变式无边 教材为岸

杜海洋

(四川省成都经济技术开发区实验中学校 610100)

通过近几年全国各地高考试题和模拟题我们发现有关指对幂几乎年年必考，其中又以这三者为依托考查比较大小更为盛行，大多数以小题出现，难度一般不大，但有时也出现在高考选择题的压轴题上.下面笔者以一道高三模拟试题为例进行多角度探究，进一步体会涉及关于比较指对幂大小或计算常见方法，与读者交流.

一、试题呈现

(成都市2019届高中毕业班第三次诊断性检测理科第6题)

若非零实数a,b满足2a=3b，则下列式子一定正确的是( ).

A.b>aB.b|a|

二、多解评析

1.特殊值法

令a=2,则4=3b，易得1b>0.

评析尤其在含有变量的式子对一般性结论成立的式子中，取特殊值法有时堪称秒杀，但取值的标准还是要依托式子的意义，结构等因素，主要是便于计算和优化解答.比如方法一，也可取a=1和a=-1.但出现了b的区间端点为分数的情形，所以选取了a=2和a=-2.

2.指数互化

评析根据答案的表达关系，选择了指数恒等变换，利用幂的乘方将指数式的字母进行组合，再利用指数运算得出结果，此法显得干练简洁.

3.指对互化

评析指对密不可分，本法利用直接转化为对数，利用对数运算性质将a,b分离出来，从而达到结论需要的结构模式.本法属于通性通法，求指数取对数，同样简洁.

4.作商法

令2a=3b=k,因为a,b非零，所以k>0且k≠1.即a=log2k,b=log3k.

评析由选择答案可知是涉及比较大小，作商法尤其针对指数式比较大小是惯用的一种解答思想方法.本法同方法三，利用了消元指对互化实现式子字母的分解，从而达到要得到的式子结构特征，此法具有普遍性，由指数式涉及求ma与nb这种式子运算和比较关系都可用此法.

5.作差法

评析同法三，作差法是不等式比较大小最基本方法之一，本法在对数式变换上，注意换底公式的使用，同时结合对数性质确定对数值的取值范围.

6.图象法

由草图曲线1,2分别为函数y=3x，y=2x的图象.当直线y=k分别在y>1和0

评析数形结合法是判断不等式成立的又一种有力的手段，尤其构造一些简单初等函数图象可以快速破解相关试题.数形结合的优点形象直观，一目了然，可以说这道模拟试题此法为上策.

通过以上试题的解答探究，笔者发现此题与

(2018年全国卷Ⅲ理数12题)设a=log0.20.3，b=log20.3，则

A．a+b

C．a+b<0

如同姊妹题，正好形成指对函数的珠联璧合.此题留给读者仿照以上探究思路进行解答.

那么以上两题能在教材找到相应的题根吗？回答是肯定的.此上两题可以认为均来自

普通高中课程标准实验教科书数学必修一第二章复习参考题B组第2题：

从式子结构上来看，两题中与成都模拟试题条件几乎没变，去掉了等式值限制，但更具有开放性；而2018年全国卷Ⅲ理数12题虽然以对数形式给出，但转化成指数形式结构一样，明显在结论上开放性更强.共性是两题所研究的结果都与教材习题所对应的表达式一样，的确在开放性上这是两题真正显著的体现，也进一步诠释了高考命题源于教材、活于教材、高于教材的理念.如果我们平时在教学上多留意一下这种具有典型代表性的例题、习题，进行多解多变，相信以上类型试题的解答学生应该相对容易.

变式练习：

A．c>b>aB．b>c>a

C．a>b>cD．b>a>c

2.若a>b>0,0

A.logac

C.accb

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

4.设a,b,c都是正数，且3a=4b=6c，则以下正确的是( ).

我们深知高三数学复习时发现涉及知识点多，范围广，每年题目不断变化更新的同时考查方式也是多种多样，但数学考查知识点是相对固定的.因此在复习备考时回归教材，以教材为根据地，认真研究例题、习题，进行一题多变，一题多解.在强化数学思维、方法的训练的同时把相关板块知识点进行归类整理总结，则可以帮助学生梳理知识点，归类和比较方法的优劣，以及找到共性，提高自己的学习能力，从而避免过度刷题，进一步在备考中取得事半功倍的效果.