基于APOS理论的“幂函数概念”教学设计

贵州师范大学()

杜宾斯基是美国著名的数学家和教育家，他和一些数学教育研究者通过研究提出了APOS理论，APOS理论是学生在学习数学概念的过程中，个体按照顺序依次建构了四个阶段：心理活动(Actions)、过程(Processes)、对象(O bject)、图式(Schema)，并以四个阶段的大写字母命名.APOS理论是为数学概念学习所创造的理论，我们知道数学本身就是很抽象的学科，当然，数学的概念也都是很抽象的.“幂函数概念”教学设计是在APOS理论指导下的一次尝试.

1 基于APOS理论下“幂函数概念”教学设计分析

1.1 教材分析

幂函数是人教版(A版)必修一第二章第三节内容，是基本初等函数之一.前面学习过对数函数与指数函数再来研究幂函数，使学生学习之后建立第三种函数模型即幂函数模型，能使学生灵活掌握函数模型，所以幂函数是学生对研究函数方法强化的很重要的一个提升，在教学中具有很重要的作用.

1.2 学情分析

学生在学习幂函数中已经有了一定的基础，因为之前已经学习过五种函数，幂函数是一次函数、反比例函数、二次函数的延伸，所以在教学过程，先让学生自己合作探究，探究出幂函数的性质，教师进行指导，提升学生数形结合思想和探究型思维.

1.3 教学目标分析

1.3.1 知识与技能目标

(1)通过生活中的实例让同学了解幂函数的概念，熟悉幂函数性质.

1.3.2 过程与方法目标

(1)通过概念与图象结合培养了学生数形结合的数学思想方法；经过探索幂函数性质培养学生抽象概括的能力.

1.3.3 情感态度、价值观

通过学生自己从数形结合来探究幂函数及幂函数性质，激发学生的数学积极性.

1.4 重难点分析

重点从5个具体的函数模型，由师生共同总结出幂函数的性质及其应用.

难点画出幂函数图象再概括其性质，不仅是特殊的幂函数满足，要所有幂函数都能满足.

2 基于APOS理论的“幂函数概念”教学设计

2.1 活动阶段

活动1前一节学习了指数函数，复习指数函数的概念与表达式，再回归新课，教师用幻灯片演示以下问题：

(1)张红购买了w本练习册，单价是每本1 元，那么她需要支付的费用p=w元，这里p是w的函数；

(2)如果有一块正方形的方巾，边长为a，那么方巾的面积S=a2，这里S是a的函数；

(3)如果一个立方体形状的盒子的边长为a，那么盒子的体积V=a3，这里V是a的函数；

(4) 如果一个正方体场地的面积为S，那么这个场地的边长这里a是S的函数；

(5)如果你t秒内坐公交进行了1km，那么你坐的公交平均速度v=t-1km/s，这里v是t的函数.

由学生一起讨论，最后归纳总结出：p=w,S=a2,V=容易看出都是自变量的若干次幂的形式.不仅是复习旧知，而是在此基础上提高学生的参与程度，让学生自己动手操作，符合学生认识特点，此阶段是学生建构概念的起步.

2.2 过程阶段

活动2以上问题中总结出来的函数有哪些共同特征?

教师与学生一起分析这几个函数的特征，将它们的自变量全部用x表示，函数值用y表示，如下：

这样写出来清晰明了，更有助于师生一起总结，教师一步一步引导，学生得出结论：

(1)都是以自变量为底的函数，自变量前的系数都为1，幂前的系数也为1；

(2)指数是常数.

教师从具体的例子让学生自主归纳总结，得到y=x2，这样就引出了幂函数的定义，最后进一步完善定义：一般地，形如y=xα(α ∈R)的函数叫做幂函数.

活动3下列函数哪些是幂函数?

A.y=2x+1B.y=3x2C.y=5x-2D.x=2

通过数形结合，使学生对幂函数有更深刻的学习，也能解决刚上课时的困惑.指数函数是形如y=xα，幂函数是

2.3 对象阶段

活动4探索幂函数的性质

教师引导学生回顾初中函数的表示方法：解析法、列表法、图像法.在幂函数性质讨论中主要用图像法表示幂函数，这里我们只讨论时的情形，在绘图之前，教师要引导学生复习旧知，然后引入出新知识点，绘制这两个幂函数的图像，教师在黑板上或者PPT上演示幂函数的绘制过程如图1.

图1幂函数图

活动5观察图1，你能从函数图像中得到什么性质?可不可以试着总结出来，填入表1中.

表1 函数图像性质

通过表1，一起得到幂函数的性质，归纳总结为：

(1)所有的幂函数都在(0,+∞)上有定义，图像都经过(1，1)；

(2)当α为偶数时，幂函数就是偶函数； 当α为奇数时，幂函数为奇函数；

(3)在第一象限内，函数y=x-1的图像向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近；

(4)如果α ＞0，则幂函数图像过原点，并且在区间(0,+∞)上是增函数.

通过观察图像和学生动手画图，教师和学生一起观察得到的幂函数性质，使学生易于领悟和接受新知识.

活动6运用新知

例1比较大小：(1)5.20.2和和

分析此题有两种解决方法，引导学生能够灵活运用，一题多解，其一是分别把值求出来，再比较大小，但是求值只能借助计算器；其二是利用上面所学的函数的单调性来比较它们的大小，观察图象直观易懂.

2.4 图式阶段

这是最后一个阶段，是一个比较长期的过程，在此后的学习过程中有着很重要的影响.图式阶段是对前三个阶段的学习的总结、巩固和应用，使得从生活实际的背景下探索出的幂函数模型，再去解决实际问题.

活动7应用举例

例2在固定的压力差下(压力差为常数)，当有一股气体流过圆形管道时，其流量速率v(单位：cm3/s)与管道半径r(单位：cm)的三次方成正比.

(1) 写出气流的流量速率关于管道半径的函数解析式；

分析根据题目描述可写出解析式，其解析式就是我们学习的幂函数，也可以自己变式给出具体的数据，把解析式求出来之后再解一下幂函数，最后就得到表达式.

3 教学反思

基于前面对APOS理论的四个阶段教学设计的分析，我们应该从问题情境中让学生能够印象更深刻的领会到幂函数的概念以及实际应用.

(1)活动阶段需要创设问题情境，其目的在于引入幂函数概念，创设有利情境，密切联系生活，结合学生已有认知水平和发展，激发学生兴趣，不同于一般的复习引入，是在学生对以前所学知识的巩固基础上理解数学概念，最后主要突出活动两个字，显然比教师几句话概述更好，并不是引起学生的认知冲突.(2)关注过程展示，教学的最终目标在于引导学生掌握本课的重点和难点知识.活动阶段只是让学生激起思考的欲望，还不能构建起概念，产生数学的一种体验，在“幂函数”的概念形成中，如果是由教师直接先讲概念，再提醒学生重难点，最后巩固知识，教学效果就不尽人意.(3)强调学生参与，积极主动构建，在学生掌握幂函数图形的基础上，设计变式练习，让学生辨析、探索，进一步完善概念体系，最终得幂函数的概念和性质.因此，为了让学生在课堂中有效的掌握概念，可根据实际情况，采用同桌合作、小组讨论、班级汇报交流、师生交流等形式，积极构建知识.(4)完善概念图式，数学来源于生活，应用于生活，能否科学地运用APOS理论，取决于众多因素，最主要的是教师要有良好的专业知识和敬业态度.因此，教师在课前得花时间备好课，从以往的课堂中找原因，充分了解学生的认知基础和规律，对四个阶段的教学设计精心准备，对课堂中可能出现的问题做出预判.

4 结论

综上所述，APOS理论幂函数教学设计中与高中教材相结合，把学生学习重难点剖析清楚，教师的主导作用也在教学设计中体现很完整，学生的主体作用也符合教与学的规律，达到了很好的教学效果，所以我们的教学目标要让学生明白为什么课堂形式化，怎么形式化，活动阶段要让学生构建起幂函数的概念，同时又为过程阶段提供了概念定义的素材和可供反省的对象，为学生联想、归纳、概括提供了机会，过程阶段又向对象阶段提供了更高层次研究开拓了机会，图式阶段就是对前面三个阶段的总结与实际运用.因此，这四个阶段就使学生学习数学概念有了完整的过程.