以“生成”看椭圆 把握数学本质

邹海斌

(江苏省梅李高级中学 215500)

一、问题提出

笔者今年任教高三，在高三一轮复习过程中发现，学生对解析几何，特别是椭圆这块内容掌握得不是很好.学生在拿到题后，一些同学无法下手，一些同学列了些式子就放弃了，或者算不出自己想要的结果.针对这种现象，我就开始思考，怎么才能解决这个问题呢？是不是学生的思维能力不够？还是学生的计算能力不行？这个时候刚好遇到学校要开公开课，我就借这个机会，在高三备课里开设了一节“以生成看椭圆”的公开课，从“生成”的角度来揭示椭圆题的本质，取得了很好的教学效果.

二、课堂实录

以一道模考题引入，让学生衡量自己是否已经胜任考试.

图1

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求△PCD面积的最大值.

教师：第一问椭圆方程怎么求？

教师：不错，三个方程，没有遗漏a2=b2+c2这个隐含条件，椭圆的基本量运算不容忽视.

学生2：我会选择大减小，两个同底不等高的三角形相减.

教师追问：你为什么这么做？怎么想到的？

学生2：因为所求三角形三个点都是动点，每条边长度不好求，特别是三角形的高更不好求，三角形的每个角也都是未知的，然后我就想能不能转化一下思路，就想到了大三角形减去小三角形.

教师：很好，这也是我们今天的主题，从生成角度看问题，三角形面积的生成是多种多样的，选择合适的一种方式.然后请同学思考，接下去怎么办呢？我们是不是要把AD表示出来,C点和P点也表示出来，那么我们选择什么作为变量呢？

学生2：我选择了设点P，因为有了P就有了直线BP和直线AP，然后就有了D点和C点，这样面积就可以用P点的坐标表示出来了.

教师：很好，这其实就是这幅椭圆图形的一种生成方式，由点生成，接下来我们简单操作一下.

接下去怎么化简呢？请同学们试试.

教师在班级巡视，告诉学生，应该有一个信念，就是此式必可以化简.在学生努力尝试之后，教师展示化简技巧.分母有两个因式，而且分子和分母不能看出来有一个直接的倍数关系，所以我们采用各个击破的原则，先处理一个因子.

教师总结：这样的化简是有技巧性的，但也在情理之中，同学们要掌握，那么接下去的最值怎么求呢？

教师：很好，还有其他方法求这式子最值吗？

教师：非常好，那么有没有同学有另外的思路呢？

学生5：我是设直线AP的斜率k做的.

教师追问：怎么想到的？理由是什么？

学生5：设了直线AP，那么C点就可以用k表示，和椭圆联立，P点就可以用k表示，然后直线BP就有了，最后D点也可以用k表示了，最后面积就可以k来表示，然后求出单变量k的函数的最大值就可以了.

教师：非常好，其实这是这幅椭圆图形的另一种生成方式，由线生成，接下来我们一起来操作一下.

教师：怎么求这函数最值呢？这又是一个基本功的问题，求导肯定可以，你会怎么做？

教师追问：那么这个t有没有范围的？也就是说k有没有范围的？

继续追问：这里除了用代数法算出k范围，还能怎么得到k范围？

这时一位学生举手了.

这时候学生们发出了惊叹的声音，整堂课进入了高潮，学生们对这个发现都兴奋不已，纷纷动手尝试.

教师追问：那d最大是多少？怎么求？

教师：非常棒，能够从固有的思维中跳出来，发现了这样一个四边形的面积是定值，然后轻松地解决了所求三角形面积的最值.但是这是基于设k做了，那么在设点做时，能否得到这个定值呢？肯定可以证明得到，只是没有设k这么显而易见，那么我请个同学上黑板上来证明一下，其他同学下面自己证，目的是练习一下设点的化简技巧.

学生8板演.

教师：这样我们对这道模考题就研究清楚了，我们从图形的两种生成方式，由点生成和由线生成，进行了探讨，都解决了这个问题.下面请同学小结下，这堂课有什么收获？

学生9 ：通过这堂课的学习，我学会了用生成的眼光来看椭圆题，设点和设线.我还学会了用生成的眼光看面积的多种生成方式，还发现了定值.

学生10：我还知道了求最值的一些常用的方法，求导，换元，线性规划，三角代换等等.

教师总结：大家说得都很好，这节课一是让大家形成用生成的角度看问题，不管是图形的生成过程，还是面积的生成，然后选择合理的变量；二是让大家明白设点P(m,n)是个二元运算，必然用到曲线方程，运算有技巧性，设k是个一元运算，运算有一定的优越性，不管哪种运算，希望大家明确计算的方向，掌握关键处的运算技巧，提高自己的基本功.

三、教学感悟

发展学生的数学核心素养，培养具有创新意识的人才，就要在课堂教学中切实引导，激发学生积极思考，让学生经历数学化的过程.教师在讲题时，特别是高三复习课时，选择的题目不在于多，而在于精，一道好的题目能立足问题本身，兼顾基础性和综合性，能够反映知识间的横向关系和纵向关系，能让学生浮想联翩，回味无穷，这样才能真正让学生思维成长，从而提升学生的数学的核心素养.这其实对我们老师也提出了更高的要求，教师必须具有吸引学生的独特的魅力，所谓亲其师才能信其道，那么教师自身的解题能力和文化底蕴是个法宝，望大家共勉之.