解决无理式最值的几种途径

蔡 明

(浙江省诸暨市浬浦中学 311824)

那么对于无理式求最值时，我们到底该怎么办呢？由于无理式求最值的难点就是含有根式，所以我们要解决的方法首先应从这个方面去考虑.常用两条思路：一、考虑与无理式有关的知识，如不等式中的基本公式，两点间的距离公式等；二、考虑将无理化有理的常见方法.平时还可以通过配方法、换元法、导数、数形结合法等多种方法来解决关于无理式求最值的问题.本文用一例来解析无理式求最值.

一、用导数求单调性

函数的单调性是解决最值问题的常见思路，因此利用导数求单调性是无理式求最值的首要方法.

解由题知：x∈[0,1]，

二、用平方简化无理式

困扰无理函数的问题是带有两个无理式，不能看成复合函数问题，因此把两个无理式化成一个无理式，并寻求函数的求解方法，结合题目可先将式子平方，变成一个无理式问题.

三、基本不等式

四、构造对偶式

构造对偶式是平时解决问题的一种常见手段，尤其是对有些问题的处理还是行之有效的.

五、三角换元

结合题中式子的结构与x的取值范围，本题可采用三角换元，并利用三角函数的性质加以求解.

六、数形结合

作为函数问题，有时运用几何意义可能会有意想不到的效果，当然我们需要根据不同的结构特征找到相应的几何意义，才能实现数形转化.

七、向量数量积

结合题目构造向量数量积，运用数量积的几何意义实现最值，此类问题往往隐含着一种轨迹问题.

对于无理式求最值的题目我们所用的方法，像换元法、解析法、单调性，以及基本不等式等方法也是我们平时求其他最值问题的常用方法.关键在于我们如何将这些常用方法灵活地运用于求无理式的最值之中，使我们所学知识发挥更大的作用.