闭G-V模糊拟阵的模糊圈公理

吴德垠, 杨高进

(重庆大学 数学与统计学院, 重庆 401331)

Goetschel等[1]将模糊集合引入拟阵理论, 提出了模糊拟阵的概念(也称为G-V模糊拟阵[2]). 目前, 关于模糊拟阵的研究已有许多结果. 史福贵[3]将完全分配格应用于模糊集合和模糊化拟阵, 研究了格值模糊拟阵. 拟阵有许多等价刻画, 如“基公理”、 “圈公理”、 “闭包公理”和“秩公理”等[4], 这些等价刻画对拟阵研究有重要作用. 由于模糊拟阵研究的复杂性, 目前除一些非常特殊的模糊拟阵(如闭正规模糊拟阵的模糊基集特征[5])外, 还未找到一般模糊拟阵的等价刻画. 本文运用G-V模糊拟阵的模糊圈[6]概念, 构建一个类似于“圈公理”的“模糊圈公理”, 并在G-V模糊拟阵中, 应用该“模糊圈公理”对闭模糊拟阵进行等价刻画.

用初等模糊圈等价刻画闭模糊拟阵, 主要受3个因素的启发： 1) 确定了模糊独立集族即确定了一个模糊拟阵, 而模糊独立集族又可以通过模糊相关集集族确定; 2) 任何模糊相关集都包含一个模糊圈, 而一个模糊圈又包含一个初等模糊圈, 因此, 初等模糊圈是组成模糊相关集的基本部分； 3) 初等模糊圈与导出拟阵的圈有很强的对应关系, 而且有许多相似性质. 因此, 有可能通过导出拟阵的圈确定初等模糊圈. 文献[7-9]给出了利用导出拟阵讨论模糊拟阵的方法.

1 预备知识

设E={x1,x2,…,xN}是非空有限集合,E上的模糊集μ是一个映射μ:E→[0,1],E上模糊集的全体记为F(E). 本文使用的相关概念和符号参见文献[1], 相关拟阵理论参见文献[4]. 下面给出3个模糊集的构造方法：

∀μ∈F(E), ∀x0∈E, ∀r∈(0,1], 令

∀A⊆E, ∀r∈(0,1], 定义

称为高度为r的初等模糊集.

定理1(圈公理)[4]设C是E的子集族, 则C是E上某个拟阵全部圈组成集合(称为圈集)的充要条件是C满足下列条件:

1) 如果C1,C2∈C且C1≠C2, 则C1C2;

2) 如果C1,C2∈C且C1≠C2,x∈C1∩C2, 则存在C3∈C, 使得C3⊆(C1∪C2){x}.

根据文献[4], 定理1中2)还可以用下列更强的条件代替：

3) 如果C1,C2∈C且C1≠C2,x∈C1∩C2,y∈C1C2, 则存在C3∈C, 使得y∈C3⊆(C1∪C2){x}.

设M=(E,I)是由C确定的拟阵, 则

I={X⊆E|∀C∈C, 都有CX}.

需注意下列两种极端情形：

1) C=Ø⟺I={X|X⊆E}；

2) C ⊇{{x}|∀x∈E}⟺I={Ø}.

命题1[6]设M=(E,I)是拟阵, 若X∉I, 则必存在M的圈C, 使得C⊆X.

定义1[1]设l⊆F(E)是一个满足下列条件的非空模糊集族:

1)(继承性) 若μ∈l,ν∈F(E),ν≤μ, 则ν∈l;

2)(交换性) 若μ,ν∈l, |suppμ|<|suppν|, 则存在ω∈l, 使得：

①μ<ω≤μ∨ν;

②m(ω)≥min{m(μ),m(ν)}.

这种模糊拟阵也称为G-V模糊拟阵[2]. 本文的“模糊拟阵”均指“G-V模糊拟阵”.

1)r0=0,rn≤1；

2) 当0rn时,Ir={Ø};

3) 若∀s,t∈(ri,ri+1), 则Is=It(0≤i≤n-1)；

4) 若ri

序列0=r0

根据文献[10]中定理1.8, ∀μ∈F(E),μ∈l ⟺∀r∈(0,1], 都有Cr(μ)∈Ir.

为便于描述, 本文统一规定：

1)Mr0=M0=(E,I0),I0={X|∀X⊆E};

2) 当rn<1时, 令rn+1=1,Mrn+1=(E,Irn+1),Irn+1={Ø}.

1)Cβ1(μ)是Mβ1的圈;

2)Cβi(μ)∈Iβi, 2≤i≤k.

这里初等模糊圈是指既是初等模糊集又是模糊圈的模糊集.

根据推论2, 任何模糊相关集都包含一个模糊圈. 根据推论1, 任何模糊圈都包含一个初等模糊圈. 因此, 初等模糊圈是组成模糊相关集的基础.

τ(μ)和(μ)=(τ(μ),m(μ)]分别称为模糊圈μ的圈函数和圈区间[6].

a∈suppμ1∩suppμ2,b∈suppμ1suppμ2, 且(μ1)∩(μ2)≠Ø,

2 模糊圈的性质

考虑一个特例,ζ=Ø(即没有模糊圈)的充要条件是

l={μ∈F(E)|μ≤ω(E,1)},

首先可断定导出拟阵圈具有某种连续性.

1) ∀λ∈(rj,rk],A是Mλ的圈;

2) ∀λ∈[0,1](rj,rk],A都不是Mλ的圈.

证明： 首先证明如果A是Mri和Mri+2(假设i+2≤n)的圈, 则A也是Mri+1的圈. 由A是Mri的圈知,A∉Iri⊃Iri+1, 因此A是Mri+1的相关集. 又由A是Mri+2的圈知, ∀x∈A, 均有A{x}∈Iri+2⊂Iri+1. 因此,A是Mri+1的圈.

此外, 令I0=Ir0={X|X⊆E}(自由拟阵[4]).

1) 首先寻找j. 考察A是否为Mri-1(i-1>0时)的圈. 如果A不是Mri-1的圈, 则终止. 如果A是Mri-1的圈, 则继续考察A是否为Mri-2(i-2>0时)的圈, …… 由于Mr0=(E,Ir0)无圈, 因此, 该过程结束时, 会找到j(j=0,1,2,…,i-1), 使得A是Mrj+1的圈, 但不是Mrj的圈.

其次寻找k. 考察A是否为Mri+1(i+1≤n时)的圈. 如果A不是Mri+1的圈, 则终止. 如果A是Mri+1的圈, 则继续考察A是否为Mri+2(i+2≤n时)的圈, …… 由于n的有限性, 因此最终会找到k(k=i,i+1,…,n), 使得A是Mrk的圈. 如果k

综上可知,A是Mrj+1,…,Mri,…,Mrk的圈, 且∀λ∈(rj,rk], 必存在l(l=j,…,k-1), 使得λ∈(rl,rl+1]. 根据导出拟阵性质知,Ml=Mrl+1. 因此A是Mλ的圈. 显然j

当l+1≤jj时,A是Mrk和Mrl+1的圈, 且l+1≥k+1>k. 因此A是Mrk+1的圈. 与k的选取矛盾. 综上所述, ∀λ∈[0,rn](rj,rk],A都不是Mλ的圈.

如果rn=1, 则∀λ∈[0,1](rj,rk],A都不是Mλ的圈. 如果rn<1, 则∀λ∈(rn,1]=(rn,rn+1], 由定理2知,Iλ={Ø}. 所以由定理1, ∀x∈E, {x}均为Mλ的圈(环). 且Mλ没有非环圈. 所以, 若|A|>1, ∀λ∈(rn,1](rj,rk],A不是Mλ的圈. 若|A|=1,A是M1=Mrn+1的圈(环). 此时, 与A对应的j≤n

(rn,1](rj,rk]=(rn,1](rj,1]=Ø.

从而∀λ∈[0,1](rj,rk],A都不是Mλ的圈. 证毕.

注意在定理7中, 若rn<1, 则令rn+1=1时,M1=(E,{Ø}), 从而可将rn<1和rn=1统一考虑. 如无特殊说明, 为叙述简便, 下面讨论都按rn=1进行.

由定义3可知, 映射π的像取决于模糊圈的支撑集, 而与其模糊隶属度没有本质联系. 因此, 映射π也可定义在初等模糊集ε上. 即π′:ε→{r0,r1,…,rn-1}×{r1,…,rn}, 其像可通过定理7确定.

∀μ∈ζ, 根据推论1, 存在初等模糊圈ν∈ε, 模糊独立集ω∈l, 使得μ=ν∨ω, 则π(μ)=π′(ν). 反之, ∀ν∈ε, 都有π(ν)=π′(ν). 所以π与π′只有原像域不同. 本文将映射π和π′都视为广义圈函数.

由定理7和定义3, 类似文献[6]中定理3.4, 可得如下定理.

1) ∀λ∈(rj,rk], suppμ均为Mλ的圈;

2) ∀λ∈[0,1](rj,rk], suppμ都不是Mλ的圈;

3) ∀λ∈[0,rj], suppμ∈Iλ; ∀λ∈(rk,1](如果rk<1), suppμ∉Iλ;

4) ∀ri∈{r1,…,rn}, 均存在ν∈ζ, 使得π(ν)=(ri,β)或π(ν)=(α,ri).

证明： 令A=suppμ. 则:

1) 根据定理7可知,A是Mλ的圈.

2) 当λ∈[0,1](rj,rk]时, 根据定理7知,A不是Mλ的圈.

3) 若存在λ∈[0,rj], 使得suppμ∉Iλ, 则由命题1知, 存在Mλ的圈C, 使得C⊆suppμ. 此时ω(C,λ),ω(suppμ,rk)均为初等模糊圈, 且ω(C,λ)≤ω(suppμ,rk). 由定理4知, 必有C=suppμ, 即suppμ也是Mλ的圈. 与π(μ)的定义矛盾. 所以suppμ∈Iλ. ∀λ∈(rk,1](如果rk<1), 都有rk<λ, 如果suppμ∈Iλ, 则由suppμ∈Iλ⊆Irk知, 与suppμ是Mrk的圈矛盾. 因此suppμ∉Iλ.

4) ∀ri∈{r1,…,rn}, 当i

如果Mri+1的圈总是Mri的圈, 则Cri⊇Cri+1, 于是Cri⊃Cri+1. 再取C∈CriCri+1, 则C是Mri的圈, 而非Mri+1圈. 构造ν=ω(C,ri), 显然ν∈ζ, 则由定义3知, 存在α∈{r0,r1,…,rn-1}, 使得π(ν)=(α,ri).

当i=n时, 考察导出拟阵Mrn. 由于上述证明已排除自由模糊拟阵的情形, 因此Mrn必有圈C. 构造初等模糊圈ν=ω(C,rn), 则ν∈ζ. 如果rn=1, 则存在α∈{r0,r1,…,rn-1}, 使得π(ν)=(α,1)=(α,rn). 如果rn<1, 则由Irn⊃{Ø}知, 必存在x∈E, 使得{x}不是Mrn的环. 但{x}是M1=Mrn+1=(E,{Ø})的环. 取ν=ω({x},1)∈ζ, 则π(ν)=(rn,1). 证毕.

下面讨论定义3中的广义圈函数和圈范围与文献[6]中的圈函数和圈区间的关系. 由文献[6]知,τ(μ)和(μ)分别表示模糊圈μ的圈函数和圈区间.

1) 设μ∈ζ,π(μ)=(rj,rk), 则τ(μ)=rj且

2) 任取μ∈ζ, 均存在ν∈ε, 使得ν≤μ,m(ν)=m(μ), suppν=suppμ, 且π(μ)=π(ν).

2) 根据推论1, 存在ν∈ε, ϖ∈l, 使得μ=ν∨ϖ且supp ϖ⊂suppμ, 于是ν≤μ且suppν⊆suppμ. 取x∈suppμsupp ϖ, 可得ν(x)=μ(x)≥m(μ). 因此由ν是初等模糊圈知,m(ν)=ν(x)=μ(x)≥m(μ). 由μ=ν∨ϖ知ν≤μ, 因此m(ν)≤m(μ). 于是m(ν)=m(μ). 令λ=m(ν)=m(μ). 由Cλ(ν)=suppν,Cλ(ν)=suppμ都是Mλ的圈且suppν⊆suppμ知, 必有suppν=suppμ. 由suppν=suppμ和广义圈函数的定义可知,π(μ)=π(ν). 证毕.

由定义3和定理9可知：

1) 圈函数是广义圈函数的一部分, 其只与模糊圈的支撑集有关, 而与模糊隶属度没有必然联系;

2) 圈区间是圈范围的一部分. 因此, 广义圈函数和圈范围是圈函数和圈区间的推广.

2) 设μ∈l,λ∈(0,m(μ)], 若存在x0∈Esuppμ, 使得μ*=μ‖λx0∉l, 则存在初等模糊圈ν, 使得ν≤μ*且m(ν)=λ.

μ=ω(Cλ1(μ),λ1)∨…∨ω(Cλk(μ),λk)=ν*∨ω*,

且m(ν*)=λ1=m(μ). 因此, 取ν=ν*,ω=ω*即可知结论成立.

2) 同理设R+(μ)={λ1,λ2,…,λk}(0<λ1<…<λk≤1). 显然m(μ)=λ1, 且

μ*=ω(Cλ1(μ)∪{x0},λ)∨ω(Cλ1(μ),λ1)∨…∨ω(Cλk(μ),λk).

由于μ*∉l, 当λ=m(μ)时, 有Cλi(μ*)=Cλi(μ)∈Iλi(i=2,…,k), 因此必有Cλ1(μ*)=Cλ1(μ)∪{x0}∉Iλ1; 当0<λ

模糊独立集加入某个元素(其模糊隶属度不超过原模糊集的最小模糊隶属度)后成为模糊相关集, 称该模糊相关集为简单模糊相关集. 定理10中2)指出, 简单模糊相关集存在最小模糊隶属度可达的初等模糊圈. 由于圈范围比圈区间更广, 因此定理6对整个圈范围不一定完全成立. 本文将定理6修改为如下定理.

suppν≤supp ((μ1∨μ2)\a),b∈suppν.

a∈suppμ1∩suppμ2,b∈suppμ1suppμ2.

因此由定理1中3)知, 存在Mλ的圈C, 使得

b∈C⊆(suppμ1∪suppμ2){a}.

b∈suppν=C≤(suppμ1∪suppμ2){a}=supp((μ1∨μ2)\a).

证毕.

1)α<β;

2) ∀λ∈(α,β], 均有ω(suppμ,λ)∈ε; ∀λ∈[0,1](α,β], 均有ω(suppμ,λ)∉ε.

证明： 不妨设π′(μ)=(α′,β′). 必要性即为定理7及定理8中1)和2).

下面证明充分性, 即σ(μ)=π′(μ). 不妨设R+(μ)={θ}, suppμ=A, 则μ=ω(A,θ). 显然,θ∈(α,β]∩(α′,β′]≠Ø.

首先证α=α′. 如果α<α′, 则由条件1)知, (α,α′]∩(α,β]≠Ø. 取γ∈(α,α′]∩(α,β], 则由条件2)知ω(A,γ)∈ε. 但γ∈(α,α′]∩(α,β]⊆[0,α′], 由π′的定义知,ω(A,γ)∉ε, 矛盾. 所以α≥α′. 如果α>α′, 则(α′,α]∩(α′,β′]≠Ø. 取γ∈(α′,α]∩(α′,β′], 则由π′的定义知ω(A,γ)∈ε. 但

γ∈(α′,α]∩(α′,β′]⊆[0,α]⊆[0,1](α,β],

由条件2)知,ω(A,γ)∉ε, 矛盾. 所以α=α′.

其次证β=β′. 如果β<β′, 则(β,β′]∩(α′,β′]≠Ø. 取γ∈(β,β′]∩(α′,β′], 则由π′的定义知ω(A,γ)∈ε. 但γ∈(β,β′]∩(α′,β′]⊆(β,1], 由条件2)知,ω(A,γ)∉ε, 矛盾. 所以β≥β′. 如果β>β′, 则(β′,β]∩(α,β]≠Ø. 取γ∈(β′,β]∩(α,β], 则由条件2)知ω(A,γ)∈ε. 但γ∈(β′,β]∩(α,β]⊆(β′,1], 由π′的定义知,ω(A,γ)∉ε, 矛盾. 所以β=β′. 证毕.

如果rn<1, 则取rn+1=1,Mrn+1=(E,Irn+1),Irn+1={Ø}. 此时, 上述i可取到n+1.

充分性. 由定理3知,μ∈ε. 如果rn<1, 则取rn+1=1,Mrn+1=(E,Irn+1),Irn+1={Ø}. ∀λ∈(rn,rn+1]=(rn,1]都有Iλ=Irn+1={Ø}. 所以∀x∈E,C={x}都是Mλ=Mrn+1的圈, 从而μ=ω(C,λ)∈ε. 证毕.

易见模糊圈、 初等模糊圈和导出拟阵圈有如下关系:

则suppζ=suppε=.

3 闭模糊拟阵的模糊圈公理

1)(规范性) Ø∉ε； Crn≠{{x}|∀x∈E}； 若rn<1, 则∀r∈(rn,1], Cr={{x}|∀x∈E}.

2)(反包含性) ∀μ,ν∈ε, 若μ≤ν, 则suppμ=suppν.

4)(广义圈函数) 如果rn<1, 令rn+1=1, 则有映射

π*:ε→{r0,r1,…,rn}×{r1,r2,…,rn+1},

如果rn=1, 则有映射

π*:ε→{r0,r1,…,rn-1}×{r1,r2,…,rn},

使得∀μ∈ε,π*(μ)=(α,β), 且满足下列条件：

① 0≤α<β≤1;

② ∀ri∈{r1,…,rn}, 均存在ν∈ε, 使得π*(ν)=(ri,β′)或π*(ν)=(α′,ri);

③ ∀λ∈(α,β], 均有ω(suppμ,λ)∈ε; ∀λ∈[0,1](α,β], 均有ω(suppμ,λ)∉ε;

④ ∀μ,ν∈ε, 如果suppμ=suppν, 则π*(μ)=π*(ν).

5)(合成性) ∀μ,ν∈ε, 若

suppμ≠suppν,π*(μ)=(α1,β1),π*(ν)=(α2,β2),

(α1,β1]∩(α2,β2]≠Ø, suppμ∩suppν≠Ø,

任取x0∈suppμ∩suppν, 任取λ∈(α1,β1]∩(α2,β2], 则均存在σ∈ε, 使得σ=ω(suppσ,λ)且suppσ⊆supp((μ∨ν)\x0).

证明： 由于总有Ø∈l, 因此Ø∉ε. 根据定理2, ∀r∈(0,rn], 均有Ir≠{Ø}, 因此Irn≠{Ø}. 再由定理1知,Irn≠{Ø}等价于Crn≠{{x}|∀x∈E}. 当rn<1时, ∀r∈(rn,1], 根据定理2,Ir={Ø}. 因此Cr={{x}|∀x∈E}. 所以1)成立.

2) 即为定理4.

3) 只要证明μ∈l, 再利用定理10即可. 如果μ∉l, 则由推论2知, 存在模糊圈ν, 使得ν≤μ. 再由推论1, 存在初等模糊圈ϖ和模糊独立集σ, 使得ν=ϖ∨σ. 则ϖ≤ν≤μ, 与已知矛盾.

4) 取π*为广义圈函数, 应用定理7和定理8即知①,②,③成立. 再根据广义圈函数的定义知④成立.

5) 为定理11的弱化. 由suppμ≠suppν, 必有suppμsuppν≠Ø或suppνsuppμ≠Ø. 如果为前者则取μ1=μ,μ2=ν; 如果为后者则取μ1=ν,μ2=μ. 再用定理11即知结论成立. 证毕.

命题2中性质1)可视为某种规范性, 排除了一些特殊和平凡的情况； 性质2)表明初等模糊圈不能相互真包含; 性质3)说明简单模糊相关集都包含最小模糊隶属度可达的初等模糊圈; 性质4)为圈函数推广到广义圈函数; 性质5)是初等模糊圈的某种合成性, 两个“较小”的初等模糊圈, 可以合成一个“更大”的初等模糊圈. 性质1),2),3)和5), 在普通拟阵中都存在, 只是具体内容和描述可能有变化, 而性质4)在普通拟阵中没有对应的性质, 因此, 性质4)最能体现拟阵和模糊拟阵(或圈与模糊圈)的差异.

(1)

则l*=l.

定理14表明, 只要找到初等模糊圈集, 即可唯一确定一个闭模糊拟阵.

下面证明一个初等模糊集族(下面涉及的初等模糊集族均非空)、 一组数和一个映射, 在满足一定条件时, 可以确定一个模糊拟阵.

证明： 只需证明l*满足定义1中1)和2).

∀μ∈l*及∀ν∈F(E), 若ν≤μ, 必有ν∈l*. 否则, 若存在ϖ∈ε, 使得ϖ≤ν, 则由ϖ≤ν≤μ知, 矛盾. 故l*满足定义1中1)继承性. 下面证明l*满足定义1中2)交换性.

取μ,ν∈l*, 使得|suppμ|<|suppν|. 下面需找到ω∈l*, 使得μ<ω≤μ∨ν且m(ω)≥min{m(μ),m(ν)}.

令|suppμsuppν|=k, 对k采用归纳法. 当k=0时, 有suppμ⊂suppν. 取x0∈suppνsuppμ, 构造模糊集μ′(x)=μ‖λ0x0, 其中λ0=min{m(μ),m(ν)}. 显然,μ<μ′≤μ∨ν,m(μ′)=λ0≥min{m(μ),m(ν)}.

如果μ′∉l*, 则存在μ″∈ε, 使得μ″≤μ′. 根据命题2中性质3), 可得m(μ″)=m(μ′)=λ0, 进而

μ″=ω(suppμ″,λ0)≤ω(suppμ∪{x0},λ0)≤ν.

结合ν∈l*和l*满足继承性知, 矛盾. 因此μ′∈l*. 取ω=μ′可知结论成立.

假设当0<|suppμsuppν|

1) 若ν′∈l*, 则|suppμ|<|suppν|<|suppν′|且|suppμsuppν′|

μ<ω′≤μ∨ν′,m(ω′)≥min{m(μ),m(ν′)}≥min{m(μ),m(ν)},

此时, 取ω=ω′即可.

2) 若ν′∉l*, 则根据l*的定义和命题2中性质3)知, 存在ν*∈ε, 使得ν*≤ν′,m(ν*)=m(ν′)=λ0(即ν*=ω(suppν*,λ0)), 且必有x0∈suppν*.

断言suppν*suppμ≠Ø. 否则, suppν*⊆suppμ且

m(ν*)≤ν*(x0)≤ν′(x0)=λ0≤m(μ).

因此ν*≤μ, 与μ∈l*矛盾. 取x1∈suppν*suppμ, 由x0∈suppν*∩suppμ知,x1≠x0. 构造模糊集：

ν″=ν′\x1=(ν‖λ0x0)\x1=(ν\x1)‖λ0x0.

由ν″(x0)=λ0和m(ν″)≥m(ν\x1)≥m(ν)≥λ0知,m(ν″)=λ0.

①ν″∈l*. 如果ν″∉l*, 则由l*满足继承性知,ν\x1∈l*. 再由ν\x1∈l*,x0∈Esupp(ν\x1)和命题2中性质3)知, 存在ν**∈ε, 使得ν**≤ν″,m(ν*)=m(ν″)=λ0, 且必有x0∈suppν**. 即

ν*=ω(suppν*,λ0),ν**=ω(suppν**,λ0),

且ν*,ν**∈ε. 由ν**≤ν″=ν′\x1知,x1∉suppν**, 因此suppν*≠suppν**. 根据映射π*满足命题2中性质4)知, 若π*(ν*)=(α1,β1),π*(ν**)=(α2,β2), 则由λ0∈(α1,β1]∩(α2,β2]知, (α1,β1]∩(α2,β2]≠Ø, 且ν*,ν**∈ε,x0∈suppν*∩suppν**. 利用命题2中性质5), 取λ0∈(α1,β1]∩(α2,β2], 则存在ν***∈ε, 使得ν***=ω(suppν***,λ0), 且suppν***⊆supp((ν*∨ν**)\x0). 但

与ν∈l矛盾. 故ν″∈l*. 即ν″=ν′\x1=(ν‖λ0x0)\x1∈l*.

② 由x0∈suppμsuppν,x1∈suppν*suppμ和x1≠x0知, 仍有

|suppμ|<|suppν|=|supp((ν‖λ0x0)\x1)|=|suppν″|,

但

|suppμsuppν″|=|suppμsupp((ν‖λ0x0)\x1)|=|(suppμ{x0})(suppν{x1})|

根据归纳假设, 存在ω′∈l*, 使得

μ<ω′≤μ∨ν″≤μ∨ν,m(ω′)≥min{m(μ),m(ν″)}≥λ0=min{m(μ),m(ν)}.

下面找出定理15确定的模糊拟阵的初等模糊圈集.

下面证明ε*⊆ε. ∀μ∈ε*, 设μ=ω(suppμ,λ), 当然μ∉l*. 根据l*的定义, 存在ν∈ε⊆ε*, 使得ν≤μ. 由定理4知suppν=suppμ. 不妨设π*(ν)=(α,β).

故ε=ε*. 证毕.

定理17设ε⊆F(E)是初等模糊集组成的模糊集族, 取数列0=r0

Ci={C⊆E|存在μ∈ε,π*(μ)=(α,β), 使得(α,β]∩(ri-1,ri]≠Ø且C=suppμ},

则Ci都是E上某个拟阵Mi=(E,Ii)的圈集.

证明： 首先Ci还有一个等价表示:

Ci={C⊆E|存在μ∈ε,π*(μ)=(α,β), 使得(α,β]⊇(ri-1,ri]且C=suppμ},

这是因为由命题2中性质4)的①, 有α<β. 又由映射π*的定义知,α,β∈{r0,r1,…,rn}或α,β∈{r0,r1,…,rn,1}(rn<1). 因此可得

(α,β]∩(ri-1,ri]≠Ø⟺(α,β]⊇(ri-1,ri].

下面证明Ci满足定理1中1)和2). 由假设及命题2中性质1)， 注意到ε≠Ø且∀C∈ε, 均有C≠Ø.

1) 任取C1,C2∈Ci且C1≠C2, 必有C1C2. 否则, 不妨设C1⊂C2. 存在μ1,μ2∈ε, 使得π*(μ1)=(α1,β1),π*(μ2)=(α2,β2),C1=suppμ1,C2=suppμ2. 且由Ci的等价表示知(α1,β1]⊇(ri-1,ri], (α2,β2]⊇(ri-1,ri]. 取λ∈(ri-1,ri]⊆(α1,β1]∩(α2,β2], 根据命题2中性质4)的③, 有ω(C1,λ),ω(C2,λ)∈ε且ω(C1,λ)<ω(C2,λ). 再利用命题2中性质2)知,

C1=suppω(C1,λ)=suppω(C2,λ)=C2,

与C1⊂C2矛盾. 所以Ci满足定理1中的1).

2) 任取C1,C2∈Ci且C1≠C2,x∈C1∩C2, 存在μ1,μ2∈ε, 使得

π*(μ1)=(α1,β1),π*(μ2)=(α2,β2),C1=suppμ1,C2=suppμ2,x∈suppμ1∩suppμ2.

同理由Ci的等价表示知, (α1,β1]⊇(ri-1,ri], (α2,β2]⊇(ri-1,ri]. 由于(ri-1,ri]⊆(α1,β1]∩(α2,β2]≠Ø, 根据命题2中性质5), 取λ∈(ri-1,ri], 则存在σ∈ε, 使得σ=ω(suppσ,λ), 且

suppσ≤supp((μ1∨μ2)\x)=(suppμ1∪suppμ2){x}=(C1∪C2){x}.

令C3=suppσ和π(σ)=(α3,β3). 由λ∈(ri-1,ri]知, (α3,β3]⊇(ri-1,ri]. 因此C3∈Ci. 于是Ci满足定理1中2).

故Ci是E上某个拟阵的圈集, 它所确定的拟阵设为Mi=(E,Ii). 由定理1知,Ii={X⊆E|∀C∈Ci, 都有CX}. 证毕.

定理18设ε⊆F(E)是初等模糊集组成的模糊集族, 取数列0=r0

证明： 根据定理17,Ii={X⊆E|∀C∈Ci, 均有CX}. 令是Mri=(E,Iri)的圈集, 则

由于Iri={Cri(μ)⊆E|∀μ∈l*}和ri-1

从而可知, 只要μ∈ε,π*(μ)=(α,β), (α,β]∩(ri-1,ri]≠Ø, 均有(α,β]⊇(ri-2,ri]. 因此不存在ν∈ε, 使得π*(ν)=(ri-1,β)或π*(ν)=(α,ri-1). 结合命题2中性质4)的②知, 矛盾. 故Iri⊂Iri-1. 证毕.

推论4在定理18的假设下, ∀r∈(ri-1,ri], 令Ir={Cr(μ)⊆E|∀μ∈l*}, 则Ir=Iri=Ii.

由命题3和推论4知如下结论成立：

证明： 按照确定基本序列和导出拟阵列的定理2证明.

∀r∈(0,1], 令Ir={Cr(μ)⊆E|∀μ∈l*}.

1) 根据命题2中性质4)有r0=0,rn≤1.

2) 当0rn, 此时1≥r>rn. 根据命题2中性质1), Cr={{x}|∀x∈E}, 因此Ir=Ø.

3) 若s,t∈(ri-1,ri), 则根据推论4知,Is=Iri=It.

4) 若ri-1

利用定理12, 可得如下推论:

综上, 易得闭G-V模糊拟阵的模糊圈公理.

定理20(闭G-V模糊圈公理) 设ε⊆F(E)是初等模糊集组成的模糊集族, 取数列0=r0

证明： 必要性即为命题2.

注意到可能ε=Ø. 此时, 也有ζ=Ø, 其对应的闭模糊拟阵是唯一的, 即模糊自由拟阵. 要排除该情况, 只需取ε≠Ø即可.

综上所述, 本文首先指出了闭模糊拟阵可由其初等模糊圈集唯一确定； 然后讨论了闭模糊拟阵的初等模糊圈集的若干性质; 最后, 利用这些性质, 提出并证明了闭G-V模糊拟阵的模糊圈公理.