三阶半线性中立型时滞微分方程的振动性①

林靖杰，曾伟宏，李丹

(广东石油化工学院 理学院，广东 茂名 525000)

1 引言

考虑如下的一类三阶半线性中立型时滞微分方程

[r(t)|Z″(t)|α-1Z″(t)]+q(t)|x(σ(t))|β-1x(σ(t))=0,0

(1)

的振动性，其中Z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t))，β>0，α>0，α，β为两个正奇整数之比。

假设下列条件成立

(A1)p(t),q(t)∈C([t0，∞)，(0，∞))，0≤p(t)≤p<1，q(t)>0；

(A3)τ(t),σ(t)∈C1([t0,∞)，(0，∞))，对任意t≥t0，都有

如果x(t)有任意大的零点，则式(1)的解称为振动的，否则称其为非振动的；若式(1)的所有解都是振动的，则称方程(1)是振动的，否则称其为非振动的[1]。

文献[2-4]对二阶半线性中立型微分方程

(r(t)|Z′(t)|α-1Z′(t))′+q(t)|x(σ(t))|β-1x(σ(t))=0

(2)

做了深入研究，给出一些新的振动准则。近年来，这一理论在应用数学领域中得到了迅速的发展及广泛的应用，如：金融经济、化学反应过程的稳定性的研究、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、人口统计等问题。

定理1 假设条件(H1)-(H5)[14]及

成立，如果

定理2 假设条件(H1)-(H5)[14]及

成立，如果

文献[15]研究了式(1)在β>α情况下的振动性，得到的主要结果有：

定理3 若存在函数ρ∈C1([t0，∞),(0，∞))，满足A1(t)>0和

定理4 若存在函数ρ∈C1([t0，∞),(0，∞))，使

[r(t)|Z″(t)|α-1Z″(t)]′+q(t)|x(σ(t))|α-1x(σ(t))=0,0

(3)

新的振动性结果。它推广和改进了文献中的一些结果，并将举例说明主要结果的应用及其先进性。

2 引理

引理1 若x(t)是式(1)的最终正解，则Z(t)只有下列两种可能，即存在T≥t0，使得当t≥T时,有(A)Z(t)>0，Z′(t)>0，Z″(t)>0；(B)Z(t)>0，Z′(t)<0，Z″(t)>0[4].

引理3 设u(t)>0，u′(t)>0，u″(t)≤0，t≥t0，对任一θ∈(0，1) ，则存在Tθ≥t0，使得u(σ(t))≥

引理4 设u(t)>0，u′(t)>0,u″(t)>0，u‴(t)≤0,t≥Tθ，则存在γ∈(0,1)和Tγ≥Tθ，使得u(t)≥

γtu′(t)，t≥Tγ[6].

3 主要结果

为了方便，使用记号：对于ρ，σ∈C1([t0，∞),(0,∞))，设

定理5 若存在函数ρ∈C1([t0，∞)，(0，∞))，满足A1(t)>0，且有

(4)

成立，则式(3)是振动的。

证明设式(3)有非振动解x(t)，由于x(t)=0无实际意义，只考虑x(t)≠0的情形。设x(t)为式(3)的最终正解，且x(σ(t))>0，x(τ(t))>0，t0≤t1≤t.

由引理1可知，存在t2>t1，使当t≥t2时，Z(t)只有引理1中(A)与(B)两种可能。

当Z(t)满足引理1中(A)时，由于τ(t)≤t，故Z(t)≥Z(τ(t))且x(t)≤Z(t)，进而有x(t)=Z(t)-

p(t)x(τ(t))≥Z(t)-p(t)Z(τ(t))≥(1-p(t))Z(t)≥(1-p)Z(t)则

xα(σ(t))≥(1-p)αZ(σ(t))α

(5)

因为Z″(t)>0，此时由式(3)和式(5)可得

(r(t)(Z″(t))α)′≤-q(t)(1-p)αZ(σ(t))α=-A2(t)Z(σ(t))α，t≥t2

(6)

考虑广义Riccati变换

(7)

对式(7)中t进行求导，并由式(6)得

(8)

由(A2)可知，r(t)≥0，r′(t)≥0，且(r(t)(Z″(t))α)′=r′(t)(Z″(t))α+αr(t)(Z″(t))α-1Z‴(t)≤0可得，Z‴(t)≤0.

(9)

取T=max {t2,Tγ}，由引理3可得，令u(t)=Z′(t)，对任一θ∈(0,1)，存在Tθ≥t0，使得

(10)

由引理4可得，存在γ∈(0,1)和Tγ≥Tθ，使得

Z(σ(t))≥γσ(t)Z′(σ(t))，t≥Tγ

(11)

由式(9)～式(11)可得，此时式(8)为

(12)

当Z(t)满足引理1中(B)时，由于(r(t)(Z″(t)α)′≤0，且q(t)>0,1-ρ>0,Z′(t)<0，可得

(r(t)(Z″(t))α)′≤-q(t)(1-ρ)α(Z′(t))α=-A2(t)(Z′(t))α

(13)

考虑广义Riccati变换

(14)

对式(14)中t求导，并利用式(13)的结果，可得

(15)

V′(t)<-A2(t)

(16)

令t→∞，根据式(4)可知，V(t2)→+∞，这与V(t)<0矛盾，故假设不成立，即当Z(t)满足引理1中(B)型时，x(t)是式(3)的振动解。

证毕。

定理6 若存在函数ρ∈C1([t0，∞)，(0，∞))使得A1(s)>0，式(4)成立，且满足

(17)

则式(3)是振动的。

证明 设x(t)是式(3)的非振动解，如同定理5的证明，若Z(t)为引理1中(A)型，在这里，证明过程与定理5第一部分的证明过程一样。即当Z(t) 满足引理1中(A)型，x(t)是式(3)的振动解。

当Z(t)满足引理1中(B)型时，由于(r(t)(Z″(t))α)′≤0，则(r(t)(-Z″(t))α)′≥0，且q(t)>0,1-p>0,Z′(t)<0，可得

(r(t)(-Z″(t))α)′≥q(t)(1-p)α(Z′(t))α=A2(t)(Z′(t))α

(18)

考虑广义Riccati变换

(19)

对式(19)中t求导，并利用式(18)，可得

(20)

式(20)两边同时乘φα(t)，并从t2到t进行积分，可得

(21)

(22)

由于 (r(t)(Z″(t))α)′≤0，当s>t时，有r(s)(Z″(s))α≤r(t)(Z″(t))α，即

(23)

对式(23)两边从t到l(l>s)对s进行积分，可得

(24)

证毕。

推论若存在函数H(t,s)∈F和ρ∈C1([t0，∞)，(0，∞))，使得式(4)成立，且

(25)

则式(3)是振动的。

注：(1)若取r(t)=1，p(t)=0，则式(3)即为文献[13]所研究的时滞微分方程，即定理5的结论推广了文献[13]的结果，应用更广泛；(2)若取β=α，式(3)就是文献[12]所研究的方程，因而定理5的结论改进了文献[12]的相应结果；(3)本文的研究结果改进了文献[14]相应的振动准则。

4 应用

例 考虑如下的三阶中立型微分方程

(26)

θ=1，γ∈(0,1).显然有

显然式(26)满足定理5的条件式(4)，由此可知式(3)是振动的，而文献[12]的研究结论不能应用于此例。