基于Theodorsen气动模型的机翼颤振计算与分析

李 达, 杨 慧, 胡志贤

(上海工程技术大学 航空运输学院， 上海 201620)

0 引 言

下一代飞行器的机翼具有大展弦比和高空飞行的特点，这使得气动弹性问题变得突出，为了保证其能在极端环境下安全飞行，需要对机翼的颤振问题进行研究与分析。颤振是典型的气动弹性问题，是弹性结构在均匀流体中受到流体动力、惯性力和弹性力的耦合作用而发生的一种不衰减振动。机翼的颤振问题是飞行器系统中一个备受重视的问题，机翼颤振问题具有复杂性和不可预知性，若飞行器的机翼发生颤振，其带来的后果往往是毁灭性的[1]。

国外早期的大多数研究主要采用风洞实验方法。Garrick推导得出俯仰沉浮翼型的推力和效率计算公式[2]；Kaufmann证实了螺旋桨桨叶在临近失速状态时会发生气动迟滞效应，颤振速度会急剧下降[3]；1935年，Theodorsen给出了二元翼型作简谐振动下气动力的精确解，此研究具有里程碑意义[4]。国内对气动弹性方面的研究工作起步较晚，胡海岩等对飞机结构气动弹性动态问题作了综述，并给未来气动弹性分析与控制方面的研究指明了方向[5]；袁家信针对亚音速机翼气动弹性控制系统中的干扰、时滞等问题进行了研究[6]。

针对机翼颤振问题，本文对影响颤振的相关因素进行了研究。首先基于Theodorsen气动模型，利用U-g法对机翼进行颤振计算。因为飞行器的发展方向是高空飞行和机翼具有大展弦比，所以探究了展弦比对机翼的颤振带来的影响。同时研究了飞行器高空飞行时空气密度的变化对颤振的影响。

1 非定常气动力

两自由度机翼的简化力学模型如图1所示。机翼半弦长为b;弹性轴距离翼弦中心点的距离为a·b;a为翼弦中点到弹性轴的距离占机翼半弦长的比例; 弹性轴在翼弦中点前时，a<0；U为来流速度。图1未展示的y方向为展长方向，机翼的展长为l。

图1 机翼的简化力学模型

L=-πρ

2πρU

(1)

Tα=πρ

2πρU

(2)

式中，ρ为空气密度;C(k)是Theodorsen函数;其具体表达式为式(3)和式(4)：

(3)

(4)

(5)

(6)

可以通过Matlab来计算C(k)，得到C(k)函数的实部和虚部随k的变化情况，如图2所示。

根据拉格朗日方程的相关理论，可得非定常气动力为式(7)：

(7)

当机翼发生颤振时，系统做简谐运动，式(8)：

(a) 实部随折合频率k的变化

(b) 虚部随折合频率k的变化

(8)

(9)

(10)

将式(8)～(10)代入式(1)和(2)整理可得式(11)：

(11)

将式(4)带入Q0后可得表达式(12)：

(12)

2 机翼动力学模型

已知受来流作用的二元机翼气动弹性方程(13)：

(13)

不考虑系统中阻尼时，利用U-g法进行颤振计算，对应的颤振方程(14)：

(14)

其中，g为引入的结构阻尼。

式(14)的复特征值为式(15)：

(15)

用U-g法做颤振分析的方法：

首先，给定来流密度ρ，再预先给定一组折合频率k的范围，取首个k来计算式(14)的复特征值，根据公式(15)和(16)求得该k值下的结构阻尼系数g和来流速度U，记为(g,U)；

其次，按一定步长更换k值，重复上面的步骤；最终得到一组(g,U)，将计算结果绘制成U-g曲线。

若机翼的真实结构阻尼值g0与计算得到的g值相等，则该g值所对应的U值被认为是机翼的颤振临界速度。当来流速度达到临界颤振速度时，机翼就会发生颤振。

由于g0非常复杂，难以被确定，在使用U-g法的过程中，通常假设机翼的真实结构阻尼系数为0；因此，当结果中某一特征值对应的g值刚好等于0时，其所对应的U值正是机翼的临界颤振速度。

3 颤振分析

通过Matlab软件，利用U-g法完成机翼的颤振计算，机翼的结构参数见表1。

表1 机翼的结构参数

取机翼展长l=0.1～0.5 m;来流密度取ρ=1.225 kg/m3。得到的分析结果如图3所示。g=0时对应的来流速度为颤振速度，具体数值见表2。

图3 不同机翼展长下的机翼颤振结果图

可以看出，当来流速度趋近于0时，机翼不受气动力的影响，虽然g趋近于0，但此时没有发生颤振。随着来流速度U的增加，不同展长的机翼的纷纷出现g=0的情况，此时对应的来流速度U即为此机翼发生颤振时的临界来流速度。颤振随着机翼展长的增加，颤振速度逐渐减少，这意味着大展弦比的机翼更容易发生颤振。

表2 不同机翼展长下的机翼颤振数据

取机翼展长l=0.5m，来流密度取ρ=1.225～0.4kg/m3，得到的分析结果如图4所示，颤振速度数值见表3。可以得出，来流密度越小，颤振速度越大。这说明在空气密度小的空中飞行时，机翼不容易发生颤振。空气密度与海拔和气温等因素相关，在设计飞行器时应该注意空气密度对颤振的影响。

图4 不同来流密度下的机翼颤振结果图

表3 不同来流密度下的机翼颤振数据

4 结束语

针对下一代飞行器的机翼具有大展弦比和高空飞行的特点，本文探究了展弦比和来流密度对机翼的颤振带来的影响。基于Theodorsen气动模型，利用U-g法对机翼进行颤振分析。结果表明，机翼的颤振对展弦比和来流密度的取值较为敏感。在飞行器的设计过程中，应注意机翼的展弦比不能过大，并充分考虑飞行器的飞行环境。