HPM在高中数学深度教学中的应用*——以“对数与对数运算”教学为例

厦门大学附属科技中学

1 问题提出的背景

1859年，达尔文发表了进化论.在此基础上，德国生物学家海克尔( E·Haeckel，1843-1919) 提出了生物学定律——“个体发育史重蹈种族发展史”.此定律的提出不仅震惊了生物界，也引发了教育界的巨大变革，人们将其移植于教育得出：个体知识的发生过程遵循人类知识的发生过程，学习者应追溯正在学习的主题在历史中演变的主要步骤，这就是教育界的新生代理论——“历史发生原理”.针对数学教育，这一原理可以理解为“个体数学理解的发展遵循数学思想的历史发展顺序，学生在认知上会重蹈历史的覆辙”，这对我们进行数学教学具有重要的指导意义.

1972年，数学史与数学教学关系国际研究小组(International Study Group on the Relation between History and Pedagogy of Mathematics，简称HPM)成立，它标志着数学史与数学教育关系作为一个学术领域的出现，数学家们已认识到数学史对数学教育的重要意义，数学史已经引起了国内外数学教育领域的广泛关注.

2017年，我国教育部制定的《普通高中数学课程标准》明确指出，教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，认识数学在科学技术、社会发展中的作用，感悟数学的价值，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养，将数学文化融入教学，还有利于激发学生的数学学习兴趣，有利于学生进一步理解数学，有利于开拓学生视野、提升数学学科核心素养.最新的高考考试说明也已明确将数学文化纳入考试范畴，而数学史作为数学文化的重要组成部分，理应受到高中数学教师的高度重视.

2 借助HPM的“对数与对数运算”教学深度分析和重构过程

2.1 对数的发展史与人教A版必修1中对数的教材编制顺序比较

(1) 对数的发展史大体上可分为简化运算思想的形成、对数及对数表的发明、指数与对数关系的发现3个阶段.对于“对数”的起源，可以追溯到公元前3 世纪.当时古希腊著名的数学家阿基米德已经认识到了等差数列与等比数列之间存在着某种对应关系，并提出了指数律.

公元15 世纪，法国数学家许凯在其著作《算数三部》中给出了双数列之间的对应关系.

1,2,4,8,16,32,··· ,131072,262144,524288,1048576和0,1,2,3,4,5,··· ,17,18,19,20.

到了公元16 世纪，等差数列和等比数列之间的对应运算关系——指数律，已经广为人知，许多数学家都想利用指数律来简化计算，但在实际计算时，指数律的作用却微乎其微.比如要求131072×1048576，我们能在对应的等差数列中找到17和20，利用指数律求出131072×1048576=237，可若要求123456×1234567，则在上述双数列中，找不到对应的指数，此时大数字的乘法运算无法得到简化.大批数学家都在进行相关的研究，但都遇到了各种瓶颈，使得相关研究停滞不前.

当时，恰处天文学迅猛发展的时代背景，为了解决类似天体之间距离的计算问题，迫切需要大数字的简化计算方法，此时，苏格兰数学家、天文学家纳皮尔的“对数”应运而生.纳皮尔花了整整20年的时间，才找到了适合的双数列，递减的等比数列：107,107(1-10-7),107(1-10-7)2,···，107(1-10-7)n,···与等差数列0,1,2,3,··· ,n,···相对应.纳皮尔采用与1 非常接近的底数，使得数列相邻两项的间隔非常小，所有小于107和大于108的整数都可以在同一个等比数列中找到，于是又可利用指数律简化乘除运算了.之后，经过纳皮尔和其好友布里格斯的改良，对数逐渐变成今天我们见到的样子.100 多年后，瑞士数学家欧拉提出了“对数源于指数”，此后，指数与对数的关系才被大家熟知.

(2)对数在教材人教A版必修1中的编制顺序.

在科技大爆炸的今日，大数字的计算早已不是什么难事，对数对于简化计算的作用，已不再被人们需要.教材中，先安排指数与指数函数的学习，再通过人口增长模型y=13×1.01x，已知y的值，求x的方式引入“对数”.这种方式既结合了实际问题，体现了引入对数学习的必要性，又简明扼要地揭示了对数与指数的关系，有利于学生知识体系的完善.但这种引入方式容易造成两种后果，一种是学生对对数的作用认识模糊，一种是容易出现loga(M+N)=loga M+loga N和loga(M ·N)=loga M ·loga N等运算错误.究其原因，无非是教材的编排，脱离了对数的发展史，这使得被恩格斯称为“17 世纪数学的三大成就”的对数失去了光芒，学生根本体会不到伽利略在说“给我空间、时间和对数，我就能创造一个宇宙”时，是一种怎样的心境.

2.2 如何借助HPM 重构“对数与对数运算”的教学

借助HPM，是不是意味着教学必须按照知识的发展顺序来进行呢?答案当然是否定的！显然，让学生完全重复数学知识的形成过程，是很荒谬的.其一，教学条件不允许；其二，历史上所有数学知识的形成都是前人不断摸索的结果，他们走了很多弯路，犯过不少错误，才能得到今日这么多数学瑰宝.

荷兰著名的数学教育家弗赖登塔尔指出：“我们不应该完全遵循发明者的历史足迹，而应是经过改良、同时有更好引导的历史过程.”借助HPM的高中数学教学是指将数学史有机地融入数学教学中，再现数学知识被发现、证明及应用的过程.教师逐步引导学生发现问题、实践操作、交流合作，体验解决问题的历程，从而达到知识、技能和情感态度价值观的三维教学目标.这种教学模式，不仅让学生经历数学知识再创造的过程，还培养了学生的数学核心素养.

在具体操作中，教育者应设置恰当的教学设计，将学生置于数学知识产生前的水平，指导学生进行数学知识的“再创造”！弗赖登塔尔还进一步指出“指导再创造意味着在创造的自由性和指导的约束性之间，以及在学生取得自己的乐趣和满足教师的要求之间达到一种微妙的平衡.”

基于以上观点，数学教师在进行“指导再创造”时，应该遵循以下原则：

(1)“再创造”应在“与时俱进，联系实际”的前提下，改良、创造数学知识的形成过程.

(2)“再创造”应该立足学生的最近发展区、以生为本.

(3)“再创造”应达到数学教学的四基四能要求，兼顾考试评价.

2.3 借助HPM的“对数与对数运算”教学设计

(1)对数发展顺序和教材顺序，借助HPM的知识重构，再创造后的教学设计如图1所示.

图1

(2)重构后的重点教学环节设计意图.

重点环节一：这是上公开课的前两天的新闻.此新闻刚刚发生，以此为案例，更能引起学生的共鸣和兴趣，体现了教师在重构对数教学时，注重时代背景，与时俱进.由“137 亿光年”入手，引出“光年”的概念.为后面引入299792.468×31536000 =?，这样大数字的乘法运算起了承上启下的作用.这个问题的提出是本节课的主线，后面的教学问题都是为了解决以此题为例的多位数的乘法运算问题.

重点环节二：通过介绍对数的发明者纳皮尔的经历，让学生感受到在追求科学，追求真理的过程中，没有捷径可走，教育学生要吃苦耐劳，实事求是，争当祖国的栋梁！“讲故事”的方式，既能吸引学生的注意力，让学生深刻地体会以10为底的对数被称为“常用对数”的历史背景，又能让他们明白知识的发生发展过程，而不是教师一味地灌输，在学习中，教师帮助学生立足于各自的最近发展区，学生的思维能力得到了很好的锻炼.此环节很好地实现了三维目标中“情感态度与价值观”的要求.

重点环节三：本环节的数学实验是本节课的重点和精华！学生通过科学计算器，发现数学实验单中的等量关系，从而得出同底对数之间的加减运算性质，学生亲身体会了问题的发生、发展过程.而且，在计算的过程中，教师故意设置了真数为负数的情况，让学生进一步探索真数不能为负数的本源性问题是因为真数是由指数式中的幂转化而来的.此处的设置，既对应了对数的概念，又为对数函数定义域的学习，提供了前提保证.

重点环节四：由数学实验得出的同底对数的加减运算性质，仅仅是一种猜想，虽然探索新问题的过程，常常是需要猜想的，但是猜想过后，我们应该秉着严谨的科学态度给出严格的证明，证明过程板书.这种设置，能让学生再次体会到数学探索的过程不仅需要灵感，更需要实事求是的科学态度，培养学生对数学的钻研精神.

重点环节五：完全是为了解决引例中的多位数乘法问题作铺垫，通过探索例2的解决过程，学生能体会到对数将“乘法”转化为“加法”的思路，领悟将所求积取对数的作法，这将是今后常常会涉及到的一个问题！有了本环节的过渡，引导学生求lg(299792.468×31536000) =lg 299792.468+lg 31536000 比较自然的.

重点环节六：有了前面环节的铺垫，学生在此环节中的学习非常顺利！学生在此环节中收获到了解决问题的喜悦，也切身体会到了在过去计算技术不发达的时代，对数对简化计算的作用是多么巨大的，体会到了对数对人类科学的发展和人类文明的进步起到了惊人的推动作用，深刻感受到了数学的魅力.

通过上述六个重点环节的设计意图，可以看出，借助HPM的《对数与对数运算》教学既没有生搬硬套对数的发展史，也没有脱离教材内容和教学目标，而是将HPM理论和实际联系，借助信息化的教学手段，以时代为背景，是一次与时俱进，富有新意的尝试！

3 对借助HPM的高中数学深度教学的进一步思考和建议

经过此次尝试，笔者深知，将数学史融入高中数学教学是不容易的.但也正是有了此次尝试，笔者更加深刻地体会到数学史是一座取之不尽用之不竭的宝藏.据统计，人教A版必修一到必修五共出现了52次数学史的内容.其中，必修三是关于算法、概率和统计的内容，数学史出现的最多，有19处.如此多的数学瑰宝等待着我们去挖掘和使用，高中教师应尽量借助HPM 进行教学重构，以期能达到帮助学生强化对数学的认知，并对学生进行情感领域和文化领域的教育功能.

基于此次的教学尝试和思考，笔者有以下几点建议.

(1)教师应对使用HPM的知识点进行筛选.教材中虽然出现了如此多的数学史内容，但不代表都要使用.教学中，我们还是应以课本为主，以防将数学课变成了历史课，不要将“用数学史”变成了“教数学史”！

(2)知识点的相关数学史内容的选取应该关注“过程性”、“实际性”和“应用性”.注重学生思维的“螺旋式上升”的发展规律，将数学思想方法渗透于HPM的数学教学模式中，激发学生的学习动机，唤醒他们的学习内动力.

(3)一个好的HPM 教学，仅仅靠课堂的45分钟是远远不够的！教师可要求学生通过查阅书籍和使用网络等信息技术，在课余完成某数学知识点的相关数学史作业.作业的形式可以多种多样，如制作PPT、展板、或是手抄报等等形式，引导学生自主学习，进一步提升相关的数学核心素养.