一类非线性耦合对流扩散方程组的临界Fujita曲线

郭 微, 高云柱

(北华大学 数学与统计学院, 吉林 吉林 132013)

0 引 言

考虑如下非线性耦合对流扩散方程组的齐次Neumann外区域问题非平凡解的长时间渐近行为

其中:p,q>1;λ1,λ2≥0;κ∈;B1是n中的单位球;ν是∂B1的单位内法向量; 0≤u0,v0∈L∞(nB1)∩L1(nB1), 且u0和v0是不同时为零的函数.

Fujita型定理是非线性偏微分方程领域的一个重要研究课题. Fujita[1]研究了如下含内部源的热传导方程

的Cauchy问题, 并证明了当1pc=1+2/n时上述问题既存在非负非平凡整体解(小初值), 又存在非负爆破解(大初值). 其中指标pc称为临界Fujita指标, 相应的结论称为Fujita型定理. Fujita研究表明, 临界Fujita指标可以精确地描述方程解的长时间渐近行为. 目前, 关于Fujita型定理的研究已取得了许多成果, 人们针对不同类型的非线性方程和方程组, 不同类型的区域和不同类型的边值条件建立了许多Fujita型定理, 刻画了空间维数、 区域形状、 扩散项、 对流项、 源项和边值项等诸多因素对临界Fujita指标的影响[2-23]. 对于单个方程的情形, 临界Fujita指标通常是一个常数, 而对于耦合方程组的情形, 临界Fujita指标通常是一条曲线, 称为临界Fujita曲线.

文献[13]首先考虑了问题(1)-(4)当λ1=λ2=0时的特殊情形, 证明了相应问题的临界Fujita曲线为

在文献[13]所研究的问题中, 方程组的两个反应项都与空间位置无关. 本文考虑方程组的两个反应项都与空间位置有关的情形. 在方程组(1)-(2)中,λ1和λ2越大, 两个反应项越强. 因此,λ1和λ2越大, 问题(1)-(4)的解越容易爆破, 从而提高临界Fujita曲线. 本文证明问题(1)-(4)的临界Fujita曲线为

(5)

并建立相应的Fujita型定理. 由式(5)可见λ1和λ2对临界Fujita曲线的影响. 为得到整体解的存在性, 通过构造合适的自相似上解, 进而利用比较原理证明解的整体存在性. 与λ1=λ2=0的特殊情形相比, 问题(1)-(4)自相似上解的结构更复杂.

1 预备知识

由半线性抛物型方程组的经典理论可知问题(1)-(4)存在唯一的局部解, 且比较原理成立.

引理1设0≤u0,v0∈L∞(nB1)∩L1(nB1), 则存在0

为证明问题(1)-(4)爆破解的爆破性质, 需要如下引理, 其证明可参见文献[7]中引理2.1.

引理3设(u,v)是问题(1)-(4)的解, 则存在仅依赖于n和κ的常数C1>0和δ>1, 使得

这里BR表示n中以原点为球心、R为半径的球,

下面构造方程组(1)-(2)的自相似上解， 将证明在一定的条件下, 方程组(1)-(2)具有如下形式的自相似上解:

其中:

将式(6),(7)代入方程组(1)-(2), 经过运算可知, 若w,z∈C2((0,+∞))满足

(8)

(9)

引理4假设p,q>1,κ>-n且pq>(pq)c. 令

w(r)=z(r)=εe-Ar2,r≥0,

(10)

证明： 通过计算可得

根据A的定义可知A(1-4A)>0, 2A(n+κ)-α>0, 2A(n+κ)-β>0. 于是存在充分小的ε>0, 使得方程组(8)-(9)成立. 证毕.

注1在引理4中, 根据(w,z)的定义可以求得w′(r)<0,z′(r)<0,r>0. 因此, 当(u0,v0)满足

2 Fujita型定理

定理1设p,q>1,λ1,λ2≥0,κ≤-n且0≤u0,v0∈L∞(nB1)∩L1(nB1)是非平凡的. 则问题(1)-(4)的解必在有限时刻爆破.

下面讨论κ>-n的情形.

定理2设p,q>1,

(11)

λ1,λ2≥0,κ>-n且0≤u0,v0∈L∞(nB1)∩L1(nB1)是非平凡的. 则当pq<(pq)c时, 问题(1)-(4)的解必在有限时刻爆破.

证明： 不失一般性, 不妨假设

(12)

设(u,v)是问题(1)-(4)的解. 定义

由Hölder不等式, 可得

这里

C2和C3是与R无关的正常数. 将式(14),(15)代入式(13), 得

因此, 由式(16)可得

注意到条件(11)蕴含着

n+κ-λ1/(p-1)≥0,n+κ-λ2/(q-1)≥0.

(18)

首先, 考虑

n+κ-λ1/(p-1)>0,n+κ-λ2/(q-1)>0

(19)

的情形. 此时有

利用θ的定义易得

再利用式(12)可得

-(n+κ)(p-1)+λ1-pθ=-(n+κ)(q-1)+λ2+θ>-2.

因此, 在假设式(19)下, 有

(20)

进一步验证可知, 在假设式(18)下式(20)也成立. 注意到wR(0)关于R∈(1,+∞)是单调不减的, 且sup{wR(0):R>1}>0. 根据式(20)可知, 存在一个充分大的R>1, 使得

于是由式(17)可推出

‖u(·,t)‖L∞(nB1)+‖v(·,t)‖L∞(nB1)→ +∞,t→T-.

表明(u,v)在有限时刻爆破. 证毕.

定理3设p,q>1,λ1,λ2≥0且κ>-n, 则当pq>(pq)c时, 问题(1)-(4)既存在爆破解, 也存在非平凡的整体解.

证明： 利用引理4和引理2及注1可知, 当初值充分小时, 问题(1)-(4)存在非平凡的全局解. 下面考虑问题(1)-(4)的爆破解情形. 设(u,v)是问题(1)-(4)的一个非负非平凡解. 类似于定理2的证明, 可得

(21)

其中:R>1;wR(t),C4(R),C5和θ的定义同前. 对于固定的R>1, 选取(u0,v0)充分大, 使得

(22)

将式(22)代入(21), 可得

再利用与定理2的证明相同的讨论即可知(u,v)在有限时刻爆破. 证毕.