车轮踏面磨耗及轨道不平顺联合作用下的车辆-轨道系统随机分析模型

徐 磊，翟婉明

(1.中南大学 土木工程学院，湖南 长沙 410075；2.西南交通大学 牵引动力国家重点实验室，四川 成都 610031)

随着机车车辆的不断运行，车轮踏面及轮缘均会受到一定的磨损，从而影响轮轨间的动力匹配特性，恶化机车车辆的运行安全性、舒适性及平稳性。关于车轮磨耗的研究，已引起国内外科技工作者的极大关注，在踏面磨耗预测模型与统计分析[1-9]、车轮型面几何设计[10-11]、车轮磨耗与列车动力相互作用关系[12-15]等方面成果显著。

然而，考虑车轮磨耗的概率特征，并与轨道随机不平顺联合分析的车辆-轨道系统随机动力分析还较少。与轨道随机不平顺类似，车轮磨耗的形成与发展亦是众多随机因素(如轮轨随机动荷载、初始车轮不圆顺、材料疲劳伤损等)共同作用的结果。在不同的单位运营里程下，车轮磨损量具有非确定性；与此同时，在轮轨相互作用过程中，轨道不平顺客观存在且随机变化。由于轮轨相互作用是车辆-轨道系统动力模型的核心，故而在研究车轮磨耗时，应该同时考虑轨道不平顺的影响，以精确计算轮-轨不平顺联合作用时的车辆-轨道耦合动力性能。

本文依据车轮踏面磨耗速率、高斯分布假设及轨道不平顺概率模型，进行车轮踏面磨耗和轨道不平顺的随机模拟；采用数论法(Numerical Theory Method，NTM)实现车轮踏面磨耗和轨道随机不平顺代表性样本的高效选取；最后，给出了车轮踏面磨耗-轨道随机不平顺联合作用下的车辆-轨道系统随机动力分析、可靠度计算方法及典型计算结果。

1 车轮踏面磨耗及轨道不平顺随机模拟

1.1 车轮踏面磨耗模拟

车轮踏面的变化与其磨耗量直接相关，一旦了解踏面的磨耗演变规律，便掌握了车轮踏面的时变演化行为。由于不平顺激扰、轮轨接触应力等因素具有随机性，车轮型面在本质上是亦是随机变化的[8]。不失一般性，可将其表达为

∂(y,s)=∂0(y)+ζ(y,s)

(1)

式中：y为不同的踏面磨耗点；s为运行里程；∂为车轮型面不同踏面磨耗点的滚动半径，由y和s确定；∂0(y)为车轮踏面的初始型面；ζ为踏面磨耗量，由于踏面不同位置的接触应力分布及累计磨损量均存在一定的差别，故而它也是y和s的函数。

(2)

一般而言，车轮磨耗深度可用磨耗速率表达为

(3)

由式(2)、式(3)可知，在单位时间内车轮踏面圆周磨耗量服从对数正态分布。基于此，本文做如下假设：

(2)同一车轮的两侧轮对磨耗呈对称分布，且同一车辆的四组车轮磨耗一致；

(3)仅考虑车轮圆周磨耗，无车轮不圆顺。

根据上述假定，只需确定踏面圆周磨耗的均值及标准差即可确定车轮踏面磨耗曲线。根据概率学基本原理，若G(x)是某随机变量的分布函数，且严格单调递增，则G(x)服从均匀分布，即：若U～U(0,1)，则G-1(U)具有分布函数G(x)，G-1(x)是G(x)的反函数。故而，可以通过生成均匀分布随机数，采用概率算法可快速模拟出单位里程内不同踏面点的随机磨耗量，再结合式(1)实现车轮踏面的随机模拟。

取对数均值μ=ln2.5 mm，对数标准差σ=0.2，车轮踏面磨耗的概率密度函数(Probability Density Function，PDF)及相应的车轮踏面磨耗曲面见图1。

图1 车轮踏面磨耗示例

由图1可知，车轮踏面磨耗的分布规律基本与假设相一致，踏面圆周位置磨耗较深，向两侧逐渐减小。

需要指出的是，车轮踏面磨耗下的车辆-轨道系统随机动力问题正是源于单位里程内磨耗量(亦或磨耗速率)的随机性。

1.2 轨道随机不平顺模拟

轨道不平顺是车辆-轨道系统最为常见的激扰源，可视为弱平稳随机过程[16]。在钢轨轧制及轨道铺设过程中，轨道不平顺已呈现初始随机形态。随着线路的不断运营，不同的轨道不平顺里程点将处在时间域随机演化，而这些随机不平顺点的组合又将进一步形成不平顺空间序列的随机性，故而轨道不平顺是较为典型的时-空随机场量。

可将轨道不平顺随机向量表达为

(4)

对于一条特定的干线铁路，通过轨检车定期检测轨道随机不平顺的累积数据是十分巨大的。换言之，车轮踏面磨耗将与丰富的、幅-频特性各异的轨道不平顺形成随机接触，从而产生轮轨随机相互作用力及车辆-轨道系统随机行为。

分析车轮踏面磨耗-轨道不平顺联合动力作用，最为可靠的方法是将所有的车轮型面∂(y,s)和轨道不平顺序列U(u)输入车辆-轨道动力分析模型[17]，再统计、分析数值计算结果。但是这种方法的工作量很大，因为U(u)中可能包含了数千乃至上万公里的轨道随机不平顺信息。

基于此，文献[18-20]提出并验证了一种轨道不平顺概率模型，可用小样本的轨道不平顺样本代表原始的不平顺实测大数据信息，并且保证车辆-轨道系统动力响应的统计特征在可靠精度范围内，从而提高了随机分析的效率，本文即采用这一方法。

2 车辆-轨道系统随机分析方法

2.1 车轮磨耗-轨道不平顺联合激励源的代表样本选取

车辆-轨道系统的随机性主要来自于车轮型面和轨道不平顺的随机性，此车辆-轨道系统的随机域R可用5个随机变量表达为

(5)

针对蒙特卡洛(MC)法随机收敛、效率低的问题，文献[21]基于华罗庚和王元分圆域思想，提出一种随机变量空间选点的数论方法(Number Theory Method,NTM)。将不同类型的轨道不平顺和车轮磨耗视为相互独立的随机过程，通过构造积分域中单位超立方体内的均匀散布点集，给出如下点列

(6)

式中：k=1,2,…,s，表示随机变量，s=5；j=1,2,…,n，n为一正整数。n和hj构成整数矢量(n,h1,h2,…,hs)，具体推导见文献[21-22]。

由于基本随机变量的联合概率密度函数一般是(或近似)球对称的，故而可以对单位超立方体内的随机点进行筛选，条件式为

(7)

2.2 可靠度计算方法

由于车辆-轨道系统是大自由度的非线性复杂系统，一般难以建立动力可靠度与系统随机变量间的数学函数关系，只能采用数值方法考察动力指标与随机变量间的关系，若采用响应面法，则需迭代计算，分析效率较低。

基于概率密度演化的随机结构可靠度分析方法[23]，可计算车辆-轨道系统的动力可靠度。车辆-轨道耦合系统的振动方程可写为

(8)

令Xl(t)为X的第l个分量，则根据概率守恒原理，(Xl(t),ΩT)T的概率密度函数pXlΩ(x,Ω,t)满足一阶偏微分方程[23-24]

(9)

式中：hl(Ω,t)为给定Xl时系统的速度反应。

式(9)的初始条件一般为

pXlΩ(x,Ω,t)|t=0=δ(x-xl,0)pΩ(Ω)

(10)

联合求解式(9)、式(10)，积分可得Xl(t)的概率密度函数

(11)

式中：ΠΩ为Ω相应的积分区域。

显然，若给定动力反应的上、下限值xu和xd，则动力反应Xl(t)的可靠度为

(12)

3 数值分析

3.1 计算条件

采用CRH3型动力车，CRTSⅡ型直线板式轨道，行车速度为350 km/h，轨道不平顺取中国某高速铁路近6个月的实测数据，截止波长1～120 m。

以0.5 mm为间隔，令车轮踏面圆周磨耗均值分别为1～5 mm，以C1～C9表示；以C0表示仅轨道不平顺参与系统激励，而无车轮磨耗情况。

由于文中没有考虑车轮不圆顺(如车轮多边形)和车轮偏磨，故而车轮磨耗对车辆-轨道系统的垂向动力响应影响较小，本文将重点考察代表性横向动力指标在车轮踏面磨耗和随机不平顺影响下的响应特征。

3.2 结果分析

3.2.1 横向动力响应分析

在确定性计算中，基于车辆-轨道耦合动力学模型[19]，可算出在轨道不平顺和车轮踏面磨耗型面下的车辆、轨道系统动力响应时程。

C0、C3、C7计算工况下某轨道不平顺-车轮踏面磨耗联合样本下的轮轨横向力和钢轨横向位移响应时程见图2。

图2 典型动力时程比较

由图2可知，相较于C0和C3工况，当车轮磨耗达到C7(圆周磨耗均值4 mm)时，轮轨横向力和钢轨横向位移的动力时程发生显著变化，如轮轨横向力极值由C0条件下的5.52 kN、C3条件下的8.14 kN增至19.02 kN；钢轨横向位移与轮轨横向力的分布基本一致。此外，在C7工况下的动力响应时程明显异于C0和C3工况，呈现谐波形态。为了判断是否出现了失稳状态，采用文献[17]给出的方法，仅在车辆运行前期设置一小段轨道不平顺激扰(见图3)，然后观察车辆系统的动力响应随时间是否衰减。失稳和稳定状态下首位轮对横向位移和轮轨横向力的时程图分别见图4和图5。

图3 轨道不平顺激励

图4 动力响应时程(失稳状态)

图5 动力响应时程(稳定状态)

由图4可知，当车轮踏面磨耗达到一定的程度时，可能形成较为不利的车轮几何型面，此型面将使轮轨相互作用处于失稳状态。与稳定的轮轨接触状态不同(见图5)，失稳状态下的车辆-轨道系统只需微弱的轨道不平顺激扰，就可能产生持续的剧烈振动状态。基于上述研究，作者进一步分析了不同车轮踏面磨耗下的系统动力响应特征，统计了失稳发生时的车轮踏面磨耗区域，见图6。

图6 车轮踏面磨耗失稳区域

由图6可知，在车轮磨耗由浅到深的过程中，存在一个车轮踏面失稳临界区域，车辆-轨道系统将对应出现由稳定到失稳再到稳定的过程。

3.2.2 概率密度演化及可靠度分析

显然，上述分析是随机振动计算时某一确定性工况下的计算分析，由车轮踏面磨耗的随机性可知，Ci(i=1,2,…,9)仅代表磨耗均值，各踏面点的磨耗量还存在变异性，再考虑C0工况下轨道不平顺的随机性，可知将车轮磨耗与轨道不平顺两者做随机激励考虑时，车辆-轨道系统的动力响应无法用确定性分析(图2)描述。概率密度函数(PDF)抓住了随机动力响应幅值和概率两方面的特性，是分析随机振动统计信息的有力工具，也是动力可靠度计算的基础。

采用本文方法，车轮踏面随机磨耗-轨道随机不平顺联合作用时，C0、C7工况下车体横向加速度概率密度演化曲面见图7。

图7 车体横向加速度概率密度演化曲面

由图7可知，当考虑车轮踏面与轨道不平顺遍历联合作用时，动力指标的响应并非单一的时间历程曲线，而是具有幅值波动特性的概率密度演化过程。对比图7(a)、图7(b)可知，在C0工况下，车体横向加速度的概率密度演化过程主要由轨道不平顺控制，呈现明显的蜿蜒轨迹，与对应的轨道不平顺时程分布呈较强相关性；而当车轮出现较大的随机磨耗时(如C7工况)，由于出现了车体失稳状态，不仅车体横向加速度的概率演化形态被显著改变，而且振动响应幅值总体增大且出现一定的周期特征。

轮轨横向力和钢轨横向加速度在3.5 s的概率密度分布见图8。

图8 动力指标在3.5 s的概率密度分布

由图8可知，不同车轮磨耗深度对车辆-轨道系统的动力影响不同，一般而言，磨耗越深，影响越大。在仅考虑轨道不平顺的随机性(C0工况)时，动力指标(如轮轨横向力、钢轨横向加速度等)呈现显著的幅值离散性，故而在考虑车轮磨耗动力作用时，不可忽视随机不平顺的影响；当磨耗深度较小时，如C1、C3，轮轨横向力和钢轨横向加速度动力幅值和概率分布将会发生一定的变化，但幅度较小，此时系统的动力响应来自于轨道随机不平顺的影响；而在磨耗深度较大时，如C7、C9，轮轨接触几何形态已发生显著改变，甚至发生失稳，此时车辆-轨道系统的随机动力响应将由车轮踏面磨耗和轨道不平顺联合控制。

此外，由式(12)，结合动力指标的概率密度演化分布(见图7)，可以十分方便的得到车辆-轨道系统不同动力指标的时变可靠度。若以10 kN为轮轨横向力的可靠度限界，不同磨耗深度下的2～3 s的时变可靠度见图9。

图9 轮轨横向力的时变可靠度

由图9可知，当车轮磨耗达到C5～C7深度，轮轨横向相互作用的可靠度逐步降低，出现失效情况；在2.43 s时刻，可靠度最低仅51%，即轮轨横向作用力的失效概率达到49%；而在其他时刻，失效概率亦基本达到10%～20%，为了提高车辆运行的动力可靠度，应严格控制车轮磨耗量。

4 结论

本文假定车轮踏面磨耗和轨道不平顺均具有一定的概率分布特性，用数论法选取代表性的车轮踏面磨耗和轨道随机不平顺联合样本，用概率密度方法分析系统激励样本与随机响应输出间的概率传递问题，从而较为有效的建立了车轮踏面磨耗-轨道随机不平顺联合作用下的车辆-轨道系统随机动力分析模型。

从计算结果可知：

(1)考察车轮磨耗的动力影响时，建议考虑轨道随机不平顺的联合作用。

(2)在车轮踏面磨耗过程中，存在一个失稳临界区域。此临界区域对保证行车安全、指导车轮璇修等工作具有指导意义。

(3)基于本文模型，可以进一步深入开展车轮磨耗下的车辆-轨道系统随机分析及动力可靠度研究。建议进一步搜集、整理、归纳车轮磨耗数据，统计分析车轮磨耗的概率分布特征，以建立更为精细的车轮踏面磨耗概率反演模型。