带加性噪声和线性记忆的可拉伸吊桥方程的随机吸引子
2020-03-25姚晓斌
姚 晓 斌
(青海民族大学 数学与统计学院, 西宁 810007)
0 引 言
考虑如下带加性噪声和线性记忆的可拉伸吊桥方程
(1)
随机吸引子的存在性, 其中:U为2中带有光滑边界∂U的有界开集;u=u(x,t)是U×[τ,+∞)上的实值函数, 表示桥面在竖直方向的振动,u+为其正部, 即
(H1) ∀s∈+及某个δ>0,μ(s)∈C1(+)∩L2(+),μ(s)≥0,μ′(s)+δμ(s)≤0;
非线性项f∈C2(,),f(0)=0满足如下条件:
(H3) 增长性条件
其中C0是正常数;
(H4) 耗散性条件
sf(s)≥C2(F(s)-1), ∀s∈,
其中C1,C2是正常数.
(2)
其中:
(3)
(4)
(5)
(6)
吊桥方程是工程中一类重要的数学模型. 文献[2]研究了悬索桥的非线性振动; 文献[3-5]考虑并研究了类似的模型, 获得了解的存在性和衰退估计. 当hj(1≤j≤m)=0,p=β=μ=0时, 方程(1)退化为一个标准的确定性吊桥方程, 关于这类方程的研究已有很多结果[6-11], 如一致吸引子、 拉回吸引子以及指数吸引子等. 当p=β=0时, 带有历史记忆(即μ≠0)的吊桥方程解的渐近行为研究已取得了很多成果[12-14]. 当hj(1≤j≤m)=0,p,β,μ均不为零时, 这类方程被称为确定性的Kirchhoff型问题, 文献[15]在有界域上研究了这类问题吸引子的存在性.
当hj(1≤j≤m)≠0时, 文献[16]在有界域上证明了问题(1)当p=β=0时随机吸引子的存在性； 文献[17]研究了当μ=0时带有加性噪声的可拉伸吊桥方程的随机吸引子. 但对随机吊桥方程(1)解的渐近行为的研究目前尚未见文献报道, 本文主要考虑问题(1)随机吸引子的存在性. 为证明随机动力系统随机吸引子的存在性, 不失一般性, 关键是建立系统的渐近紧性. 对于系统(1), 本文通过引入新的变量并且定义一个三元解空间, 结合文献[18]中的紧性平移定理, 通过构造泛函并运用分解技巧, 得到了问题(1)随机吸引子的存在性.
1 预备知识
下面给出的与随机动力系统以及吸引子有关的基本概念可参见文献[19]. 设(X,‖·‖X) 是一个具有Borelσ-代数B(X)可分的Hilbert空间, (Ω,F,P,(θt)t∈)是一个度量动力系统.
定义1对于映射φ:+×Ω×X→X, 若其为(B(+)×F×B(X),B(X))可测的, 并且对所有的ω∈Ω,t,s∈+,x∈X, 满足下列条件：
1)φ(0,ω)x=x;
2)φ(s,θtω)∘φ(t,ω)x=φ(s+t,ω)x.
则称φ为X上关于(Ω,F,P,{θt}t∈)的动力系统. 进一步, 如果对于t≥0及ω∈Ω,φ关于x是连续的, 则称φ为连续随机动力系统.
设D是X中所有缓增集构成的集合, 且
D={D={D(ω)}ω∈Ω:D(ω)⊆E1, e-γtd(D(θ-tω))→0,t→+∞},
定义2如果随机集A∶={A(ω)}ω∈Ω∈X满足下列条件, 则称A为随机动力系统φ的随机吸引子:
2) A是φ-不变的, 即对所有的t≥0及a.e.ω∈Ω,φ(t,ω,A(ω))=A(θtω);
3) A吸引X中的每个集合, 即对所有的有界集(非随机)B⊂X, 有
其中dH(·,·)表示X中两个子集之间的Hausdorff半距离.
命题1[19]设φ是X上关于(Ω,F,P,(θt)t∈)的连续随机动力系统. 假设存在随机紧集K(ω), 使得对每个有界非随机集合B∈X, 均有
2 解的存在唯一性
记A=Δ2,A1/2=-Δ,D(A)={u∈H2(U)∩H01(U)|Au∈L2(U)}. 定义Hr=D(Ar/4), 易见其为一个Hilbert空间, 具有如下内积及范数:
(u,v)r=(Ar/4u,Ar/4v), ‖·‖r=‖Ar/4u‖, ∀u,v∈Hr.
下面将证明初值问题(2)解的存在性、 唯一性及连续依赖性, 并在和(Ω,F,P,(θt)t∈)上生成一个连续的随机动力系统. 首先将问题(2)转化为一个带有随机参数的确定性系统, 然后证明其可生成一个随机动力系统. 考虑Ornstein-Uhlenbeck方程:
dzj+zjdt=dWj(t),j={1,2,…,m},
(7)
(8)
v(t,ω,x)=ut(t,ω,x)+εu(t,ω,x),t≥τ,ψ(t,ω,x)=(u,v,η)T,
(9)
其中
(10)
设
w(t,ω,x)=ut(t,ω,x)+εu(t,ω,x)-z(θtω),φ=(u,w,η)T,
则问题(9)等价于E中带有随机参数的确定性系统:
(11)
其中
(12)
由文献[21]可知, 问题(2)中的算子L是E中一个C0半群{eLt}上的无穷小生成元. 因为-H=TεLT-ε,Tε是E的一个同胚, 算子-H也生成一个C0-半群{e-Ht}, 函数F(·,θtω,t):E→E对每个ω∈Ω关于φ和t在有界区间上是局部Lipschitz连续的, 并且F(φ,θtω,t)关于F在(φ,t)是连续的. 根据算子半群的标准理论及发展方程解的存在性和唯一性, 可得:
命题2设条件(H1)～(H4)成立, 则对每个ω∈Ω及φτ∈E, 均存在T>0, 使得系统(11)有唯一的温和解φ(·,ω,ψτ)∈C([τ,τ+T);E), 且φ(τ,ω,φτ)=φτ, 同时
(13)
进一步,φ(t,ω,φτ)关于φτ连续, 关于ω可测.
3 随机吸收集及连续随机动力系统的生成
引理1设条件(H1)～(H4)成立, 则存在随机变量r1(ω)>0及E中以0为中心、 以r1(ω)为半径的有界球B(ω)∈D, 对每个{D(ω)}ω∈Ω∈D, 存在tD(ω)>0, 使得带有初值 (u0,u1+εu0,η0)T∈B的系统(11)的解φ(t,ω;φτ(ω))满足: 对P-a.s.ω∈Ω, 有
即
φ(t,τ-t,θ-tω,B(τ-t,θ-tω))⊆B(ω), ∀t≥tD(ω).
(15)
证明: 在E中对方程(11)两边分别用φ(r)=(u(r),w(r),η(r))T做内积, 得
类似于文献[18]中引理4.1的估计, 有
(17)
对式(17)右端的每一项可估计如下:
(18)
(19)
(21)
(22)
(23)
由条件(H3),(H4)及Hölder不等式可得
再结合条件(H4), 得
将式(17)～(24)代入式(16)得
由于φ(τ,ω)∈D(ω)和D(ω)是调和的, 于是
设
由命题2和引理1, 对t∈[τ,∞), 解φ(·,ω,φτ)全局存在. 于是解φ(·,ω,φτ)∈C([τ,+∞);E), 从而可定义和(Ω,F,P,(θt)t∈)上的连续随机动力系统:
(27)
易见
(28)
Ψ(t,ω,ψτ)=TεΓT-ε:ψτ→ψ(t,ω,ψτ)
(29)
ψ(t,ω,ψτ)=φ(t,ω,ψτ)+(0,z(θtω),0)T,
(30)
4 解的分解
将系统(11)的解φ=(u,w,η)T分解成φ=φL+φN, 其中φL=(uL,vL,ηL)T且φN=(uN,wN,ηN)T分别满足方程
(31)
(32)
其中
(33)
引理2设D(ω)是D的一个非随机有界集, 则对任意的φL(τ,ω)=(u0,u1+εu0,η0)T∈D(ω), 有
(34)
其中φL=(uL,vL,ηL)满足式(31).
证明: 在E中对式(31)两边分别用φL=(uL,vL,ηL)T做内积, 得
(35)
经过简单计算有
(36)
将式(36)代入式(35)可得
(37)
即
(38)
φ(0,ω;φ(τ,ω))=φL(0,ω;φL(τ,ω))+(0,z(ω),0)∈B(ω),
由B(ω)的定义可得‖φL(0,ω,φL(τ,ω))‖E≤r1(ω)+|z(ω)|=M1(ω). 根据Gronwall不等式可得
(40)
证明: 在E中对方程(32)两边分别用A1/2φN=(A1/2uN,A1/2wN,A1/2ηN)T做内积, 得
对式(41)右端的各项, 可估计如下:
(43)
(44)
(46)
(47)
(48)
由条件(H3)、 式(14)及Sobolev嵌入定理可证得f(s)在L∞中一致有界, 即存在常数M>0, 使得|f′(s)|L∞≤M, 再结合Young不等式及Sobolev嵌入定理, 有
(49)
将式(42)～(49)代入式(41), 有
即
其中:ε3=min{ε,δ/2};
由于
这里
因此由引理1, 有
再运用Gronwall不等式可得
设
5 吸引子的存在性
2) 对∀s∈+, 存在K0>0, 使得
注意到对∀τ∈,ω∈Ω,t≥0, 有
(53)
(54)
定义集合
其中φ=(u,w,η)T是方程(11)的解. 则由引理3及式(53),(54)可得
(55)
(56)
(57)
(58)
对每个B(τ,ω)∈D, 有
(59)
由引理2可知,
φN(0,ω,φ(τ,ω))=φ(0,ω,φ(τ,ω))-φL(0,ω,φL(τ,ω))∈Λ(τ,ω).
(60)
根据引理4, 有
(61)
进一步, 对所有的t>0, 有
(62)
由Φ和Ψ之间的关系, 易知对任意的非随机有界集B⊂E, 有
dH(Ψ(t,τ-t,θ-tω,B(τ-t,θ-tω)),Λ(τ,ω))→0,t→+∞. P-a.s.
(63)
因此, 由命题1和引理1可知, 随机动力系统Φ有一个随机吸引子A(τ,ω)⊆Λ(τ,ω)∩B(ω).
