力的函数表达式，然后求解所建立的常微分方程，即可得燃油的压力与燃油的密度之间的函数表达式：

（2）

建立1s内的等式，即：

（3）

利用MATLAB计算可得：n=97次，t=0.288ms，即为了尽可能让高压油管内的燃油的压力稳定在100 MPa的单向阀每次开启的时长约为0.288ms。

我们首先假设将高压油管内的压力从100MPa到150MPa为均匀的，即分成，（T=2，5，10s）个阶段，因此由質量守恒定律建立等式：

（4）

利用MATLAB编程计算出2T（T=2，5，10s）个次数n与开启时长t，经过计算我们可得分别经过2s，5s，10s高压油管内燃油的压力从100 MPa增加到150 MPa，单位时间内单向阀开启的次数以及单向阀开启的时长。

经过不同时间调整后还要将高压油管的压力稳定在150MPa左右，我们建立下列方程组求解时长：

（5）

利用MATLAB编程计算可得：n=93次，t=0.752ms，即为了尽可能让高压油管内的燃油的压力稳定在100 MPa的单向阀每次开启的时长约为t=0.752ms。

1.2 模型二的建立与求解

由于每次挤压到油管的燃油体积为下止点与上止点之间的体积，可以算出每次压入油管的低压燃油体积，因此每次压入油管的体积为：

（6）

首先我们设任意时刻针阀边缘与密封座的长度为，针阀的升程为，则可得如下等式：

（7）

算出高压油管与喷油嘴外界的压力差，得到喷油嘴外界的压力大小为 。接着我们利用进出高压油管的流量公式，可算得：

（8）

为了减小误差，我们通过上述推导的公式以及寻找的数据，拟合出时间t与流量的函数关系式：

（9）

首先我们假设凸轮的转速为n，因此单位时间内喷入高压油管的质量为m2=nm1，然后我们根据质量守恒定律，有单位时间内：

（10）

对（10）进行分段积分，即可以计算出的转速为n=7.36r/s。即可计算出使得燃油压力稳定在100 MPa左右的凸轮的角速度为：。

参考文献

[1]王峻森，王海宽.柴油机燃油喷射装置——喷油器[J].农村牧区机械化，2011（06）：44-46.

[2[日]广安博之著.柴油机燃油喷射系统（译文集）.贾锡印.田中魁译.北京：国防工业出版社，1977.7.

[3]蔡梨萍. 基于MATLAB的柴油机高压喷油过程的模拟计算[D].华中科技大学，2005.

作者简介：邹永辉（1999.06-），男，江西省赣州市人，江西省南昌县江西师范大学数学与应用数学专业 本科生

苏欣（1999.05-），女，江西省宜春市人，江西省南昌县江西师范大学数学与应用数学专业 本科生