变中寻本 据本应变——全国数学理科二卷的“变”与“不变”与高三复习备考策略

李 伟

(辽宁省鞍山市第三中学 114000)

今年数学高考结束，坊间对全国二卷理科高考数学试题(以下简称高考数学试题)有传说“今年的试卷不用说押题，就是押题号，也押不准”.这虽然是戏说，但很大层面上说明了数学高考试题变化很大.

为做好明年的高三复习备考工作，有必要搞清变化的情况及如何应对变化，下面就针对变化进行分析并针对变化提出高三复习备考对策.

一、今年数学试卷的变化

与去年相比今年高考数学试题发现以下变化：

1.试题布局方面发生变化.2018年试卷17题考查内容为数列；18题为概率统计；19题为圆锥曲线；20题为立体几何和空间向量；21题为导数.2019年试卷17题考查内容为立体几何和空间向量；18题基本为概率统计；19题为数列；20题为导数；21题为圆锥曲线.除18题外，不仅题号变化，相应位置考查题目涉及的知识点考查方式也发生变化.

2.由于相应题目涉及对应考查知识点的变化，导致各单元知识点相应整合而成的题目难度也发生变化.

2018年试卷17题为数列，在2019年试卷中为19题；2018年试卷19题为圆锥曲线，在2019年试卷中为21题.实际对比发现，在解题思维、方法、技巧要求上都有所提高.2018年试卷20题为立体几何和空间向量，在2019年试卷中为17题；2018年试卷21题为导数，在2019年试卷中为20题.显然，要求上是下降的.

3.初中数学知识直接作为考查内容出现.如第5题，把初中学的“中位数”直接列入选择枝的选项中，这与以前只在题干中涉及一些初中知识，或解题过程中涉及初中知识是有差别的.

4.填空16题由原一个空改为设计成两个空(第一空2分，第二空3分).尽管总的分值没有变，但实际上是由一个需要回答的问题，变成了两个需要回答的问题，增加了回答问题的数量.

5.试卷背景资料更贴近我国生活、传统文化和科技进步和实际应用等.2018年涉及这类题目：第8题“哥德巴赫猜想”、第18题“环境建设”.2019年这类题目有：第4题涉及背景资料是“嫦娥四号探测器”、第5题“演讲比赛”、第13题“高铁”、第16题涉及“金石文化中的印信”、第18题乒乓球比赛等.

6.整体试卷阅读量加大.2018年全卷3058个印刷符号，今年全卷3869印刷符号，增加800多个印刷符号，占比26%.相关个别题目举例：2019年在第4题的位置出现了303个印刷符号题目，注意到在2018年试题中印刷符号最多219个，而且出现在第18题中.大家要知道，增加阅读量也是增加难度，更况且阅读量增加在第4题，加之现在学生阅读能力还比较差，难怪考试后，部分学生反映题难、发挥受到影响.这样的阅读量在以前试卷中所没有的.

7.运算能力的考查突出强调数学式子的变形、运算和为了简化繁琐运算而实施的代换.

显然是数学式子的近似计算问题.在以前的高考试卷中近似计算多见数字运算，数学式子运算多涉及式子变形，代换等，数学符号式的近似计算还是首次出现在高考试题中.

8.近两年第22题都考极坐标系参数方程，但考查的角度变化很大，为对比分析方便列出两年的试题.

2018年的22题[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)

(1)求C和l的直角坐标方程；

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．

2019年的22题[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)

在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.

(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.

对比上述两个题目，2018年将极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程即可解决(也可用极坐标、参数方程求解)；2019年则是侧重考查用极坐标的办法求解.由此可以看出，极坐标系参数方程部分命题将更加突出运用本单元知识来解决问题，而不是单纯考极坐标化为直角坐标，再用直角坐标理论求解的坐标系转化问题.

二、2020年数学科备考建议

面对上述列出的八种变化，结合近几年高考试题对比，再参考新课标实施即将带来新高考形式的要求变化(文理不分科、不出考试大纲等)，做出如下分析，并给出2020年高三复习备考应采取对策.

1.坚持过好基础知识关、过好通性通法关，这是高三复习备考的“本”.

以2019年高考试题第19题、第21题为例加以说明如下：

19题已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，4an+1=3an-bn+4 ，4bn+1=3bn-an-4.

(1)证明：{an+bn}是等比数列，{an-bn}是等差数列；

(2)求{an}和{bn}的通项公式.

题中条件给出的是非齐次二阶递推式，对考生而言形式上是比较陌生的，但问号(1)已经给出了对两个齐次式处理的方法，即：相加凑an+bn，相减凑an-bn.至于证明成等比、等差只需用等差、等比数列的定义即可.

对于问题(2)借助问题(1)中两通项公式相加(减)及裂项法，转化为等差、等比求和即可.

综上可知其解决问题理论依据与解题方法仍然是等差、等比数列的概念和通性通法.如果说“新”就是条件给出的非齐次二阶递推式比较陌生，但根据问题(1)的形式就知道如何应对这种变，因此说，解决“变”在题的条件中.

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.

(ⅰ)证明：△PQG是直角三角形；

(ⅱ)求△PQG面积的最大值.

上述解题的繁琐，为简化运算自然要想到变量代换，因此说解决“变”在解题的运算过程中.

2.在复习备考中要重视数学思想、数学核心素养在解题思考中的重要地位.

以今年高考试题第20题为例加以说明

(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；

(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线y=ex的切线.

由于该导数问题设计在20题位置，显然难度是要降低的，特别是第二个问号.但从整体解题过程看数学核心素养“直观想象”、“数学抽象”、“数学运算”、“逻辑推理”等在解题过程中都有所体现.在数学思想“考查特殊情形”、“数形结合”；在解题技巧“借助零点，实现无理式向有理式的化简转换”等都得到应用.而这些，不能说是新的东西.

3.在复习备考中要重视学生阅读能力的培养，通过阅读训练、培养学生提取、整理、加工信息和数学建模的能力.

以今年高考第4题为例说明：第4题 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：

此题300个印刷符号，是近几年高考试题中阅读量最大的.通过阅读，学生能否会按下列程序进行提取、整理、加工、建模来思考问题的解决：一是前三行对解题基本没有意义；二是再接着5行是说明数学方程含义的，对解题意义不大；三是下面这些文字符号才是解题的核心所在：

到此刚好转化为数学问题，接着进行数学分析，即可找到解题思路.所以，在今后复习备考中，鼓励学生学好语文，提高阅读能力是解这类问题的关键.

综上所述，在复习备考中的应对策略是：一是要求学生熟练掌握知识、通性通法(含数学思想、素养等).二是在此前提下，强调灵活运用知识和通性通法就显得十分重要.三是平时训练时，在题目选择上，多注意设计(选择)题目背景新(新瓶装旧酒)、知识点新整合(旧瓶装新酒)、思考新(旧瓶装新包装)的题目，加强训练学生运用知识解决问题的灵活性.四是加强阅读能力的培养，对“提取、整理、加工、建模”能力的培养.

事实上，对比历年高考试题，每年试题的形式、知识交汇等都有所不同，这就需要我们把握住“本”，据“本”寻求灵活变化的东西，不去刻意关注上一年高考试题的形式和内容，让高三复习在题的背景资料上“新”；在知识交汇上“新”；在变化考查数学思想、方法、技巧上“新”；在试卷设计长度(适当增加阅读量、培养阅读能力)上“新”.实践证明，带着这种理念来开展复习备考定能取得很好的效果，也是本文的主旨要义.

以上是针对2019年全国二卷理科数学试题状况进行的分析和新高三备考的建议，供大家参考，也请大家批评指正.