浅谈图论网上教学

田应智

[摘           要]  结合图论课程的自身特点和网络教学的特点，探讨了图论的网上教学。首先介绍了图论课程的特点和图论的传统课堂教学。其次探讨了图论网上教学的三个环节：课前预习环节，网上直播教学环节，课后作业与辅导环节。最后给出关于图论网上教学的个人总结。

[关    键   词]  图论;传统教学;网上教学

[中图分类号]  G642                 [文献标志码]  A              [文章编号]  2096-0603（2020）22-0196-02

一、图论的传统课堂教学

图论最早可以追溯到哥尼斯堡七桥问题。1736年，欧拉把哥尼斯堡七桥问题抽象成一个图论问题，证明了不存在经过每座桥恰好一次的路径，这被认为是图论方面最早的文章。自此以后，很多著名的问题被提出，如四色猜想、哈密尔顿圈问题等，这些问题推动着图论的发展。20世纪以来，随着计算机网络的出现，图论迎来了快速的发展，并最终形成了一门独立的学科。网络可以模拟化为图，因此图论理论可以用来解决网络的相关问题。一方面图论的发展为网络的发展提供理论依据和支持;另一方面网络的发展也为图论提供了需要解决的问题，推动图论自身的发展。如今，图论已经形成多个分支，如随机图论、代数图论和化学图论等，这些分支与其他数学学科产生了紧密的联系，不但能用这些学科的一些方法和结论，还为这些数学学科中的一些问题提供解决思路和工具。图论在其他学科领域也有着广泛的应用，如理论计算机科学、运筹学、化学和生物学等。

图论学科有别于其他传统的数学学科，比如数学分析是建立在极限理论的基础上，高等代数是建立在解线性方程理论的基础上。图论的研究内容非常丰富和广泛，没有统一的理论基础和研究方法，基本上每一个分支甚至每一类问题都要用不同的研究工具和方法。比如四色猜想的证明要用禁止子图和计算机编程去解决;图的连通性的研究是建立在Menger定理的基础上;图的平面性研究是建立在禁止子图和子式理论基础上;图的网络流研究是建立在最大流最小割定理的基础上。图论与不同的学科交叉可以形成不同的图论分支，比如图论和随机方法的交叉形成随机图;图论与代数的交叉形成代数图论;图论和计算机理论的交叉形成图论的算法理论;图论与化学的交叉形成化学图论。总之，图论的研究内容非常广泛，图论各个分支的研究方法和理论基础不尽相同。

由于图论的学科特点，图论的传统课堂教学有如下的特点：（1）图论的应用背景使得在教学中可用的例子比较多，有助于吸引学生的注意力，提高学生的学习兴趣;（2）图论教学中所涉及的内容和概念非常多，有时候围绕一个问题的研究就有相应的术语和概念，这在具体的教学中会给学生带来一些困扰;（3）图论中问题的叙述普遍比较易懂，但是问题背后有着深刻的内涵，解决起来不见得容易，有些问题的解决非常棘手，有很多的公开问题;（4）图论中的很多证明非常漂亮、简洁，许多证明的方法不一，这会给学生展现图论之美;（5）图论中的很多证明可以用图直观展示让学生一目了然，然后再用严格的图论语言去讲解，这种数形结合的思想是图论教学的一大特点。

图论的传统课堂教学中也存在一些问题：（1）图论教学中注重理论的讲解与推导，相关应用问题的讲解偏少。由于图论中的概念、定义和定理比较多，如果只对理论部分讲解，则学生会逐渐失去兴趣，并会产生枯燥的感觉，所以在讲解图论知识的同时要加入相关背景和应用的介绍。如在讲连通性理论的时候可以结合网络的可靠性;讲欧拉图理论的时候可以结合中国邮递员问题;讲哈密尔顿图理论的时候可以结合旅行售货员问题;讲匹配理论可以结合人事分配问题;讲着色理论可以结合四色猜想。（2）教学资源需要进一步完善。现在开图论课程的院校很多，但可用的教学资源还不多，还需要制作一些优质的课件、丰富的试题库及其辅助测试评价系统等。（3）根据学生的情况，探索适合学生的教学方法。要根据学生的专业和所处的水平，制订适合学生的教学大纲。在教学过程中，争取做到因材施教，让学生学有所获，学有所成。

二、图论的网上教学

本小节主要从课前预习、网上直播教学和课后作业与辅导三个环节讨论图论的网上教学。

（一）课前预习环节

课前预习是教学的一个重要环节，也是教学质量的重要保证。要把具体的课前预习内容布置给学生，不能笼统地说一句“大家把下一次课的内容提前复习一下”之类的话。我是利用中国大学慕课上的慕课资源来辅助教学的，对于慕课的选择要根据自己所用的教材和学生的具体情况来定。慕课的好处是把知识点拆开，形成小的教学模块，但不足在于知识碎片化，不利于学生的系统学习。这就要求结合慕课教学和网上直播教学，使得学生又快又好地掌握教学内容。我会在上课前把下次上课所涉及的慕课内容布置给学生提前观看和学习，通过观看慕课内容，让学生对上课的内容有大致了解，把慕课学习的情况反馈给老师，这样老师在网上直播教学环节中，就能做到有的放矢，重点突出;对大家普遍比较容易理解的知识点就可以快速讲解，甚至一带而过;对大家不容易理解的知识点要做到重点讲解，举一反三，做到让学生真正掌握和理解。

（二）网上直播教学环节

网上直播教学环节是整个网上教学环节的重中之重。教师要根据慕课学习的情况，结合网络教学的特点和传统课堂的教学经验，做好网上直播教学环节。

1.要选好网上直播平台。如果学校有自己的网络直播平台就用学校的平台，这样就可以避免网络平台高峰时段的拥堵，也能更好地保護自己直播的版权，也可以用来制作自己的慕课。如果自己学校没有网络直播平台，就可以选择市场上的一些免费直播平台，如腾讯会议、钉钉群直播、Zoom会议等。腾讯会议是腾讯公司专为网上会议而打造的一个平台，它的界面简洁，可以随时加入会议，可以共享屏幕，但不能自动录屏。钉钉是阿里巴巴专为办公打造的一款应用软件，它的功能丰富，有群通知、打卡签到、作业布置等功能，其中钉钉群直播自动共享屏幕，自动录屏，这样学生可以回看网上直播视频。Zoom视频会议和腾讯视频会议的功能类似，都提供不同场景的会议模式，满足不同的需求，可以共享屏幕和录制视频会议。

2.要做好课件。好的课件会提高学生的学习效果，减少学生在屏幕上学习的疲劳程度。怎样才能做出好的课件呢？我认为应该注意以下事项：（1）每张幻灯片不要放太多的内容，不要放不讲的内容，这样就会重点突出，不会混淆视听，让学生学习到最重要的内容;（2）幻灯片里不能只写大段的文字，这样学生不可能在很短的時间里一边听老师讲一边去读所有的文字，所以在幻灯片里，如果这些文字确实有必要出现，可以尝试用关键词代替，或把重要的文字用其他颜色标出;（3）字体要统一，不管是标题还是小节内容，最好用统一的字体，这样会让人有一种整洁的感觉，也显得比较正式和专业;（4）不宜用过多的颜色，会有一种花里胡哨的感觉，容易分散学生注意力，也会有一种不正式、不严肃的感觉;（5）幻灯片里可以插入一些图画、短片和动画，这样在讲解过程中能起到调节学生思维的作用，提高学生的注意力和兴趣，减少学生的视力疲劳感。

3.要做好网络直播课的在线讲解。这个过程可以借鉴大家在传统课堂的经验。要调试好网络设备，如网络连接、耳机、麦克风、写字板等，要保证这些设备的正常运行。结合图论课程的自身特点和传统教学经验，图论网上直播教学要做好以下几点：（1）在上正式内容之前，先上一节图论的介绍课程，主要介绍图论的历史与发展。这可以让学生对图论这门课有个初步的认识，并激发学生学习的积极性和兴趣。比如哥尼斯堡七桥问题可以看作是图论的开端，介绍欧拉怎样把这个问题抽象成图论问题以及它与一笔画问题的联系和这个问题的推广结论。进一步，介绍中国邮递员问题怎样转化成欧拉问题，及怎样应用算法去解决中国邮递员问题。更进一步，介绍和中国邮递员问题相关的旅行售货员问题。和中国邮递员问题比起来，旅行售货员问题至今还没有好的算法。这就牵扯到算法理论，如P问题、NP问题等。这个问题的介绍，不但能让学生对图论发展有初步认识，还能培养学生学习知识和解决问题的思维方法。再比如四色猜想，这个问题大家都比较熟悉，对这个问题的研究过程就是一部图论着色理论建立的过程。四色问题的研究过程中，一度认为四色猜想被证明，但后来发现这个证明是有问题的。虽然借助计算机，四色猜想最终被证明，但到现在依然没有一个数学的证明。（2）在讲述理论知识的时候，要多加入实例的教学。图论的概念虽然很多很杂，但大多数概念都是从具体的应用场景中抽象出来的。比如在讲图的连通性理论时候，可以研究一些具体的网络的可靠性例子;讲哈欧拉环游问题的时候可以举例中国邮递员问题;讲哈密尔图问题的时候可以举例旅行售货员问题;讲匹配理论的时候可以举人事分配、课表安排和婚姻匹配等例子;讲Ramsey理论的时候可以举每六个人中有三个人认识或有三个人不认识这个例子。这些具体的例子，不但可以增加学生的学习兴趣，学生也更容易掌握理论知识。通过这些事例，也可以培养学生分析问题的能力，应用数学的思维方式抽象出具体问题，然后用所学的知识去分析解决碰到的实际问题。（3）根据学生的专业选择授课内容的讲述方式。如果是数学专业的学生，就要侧重理论知识的讲解和严格的证明，穿插一些例子和应用背景的讲解。如果是计算机专业的学生，这时候就要偏向于应用和算法的讲解。（4）要注重和其他学科交叉。如图的谱理论就和代数紧密联系，随机图理论就和概率紧密联系，图的算法理论和信息科学和运筹学紧密联系，图的指标理论和化学紧密联系。在讲解的过程中，不但要讲图论在诸如代数、组合数学、运筹学、信息科学、化学等领域的应用，也要讲这些领域对图论发展的推动作用，如提供新的研究问题、研究工具、研究方法。

（三）课后作业与辅导环节

一方面做作业过程就是学生应用所学的知识去解决问题的过程，这会督促学生去学自己没有学懂的知识点，达到对所学内容更进一步的理解与掌握。另一方面通过学生的作业完成情况，老师也能了解到学生对所学知识的掌握情况，从而调整自己的上课进度和侧重点。鉴于这两方面的作用，布置作业要注意以下事项：（1）所布置的作业要紧扣所讲授的内容，不能布置和讲授与内容关联度不高的习题;（2）布置的作业的难度要适中，布置的作业太难会打击学生的学习积极性，也不符合学习的逐渐深入的过程;（3）布置的作业数量要适中，太多的作业会让学生产生一定的压力，不一定会产生很好的效果。通过对学生作业的批改，教师就能掌握学生对知识的掌握情况。辅导环节就是对作业情况的反馈，这个环节就要把学生掌握不太好的知识点再次讲解，然后通过讲解相关题目，达到让学生最终掌握的目的。

三、总结

结合传统课堂教学经验和对网上直播教学的认识，本篇文章主要探讨了图论网上教学。网上教学可以看作是传统课堂教学的延伸，但网上教学是一个新的教学环境，这就对教师提出了更高的要求。一方面教师可以借鉴传统课堂的经验，另一方面教师要打破传统，要学习和面对新的教学模式，适应和做好网上直播教学。

参考文献：

[1]Bondy J A，Murty U S R. Graph theory with applications[M].New York：Macmillan and Elsevier，1976.

[2]王朝瑞.图论（第三版）[M].北京：北京理工大学出版社，2001.

编辑 司 楠